Vad är negativa tal och hur adderar, subtraherar och multiplicerar man dem?

Negativa tal är tal som är mindre än noll, skrivna med minustecken, som −3, och de ligger till vänster om 0 på tallinjen. När du adderar ett negativt tal går du åt vänster; när du subtraherar ett negativt tal adderar du dess motsatta tal, så 5 − (−3) = 8. Vid multiplikation och division ger lika tecken ett positivt svar och olika tecken ett negativt.

Är negativa tal naturliga tal?

Negativa tal är inte naturliga tal. De naturliga talen är 0, 1, 2, 3 och så vidare, utan negativa tal. Negativa tal som −1, −2 och −3 hör till heltalen, som är de naturliga talen tillsammans med sina motsatta tal, och ett negativt bråk som −1/2 är inte alls ett heltal.

Är negativa tal rationella tal?

Negativa heltal och negativa bråk är rationella tal. Ett rationellt tal är varje tal som kan skrivas som ett bråk p/q av två heltal där q inte är noll, så både −3 = −3/1 och −3/4 är rationella. Det finns också negativa irrationella tal, till exempel det motsatta talet till kvadratroten ur 2.

Är negativa tal reella tal?

Negativa tal är reella tal. De reella talen fyller hela tallinjen, och varje negativt tal har en punkt till vänster om 0 på den linjen. Negativa heltal, negativa bråk, negativa decimaltal och negativa irrationella tal är alla reella.

Varför blir minus gånger minus plus?

Minus gånger minus blir plus eftersom mönstret i multiplikationen måste fortsätta förbi noll. I raden −3 × 2 = −6, −3 × 1 = −3 och −3 × 0 = 0 ökar varje svar med 3, så nästa rad måste bli −3 × (−1) = 3. Common Core-standarden 7.NS.A.2a knyter regeln (−1)(−1) = 1 till den distributiva lagen.

Vad blir ett negativt tal minus ett negativt tal?

Ett negativt tal minus ett negativt tal räknar du ut genom att addera det andra talets motsatta tal. För −4 − (−6) gör du om subtraktionen av −6 till addition av 6, så −4 + 6 = 2. För −9 − (−2) ger samma drag −9 + 2 = −7, så svaret kan bli positivt eller negativt beroende på vilket tal som ligger längst från noll.

Negativa tal: regler för addition och subtraktion

En elev i årskurs 7 stirrar på 5 − (−3) och skriver 2, termometern visar −5 °C, och bankappen visar ett saldo på −30 kr. Negativa tal ligger bakom alla tre, och reglerna för att addera, subtrahera och multiplicera negativa tal följer av en enda bild: tallinjen. När den bilden sitter blir subtraktion av negativa tal, teckenreglerna och den klassiska frågan ”negativt minus negativt” samma drag.

Vad är negativa tal?

Ett negativt tal är ett tal som är mindre än noll, skrivet med ett minustecken framför, som −1, −7 eller −3/4. På en vågrät tallinje ligger de positiva talen till höger om 0 och de negativa till vänster, så varje negativt tal är mindre än 0 och mindre än varje positivt tal.

Negativa tal beskriver mängder under en startpunkt. OpenStax Prealgebra använder kallt väder (”grader under noll”) och höjd över havet, där en plats 1 302 fot (ungefär 397 m) under havsytan skrivs −1 302 fot. Ett saldo på −30 kr betyder att du är skyldig 30 kr.

Common Core-standarden 6.NS.C.5 ber elever i årskurs 6 att ”förstå att positiva och negativa tal används tillsammans för att beskriva storheter med motsatta riktningar eller värden”, och nämner temperatur, höjd över havet, insättningar och uttag som exempel. I Sverige står negativa tal uttryckligen i Lgr22:s centrala innehåll för årskurs 4–6 (kursplanen i matematik, Skolverket): ”Rationella tal, däribland negativa tal, och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och användas.”

Motsatta tal och absolutbelopp

Det motsatta talet till ett tal är talet på samma avstånd från 0 på andra sidan, så det motsatta talet till 4 är −4 och det motsatta talet till −4 är 4. Standarden 6.NS.C.6a säger det med ett exempel: ”det motsatta talet till det motsatta talet är talet självt, t.ex. −(−3) = 3, och 0 är sitt eget motsatta tal.”

Absolutbeloppet av ett tal är dess avstånd från 0, skrivet med två lodräta streck. Både |−7| och |7| är 7, eftersom vart och ett ligger 7 steg från 0. Standarden 6.NS.C.7c använder en skuld: ”för ett kontosaldo på −30 dollar, skriv |−30| = 30 för att beskriva skuldens storlek i dollar.”

Ordningen följer linjen. Ett tal längre till höger är alltid större, så −3 > −8 trots att 8 är större än 3. Standarden 6.NS.C.7b ger läsningen ”−3 °C är varmare än −7 °C.”

