Was sind negative Zahlen, und wie addiert, subtrahiert und multipliziert man sie?

Negative Zahlen sind Zahlen kleiner als null, geschrieben mit einem Minuszeichen wie −3, und sie liegen am Zahlenstrahl links von 0. Wer eine negative Zahl addiert, geht nach links; wer eine negative Zahl subtrahiert, addiert ihre Gegenzahl, also 5 − (−3) = 8. Beim Multiplizieren und Dividieren ergeben gleiche Vorzeichen ein positives und verschiedene Vorzeichen ein negatives Ergebnis.

Sind negative Zahlen natürliche Zahlen?

Negative Zahlen sind keine natürlichen Zahlen. Die natürlichen Zahlen sind 1, 2, 3 und so weiter, oft zusammen mit der 0, aber ohne negative Zahlen. Negative Zahlen wie −1, −2 und −3 gehören zu den ganzen Zahlen, also den natürlichen Zahlen zusammen mit ihren Gegenzahlen, und ein negativer Bruch wie −1/2 ist überhaupt keine ganze Zahl.

Sind negative Zahlen rationale Zahlen?

Negative ganze Zahlen und negative Brüche sind rationale Zahlen. Eine rationale Zahl ist jede Zahl, die sich als Bruch p/q zweier ganzer Zahlen mit q ungleich null schreiben lässt, also sind −3 = −3/1 und −3/4 beide rational. Es gibt auch negative irrationale Zahlen, etwa die Gegenzahl der Wurzel aus 2.

Sind negative Zahlen reelle Zahlen?

Negative Zahlen sind reelle Zahlen. Die reellen Zahlen füllen den ganzen Zahlenstrahl, und jede negative Zahl hat dort einen Punkt links von 0. Negative ganze Zahlen, negative Brüche, negative Dezimalzahlen und negative irrationale Zahlen sind alle reell.

Warum ergibt minus mal minus plus?

Minus mal minus ergibt plus, weil das Muster der Multiplikation über die Null hinaus weitergehen muss. In der Reihe −3 · 2 = −6, −3 · 1 = −3 und −3 · 0 = 0 steigt jedes Ergebnis um 3, also muss die nächste Zeile −3 · (−1) = 3 lauten. Der Common-Core-Standard 7.NS.A.2a begründet die Regel (−1) · (−1) = 1 mit dem Distributivgesetz.

Was ergibt eine negative Zahl minus eine negative Zahl?

Eine negative Zahl minus eine negative Zahl berechnet man, indem man die Gegenzahl der zweiten Zahl addiert. Bei −4 − (−6) wird aus dem Subtrahieren von −6 das Addieren von 6, also −4 + 6 = 2. Bei −9 − (−2) ergibt derselbe Schritt −9 + 2 = −7, also kann die Antwort positiv oder negativ sein, je nachdem, welche Zahl weiter von null entfernt ist.

Negative Zahlen: Rechenregeln einfach erklärt

Ein Schulkind starrt auf 5 − (−3) und schreibt 2, das Thermometer zeigt −5 °C, und die Banking-App zeigt einen Kontostand von −30 €. Hinter allen dreien stecken negative Zahlen, und die Regeln zum Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren negativer Zahlen folgen aus einem einzigen Bild: dem Zahlenstrahl. Sitzt dieses Bild, werden das Subtrahieren negativer Zahlen, die Vorzeichenregeln und die klassische Frage „minus minus“ zu ein und demselben Schritt.

Was sind negative Zahlen?

Eine negative Zahl ist eine Zahl kleiner als null, geschrieben mit einem Minuszeichen davor, etwa −1, −7 oder −3/4. Am waagerechten Zahlenstrahl liegen die positiven Zahlen rechts von 0 und die negativen links, also ist jede negative Zahl kleiner als 0 und kleiner als jede positive Zahl.

Negative Zahlen beschreiben Mengen unter einem Ausgangspunkt. OpenStax Prealgebra nutzt kaltes Wetter („Grad unter null“) und Höhenangaben, bei denen ein Ort 400 m unter dem Meeresspiegel als −400 m geschrieben wird. Ein Kontostand von −30 € bedeutet, dass Sie 30 € Schulden haben.