Så adderar och subtraherar du negativa tal, steg för steg

Att addera och subtrahera negativa tal betyder att flytta sig längs tallinjen: att addera ett positivt tal flyttar dig åt höger, att addera ett negativt tal flyttar dig åt vänster, och att subtrahera ett tal flyttar dig åt motsatt håll mot att addera det. Standarden 7.NS.A.1c sätter ord på regeln: ”förstå subtraktion av rationella tal som addition av den additiva inversen, p − q = p + (−q).”

Placera det första talet på tallinjen. För −4 + 6 sätter du fingret på −4.
Gör om varje subtraktion till addition av det motsatta talet. 5 − (−3) blir 5 + 3, och 2 − 7 blir 2 + (−7).
Gå åt höger för ett positivt tal och åt vänster för ett negativt. Från −4 betyder addition av 6 att gå 6 steg åt höger, och du landar på 2.
Använd absolutbeloppen när talen är stora. Med lika tecken adderar du absolutbeloppen och behåller tecknet: −20 + (−15) = −35. Med olika tecken subtraherar du det mindre absolutbeloppet från det större och behåller tecknet hos det tal som ligger längst från 0: −20 + 15 = −5.
Kontrollera svaret med ett snabbt överslag. Om du börjar under noll och adderar ett mindre positivt tal måste svaret fortfarande ligga under noll.

En tallinje från −10 till 10 med två förflyttningar: ett hopp på 3 åt höger från 5 till 8 för 5 − (−3) = 5 + 3 = 8, och ett hopp på 6 åt höger från −4 till 2 för −4 + 6 = 2.

Att subtrahera ett negativt tal: delen många gör fel

Att subtrahera ett negativt tal är det steg flest elever missar, eftersom ”ta bort” låter som att svaret borde bli mindre. För 5 − (−3) skriver du om det som 5 + 3, och svaret är 8, alltså större än 5.

Ett fel från banken gör orsaken synlig. Om ditt saldo är 5 kr och banken tar bort en avgift på 3 kr som den drog av misstag, så lämnar borttagandet av −3 dig med 8 kr. Negativt minus negativt fungerar på samma sätt: −4 − (−6) = −4 + 6 = 2, och −9 − (−2) = −9 + 2 = −7.

Under ytan bär subtraktion med naturliga tal fortfarande räkningen, och guiden om subtraktion med växling täcker det lagret.

Reglerna för negativa tal i en tabell

Teckenreglerna för negativa tal ryms på fem rader: två för addition, en för subtraktion och två för multiplikation och division. Varje rad visar regeln, ett räknat exempel och motsvarande förflyttning på tallinjen.

Räknesätt	Regel	Exempel	Förflyttning på tallinjen
Addition, lika tecken	Addera absolutbeloppen, behåll tecknet	−2 + (−3) = −5	Börja på −2, gå 3 åt vänster
Addition, olika tecken	Subtrahera absolutbeloppen, behåll tecknet hos talet längst från 0	−7 + 4 = −3	Börja på −7, gå 4 åt höger
Subtrahera ett negativt tal	Addera dess motsatta tal	−4 − (−6) = 2	Börja på −4, gå 6 åt höger
Multiplikation eller division, lika tecken	Svaret är positivt	(−3) × (−4) = 12	Spegelbild av 3 hopp på 4 åt vänster
Multiplikation eller division, olika tecken	Svaret är negativt	−12 : 3 = −4	3 lika hopp från 0 till −12

Att multiplicera negativa tal sker i två drag: multiplicera absolutbeloppen och välj sedan tecken. Lika tecken ger en positiv produkt och olika tecken en negativ, så 3 × (−4) = −12 och (−3) × (−4) = 12.

OpenStax lägger division under samma regel: ”Division av tal med tecken följer samma regler som multiplikation.” Alltså är −12 : 3 = −4, 12 : (−3) = −4 och −12 : (−3) = 4.

Med fler än två faktorer räknar du minustecknen. Ett jämnt antal ger ett positivt svar och ett udda antal ett negativt, så (−1) × (−2) × (−3) = −6.

Ett rutnät två gånger två med teckenregler för multiplikation: plus gånger plus blir plus med 3 × 4 = 12, plus gånger minus blir minus med 3 × (−4) = −12, minus gånger plus blir minus med (−3) × 4 = −12, och minus gånger minus blir plus med (−3) × (−4) = 12.

Varför minus gånger minus blir plus

Minus gånger minus blir plus eftersom mönstret i multiplikationen måste fortsätta förbi noll. Skriv gångertabellen för −3 där den andra faktorn minskar med 1 för varje rad:

−3 × 2 = −6
−3 × 1 = −3
−3 × 0 = 0
−3 × (−1) = 3
−3 × (−2) = 6

Varje svar ökar med 3 när den andra faktorn minskar med 1, så raden efter 0 måste bli 3. Vilket annat svar som helst skulle bryta ett mönster som håller på alla andra rader.

Standarden 7.NS.A.2a ger det formella skälet: multiplikation utvidgas till negativa tal ”genom kravet att räkneoperationerna fortsätter att uppfylla räknelagarna, särskilt den distributiva lagen, vilket leder till produkter som (−1)(−1) = 1.” I symboler är 0 = −1 × (1 + (−1)) = −1 + (−1)(−1), så (−1)(−1) måste vara 1.