Der Common-Core-Standard 6.NS.C.5 verlangt in den USA von Sechstklässlern zu verstehen, dass positive und negative Zahlen gemeinsam Größen mit entgegengesetzter Richtung oder Bedeutung beschreiben, und nennt Temperatur, Höhe, Guthaben und Schulden als Beispiele. In Bayern kommen die ganzen Zahlen früher: Laut LehrplanPLUS für die 5. Klasse am Gymnasium ordnen Kinder ganze Zahlen der Größe nach, stellen sie an einem Zahlenstrahl dar und veranschaulichen dort ihre Beträge.

Gegenzahl und Betrag

Die Gegenzahl einer Zahl ist die Zahl im selben Abstand von 0 auf der anderen Seite, also ist die Gegenzahl von 4 die −4 und die Gegenzahl von −4 die 4. Standard 6.NS.C.6a sagt es mit einem Beispiel: Die Gegenzahl der Gegenzahl einer Zahl ist die Zahl selbst, etwa −(−3) = 3, und 0 ist ihre eigene Gegenzahl.

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von 0, geschrieben mit zwei Strichen. |−7| und |7| sind beide 7, weil jede 7 Schritte von 0 entfernt ist. Standard 6.NS.C.7c nimmt Schulden als Beispiel: Bei einem Kontostand von −30 Dollar beschreibt |−30| = 30 die Höhe der Schulden in Dollar.

Die Reihenfolge folgt dem Zahlenstrahl. Eine Zahl weiter rechts ist immer größer, also ist −3 > −8, obwohl 8 größer als 3 ist. Standard 6.NS.C.7b liest das so: −3 °C ist wärmer als −7 °C.

Negative Zahlen addieren und subtrahieren: Schritt für Schritt

Negative Zahlen zu addieren und zu subtrahieren heißt, am Zahlenstrahl zu wandern: Eine positive Zahl addieren geht nach rechts, eine negative Zahl addieren geht nach links, und Subtrahieren geht in die Gegenrichtung des Addierens. Standard 7.NS.A.1c nennt die Regel: Subtraktion rationaler Zahlen als Addition der Gegenzahl verstehen, p − q = p + (−q).

Die erste Zahl auf den Zahlenstrahl setzen. Bei −4 + 6 legen Sie den Finger auf −4.
Jede Subtraktion in die Addition der Gegenzahl umschreiben. 5 − (−3) wird zu 5 + 3, und 2 − 7 wird zu 2 + (−7).
Bei einer positiven Zahl nach rechts, bei einer negativen nach links gehen. Von −4 aus bedeutet „plus 6“ sechs Schritte nach rechts, und Sie landen bei 2.
Bei großen Zahlen mit Beträgen rechnen. Bei gleichen Vorzeichen addieren Sie die Beträge und behalten das Vorzeichen: −20 + (−15) = −35. Bei verschiedenen Vorzeichen subtrahieren Sie den kleineren Betrag vom größeren und nehmen das Vorzeichen der Zahl, die weiter von 0 entfernt ist: −20 + 15 = −5.
Das Ergebnis mit einem Überschlag prüfen. Wer unter null startet und eine kleinere positive Zahl addiert, muss noch unter null landen.

Ein Zahlenstrahl von −10 bis 10 mit zwei Bewegungen: ein Sprung um 3 nach rechts von 5 nach 8 für 5 − (−3) = 5 + 3 = 8 und ein Sprung um 6 nach rechts von −4 nach 2 für −4 + 6 = 2.

Eine negative Zahl subtrahieren: der Teil, an dem viele scheitern

Eine negative Zahl zu subtrahieren ist der Schritt, den die meisten verpassen, weil „wegnehmen“ so klingt, als müsse das Ergebnis kleiner werden. Schreiben Sie 5 − (−3) als 5 + 3, und die Antwort ist 8, also größer als 5.

Ein Fehler der Bank macht den Grund sichtbar. Haben Sie 5 € auf dem Konto und die Bank nimmt eine irrtümliche Abbuchung von 3 € zurück, bleiben Ihnen nach dem Wegnehmen von −3 genau 8 €. Minus minus funktioniert genauso: −4 − (−6) = −4 + 6 = 2, und −9 − (−2) = −9 + 2 = −7.

Darunter liegt weiterhin das Subtrahieren ganzer Zahlen, und der Leitfaden zur Subtraktion mit Übertrag erklärt diese Ebene.

Die Regeln für negative Zahlen in einer Tabelle

Die Vorzeichenregeln für negative Zahlen passen in fünf Zeilen: zwei für die Addition, eine für die Subtraktion und zwei für Multiplikation und Division. Jede Zeile nennt die Regel, ein Beispiel und die passende Bewegung am Zahlenstrahl.

Rechenart	Regel	Beispiel	Bewegung am Zahlenstrahl
Addieren, gleiche Vorzeichen	Beträge addieren, Vorzeichen behalten	−2 + (−3) = −5	Bei −2 starten, 3 nach links
Addieren, verschiedene Vorzeichen	Beträge subtrahieren, Vorzeichen der Zahl weiter von 0 nehmen	−7 + 4 = −3	Bei −7 starten, 4 nach rechts
Eine negative Zahl subtrahieren	Die Gegenzahl addieren	−4 − (−6) = 2	Bei −4 starten, 6 nach rechts
Multiplizieren oder dividieren, gleiche Vorzeichen	Das Ergebnis ist positiv	(−3) · (−4) = 12	Spiegelbild von 3 Sprüngen um 4 nach links
Multiplizieren oder dividieren, verschiedene Vorzeichen	Das Ergebnis ist negativ	−12 : 3 = −4	3 gleiche Sprünge von 0 bis −12

Negative Zahlen multipliziert man in zwei Schritten: die Beträge multiplizieren, dann das Vorzeichen wählen. Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives, verschiedene ein negatives Produkt, also 3 · (−4) = −12 und (−3) · (−4) = 12.

OpenStax stellt die Division unter dieselbe Regel: Die Division von Zahlen mit Vorzeichen folgt denselben Regeln wie die Multiplikation. Also ist −12 : 3 = −4, 12 : (−3) = −4 und −12 : (−3) = 4.

Bei mehr als zwei Faktoren zählen Sie die Minuszeichen. Eine gerade Anzahl ergibt ein positives Ergebnis, eine ungerade ein negatives, also (−1) · (−2) · (−3) = −6.

Ein Raster mit zwei mal zwei Vorzeichenregeln für die Multiplikation: plus mal plus ist plus mit 3 · 4 = 12, plus mal minus ist minus mit 3 · (−4) = −12, minus mal plus ist minus mit (−3) · 4 = −12 und minus mal minus ist plus mit (−3) · (−4) = 12.

Warum minus mal minus plus ergibt

Minus mal minus ergibt plus, weil das Muster der Multiplikation über die Null hinaus weitergehen muss. Schreiben Sie die Malreihe der −3 auf und lassen Sie den zweiten Faktor in jeder Zeile um 1 sinken:

−3 · 2 = −6
−3 · 1 = −3
−3 · 0 = 0
−3 · (−1) = 3
−3 · (−2) = 6

Jedes Ergebnis steigt um 3, wenn der zweite Faktor um 1 sinkt, also muss die Zeile nach 0 die 3 sein. Jede andere Antwort würde ein Muster brechen, das in allen anderen Zeilen gilt.

Standard 7.NS.A.2a nennt den formalen Grund: Die Multiplikation wird auf negative Zahlen erweitert, indem die Rechengesetze, besonders das Distributivgesetz, weiter gelten müssen, und das führt zu Produkten wie (−1) · (−1) = 1. In Zeichen: 0 = −1 · (1 + (−1)) = −1 + (−1) · (−1), also muss (−1) · (−1) gleich 1 sein.

Dieselbe Kette von Regeln steckt hinter der Reihenfolge der Rechenarten, und der Leitfaden zu den Rechenregeln wie Punkt vor Strich zeigt, wo die Vorzeichen zwischen Klammern, Potenzen und Produkten stehen.

Negative Zahlen im Alltag

Negative Zahlen tauchen überall auf, wo eine Größe unter einen Ausgangspunkt fallen kann. Temperatur, Aufzüge, Meeresspiegel und Geld begegnen Ihnen am häufigsten.

Temperatur: Zeigt das Thermometer morgens −5 °C und nachmittags 12 °C, ist der Anstieg 12 − (−5) = 12 + 5 = 17 Grad.
Aufzüge: Geschosse unter dem Erdgeschoss tragen im Aufzug oft die Nummern −1 und −2. Vom 3. Stock bis zum Geschoss −2 sind es 3 − (−2) = 5 Stockwerke.
Geld: Ein Kontostand von −30 € und danach eine Einzahlung von 50 € ergeben −30 + 50 = 20 €.
Meeresspiegel: Eine Taucherin bei −40 m, die 15 m aufsteigt, endet bei −40 + 15 = −25 m.