Samma kedja av regler ligger under prioriteringsreglerna, och guiden om prioriteringsregler visar var tecknen passar in bland parenteser, potenser och produkter.

Negativa tal i vardagen

Negativa tal dyker upp överallt där en storhet kan falla under en startpunkt. Temperatur, hissar, havsnivå och pengar är de fyra du möter oftast.

Temperatur: Om termometern visar −5 °C på morgonen och 12 °C på eftermiddagen har det blivit 12 − (−5) = 12 + 5 = 17 grader varmare.
Hissar: Våningar under bottenvåningen numreras ofta −1 och −2. Från våning 3 ner till våning −2 är det 3 − (−2) = 5 våningar.
Pengar: Ett saldo på −30 kr följt av en insättning på 50 kr ger −30 + 50 = 20 kr.
Havsnivå: En dykare på −40 m som stiger 15 m hamnar på −40 + 15 = −25 m.

Englands nationella kursplan använder samma sammanhang: elever i Year 6 ska ”använda negativa tal i sammanhang och räkna ut intervall över 0”, och kursplanens vägledning nämner temperatur som förebild.

Avståndet mellan två tal

Avståndet mellan två tal på tallinjen är absolutbeloppet av deras differens. Standarden 7.NS.A.1c ber eleverna att ”visa att avståndet mellan två rationella tal på tallinjen är absolutbeloppet av deras differens.” Från −5 till 12 är det |12 − (−5)| = 17, samma 17 grader som på termometern.

Så kontrollerar du att negativa tal har landat

Fem korta frågor visar om ett barn eller en vuxen kan räkna med negativa tal. Be om resonemanget lika väl som svaret.

Ordning: Vilket är störst, −8 eller −3? Svaret är −3, eftersom det ligger till höger om −8.
Addition: Vad är −6 + 4? Svaret är −2.
Subtraktion av ett negativt tal: Vad är 7 − (−5)? Svaret är 12, från 7 + 5.
Teckenregler: Vad är (−6) × (−5) och 24 : (−8)? Svaren är 30 och −3.
Sammanhang: Temperaturen sjunker från 4 °C till −9 °C. Hur mycket sjönk den? Svaret är 4 − (−9) = 13 grader.

Ett test på två minuter

Ett test på två minuter med de fem frågorna i blandad ordning säger mer än en hel sida av en enda sort. En elev som får additionen rätt men skriver 2 för 7 − (−5) behöver steget ”addera det motsatta talet”, och en elev som rangordnar −8 över −3 behöver tallinjen igen.

Vad som förväntas i årskurs 6 och 7 kring de här färdigheterna står i guiden om vilken matte varje årskurs ska kunna. För snabb övning med enstegsekvationer som x − 4 = 9 går spelet ”lös ut x” att spela gratis i webbläsaren.

Spela gratis i webbläsarenLös ut xÅk 6+

Vanliga misstag med negativa tal

Fyra misstag orsakar de flesta felsvaren med negativa tal, och vart och ett har en kort fix.

Att använda ”två minus blir plus” för ofta: −2 + (−3) är −5, eftersom addition av ett negativt tal flyttar dig åt vänster. Regeln om positiv produkt hör bara till multiplikation och division.
Att ordna efter siffrorna: −8 är mindre än −3, trots att 8 är större än 3. Tänk på tallinjen och välj talet längst till höger.
Att tappa parenteserna: 5 − (−3) skrivet som 5 − 3 ger 2 i stället för 8. Behåll parenteserna tills du har skrivit om uppgiften som en addition.
Att tappa tecknet i en lång uppgift: I −4 × 3 + 10 är produkten −12, så svaret är −12 + 10 = −2. Ringa in varje tecken innan du räknar.

Gränsfall: −3² och (−3)²

En exponent gäller bara det som står direkt under den, så −3² och (−3)² ger olika svar. −3² betyder −(3 × 3) = −9, medan (−3)² betyder (−3) × (−3) = 9. Guiden om potenser går igenom regeln och negativa exponenter, som är en annan sak.

Din checklista för negativa tal och nästa steg

Bild: skissa en tallinje innan du räknar.
Ordning: talet längre till höger är större, så −3 > −8.
Subtrahera: skriv om p − q som p + (−q) innan du flyttar dig.
Addera: lika tecken adderas och behåller tecknet; olika tecken subtraheras och behåller tecknet hos talet längst från 0.
Multiplicera och dividera: lika tecken ger ett positivt svar, olika tecken ett negativt.
Potenser: se upp med parenteserna i −3² och (−3)².

Föräldrar till barn i årskurs 6 hittar övning på rätt nivå på sidan med mattespel för årskurs 6. Vuxna som bygger upp sin taluppfattning igen kan läsa hur du blir bättre på matte som vuxen eller prova mattespelet för vuxna.

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad som höjer nivån när svaren blir rätt, daglig övning och strider i realtid för 2–5 spelare, på 33 språk. Tjugotvå av spelen går att spela gratis i webbläsaren utan konto.