Der nationale Lehrplan in England nutzt dieselben Zusammenhänge: In Year 6 verwenden die Kinder negative Zahlen im Sachzusammenhang und berechnen Abstände über die 0 hinweg, und die Hinweise nennen die Temperatur als Vorbild.

Der Abstand zwischen zwei Zahlen

Der Abstand zwischen zwei Zahlen am Zahlenstrahl ist der Betrag ihrer Differenz. Standard 7.NS.A.1c verlangt zu zeigen, dass der Abstand zweier rationaler Zahlen am Zahlenstrahl der Betrag ihrer Differenz ist. Von −5 bis 12 sind das |12 − (−5)| = 17, dieselben 17 Grad wie am Thermometer.

So prüfen Sie, ob negative Zahlen sitzen

Fünf kurze Fragen zeigen, ob ein Kind oder ein Erwachsener mit negativen Zahlen umgehen kann. Fragen Sie nach der Begründung, nicht nur nach der Antwort.

Ordnen: Was ist größer, −8 oder −3? Die Antwort ist −3, weil es rechts von −8 liegt.
Addieren: Was ist −6 + 4? Die Antwort ist −2.
Eine negative Zahl subtrahieren: Was ist 7 − (−5)? Die Antwort ist 12, aus 7 + 5.
Vorzeichenregeln: Was ergeben (−6) · (−5) und 24 : (−8)? Die Antworten sind 30 und −3.
Sachzusammenhang: Die Temperatur fällt von 4 °C auf −9 °C. Um wie viel ist sie gefallen? Die Antwort ist 4 − (−9) = 13 Grad.

Ein Zwei-Minuten-Test

Ein Zwei-Minuten-Test mit den fünf Fragen in gemischter Reihenfolge sagt mehr als eine Seite mit nur einer Aufgabensorte. Wer die Addition richtig hat, aber bei 7 − (−5) die 2 schreibt, braucht den Schritt „Gegenzahl addieren“, und wer −8 über −3 einordnet, braucht noch einmal den Zahlenstrahl.

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Typische Fehler bei negativen Zahlen

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten bei negativen Zahlen, und jeder hat eine kurze Korrektur.

„Minus mal minus ergibt plus“ überall anwenden: −2 + (−3) ist −5, weil das Addieren einer negativen Zahl nach links geht. Die Plus-Regel gehört nur zum Multiplizieren und Dividieren.
Nach den Ziffern ordnen: −8 ist kleiner als −3, obwohl 8 größer als 3 ist. Stellen Sie sich den Zahlenstrahl vor und wählen Sie die Zahl weiter rechts.
Die Klammern weglassen: 5 − (−3), geschrieben als 5 − 3, ergibt 2 statt 8. Behalten Sie die Klammern, bis Sie die Aufgabe als Addition umgeschrieben haben.
Das Vorzeichen in einer langen Aufgabe verlieren: Bei −4 · 3 + 10 ist das Produkt −12, also ist die Antwort −12 + 10 = −2. Kreisen Sie vor dem Rechnen jedes Vorzeichen ein.

Sonderfall: −3² und (−3)²

Ein Exponent gilt nur für das, was direkt darunter steht, also ergeben −3² und (−3)² verschiedene Ergebnisse. −3² bedeutet −(3 · 3) = −9, während (−3)² bedeutet (−3) · (−3) = 9. Der Leitfaden zu Potenzen erklärt die Regel und die negativen Exponenten, die eine eigene Idee sind.

Ihre Checkliste zu negativen Zahlen und die nächsten Schritte

Bild: vor dem Rechnen einen Zahlenstrahl skizzieren.
Ordnen: die Zahl weiter rechts ist größer, also −3 > −8.
Subtrahieren: p − q als p + (−q) umschreiben, bevor Sie losgehen.
Addieren: gleiche Vorzeichen addieren und behalten; verschiedene Vorzeichen subtrahieren und das Vorzeichen der Zahl weiter von 0 nehmen.
Multiplizieren und dividieren: gleiche Vorzeichen ergeben ein positives, verschiedene ein negatives Ergebnis.
Potenzen: auf die Klammern bei −3² und (−3)² achten.

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