Liczby ujemne wyjaśnione: jak je dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić

Uczeń patrzy na 5 − (−3) i pisze 2, termometr za oknem pokazuje −5 °C, a aplikacja banku wyświetla saldo −30 zł. Za wszystkimi trzema stoją liczby ujemne, a zasady dodawania, odejmowania i mnożenia liczb ujemnych wynikają z jednego obrazka: osi liczbowej. Gdy ten obrazek jest jasny, odejmowanie liczb ujemnych, zasady znaków i klasyczne pytanie „liczba ujemna minus liczba ujemna” stają się tym samym ruchem.

Co to są liczby ujemne?

Liczba ujemna to liczba mniejsza od zera, zapisywana ze znakiem minus z przodu, na przykład −1, −7 albo −3/4. Na poziomej osi liczbowej liczby dodatnie leżą na prawo od 0, a ujemne na lewo, więc każda liczba ujemna jest mniejsza od 0 i od każdej liczby dodatniej.

Liczby ujemne opisują ilości poniżej punktu wyjścia. Podręcznik OpenStax Prealgebra używa mrozu („stopnie poniżej zera”) i wysokości nad poziomem morza, gdzie miejsce 100 m poniżej poziomu morza zapisuje się jako −100 m. Saldo konta −30 zł znaczy, że jesteś winien 30 zł.

W Polsce podstawa programowa matematyki umieszcza liczby ujemne w klasach 4–6: uczeń „podaje praktyczne przykłady stosowania liczb ujemnych” i „wykonuje proste rachunki pamięciowe na liczbach całkowitych”. Amerykański standard Common Core 6.NS.C.5 prosi szóstoklasistów, żeby rozumieli, że liczby dodatnie i ujemne razem opisują wielkości o przeciwnych kierunkach lub wartościach, i jako przykłady wymienia temperaturę, wysokość, wpływy i wydatki.

Liczby przeciwne i wartość bezwzględna

Liczba przeciwna do danej to liczba w tej samej odległości od 0 po drugiej stronie, więc liczbą przeciwną do 4 jest −4, a do −4 jest 4. Standard 6.NS.C.6a podaje to z przykładem: liczba przeciwna do liczby przeciwnej to sama liczba, na przykład −(−3) = 3, a 0 jest liczbą przeciwną do samej siebie.

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od 0, zapisywana między dwiema kreskami. |−7| i |7| są równe 7, bo każda z tych liczb leży 7 kroków od 0. Standard 6.NS.C.7c używa długu: przy saldzie konta −30 dolarów zapis |−30| = 30 opisuje wielkość długu w dolarach.

Porządek wynika z osi. Liczba bardziej na prawo jest zawsze większa, więc −3 > −8, chociaż 8 jest większe od 3. Standard 6.NS.C.7b czyta to tak: −3 °C to cieplej niż −7 °C.

Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych krok po kroku

Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych to ruch po osi liczbowej: dodanie liczby dodatniej przesuwa w prawo, dodanie liczby ujemnej przesuwa w lewo, a odjęcie liczby przesuwa w stronę przeciwną niż jej dodanie. Standard 7.NS.A.1c nazywa tę zasadę: odejmowanie liczb wymiernych to dodawanie liczby przeciwnej, p − q = p + (−q).

1. Zaznacz pierwszą liczbę na osi liczbowej. Dla −4 + 6 połóż palec na −4.
2. Zamień każde odejmowanie na dodawanie liczby przeciwnej. 5 − (−3) staje się 5 + 3, a 2 − 7 staje się 2 + (−7).
3. Idź w prawo dla liczby dodatniej i w lewo dla ujemnej. Od −4 dodanie 6 to 6 kroków w prawo, co prowadzi do 2.
4. Przy dużych liczbach używaj wartości bezwzględnych. Przy tych samych znakach dodaj wartości bezwzględne i zostaw znak: −20 + (−15) = −35. Przy różnych znakach odejmij mniejszą wartość bezwzględną od większej i zostaw znak liczby leżącej dalej od 0: −20 + 15 = −5.
5. Sprawdź wynik szybkim szacowaniem. Jeśli zaczynasz poniżej zera i dodajesz mniejszą liczbę dodatnią, wynik nadal musi być poniżej zera.

Odejmowanie liczby ujemnej: miejsce, w którym ludzie się mylą

Odejmowanie liczby ujemnej to krok, który większość uczniów myli, bo „zabierz” brzmi tak, jakby wynik miał być mniejszy. Dla 5 − (−3) zapisz 5 + 3, a wynik to 8, czyli więcej niż 5.

Pomyłka banku pokazuje dlaczego. Jeśli masz na koncie 5 zł, a bank cofa opłatę 3 zł, którą pobrał przez pomyłkę, zabranie −3 zostawia ci 8 zł. Ujemna minus ujemna działa tak samo: −4 − (−6) = −4 + 6 = 2, a −9 − (−2) = −9 + 2 = −7.

Pod spodem nadal pracuje odejmowanie liczb naturalnych, a poradnik o odejmowaniu z przekroczeniem progu omawia tę warstwę.

Zasady dla liczb ujemnych w jednej tabeli

Zasady znaków dla liczb ujemnych mieszczą się w pięciu wierszach: dwa dla dodawania, jeden dla odejmowania i dwa dla mnożenia i dzielenia. Każdy wiersz podaje zasadę, rozwiązany przykład i odpowiadający mu ruch na osi liczbowej.

Mnożenie liczb ujemnych to dwa ruchy: pomnóż wartości bezwzględne, potem wybierz znak. Te same znaki dają iloczyn dodatni, a różne znaki iloczyn ujemny, więc 3 × (−4) = −12, a (−3) × (−4) = 12.

OpenStax obejmuje dzielenie tą samą zasadą: dzielenie liczb ze znakiem rządzi się tymi samymi regułami co mnożenie. Więc −12 : 3 = −4, 12 : (−3) = −4, a −12 : (−3) = 4.

Przy więcej niż dwóch czynnikach policz minusy. Parzysta liczba minusów daje wynik dodatni, a nieparzysta ujemny, więc (−1) × (−2) × (−3) = −6.

Dlaczego minus razy minus daje plus

Minus razy minus daje plus, bo wzór mnożenia musi działać dalej za zerem. Zapisz tabliczkę mnożenia dla −3, zmniejszając drugi czynnik o 1 w każdej linijce:

• −3 × 2 = −6
• −3 × 1 = −3
• −3 × 0 = 0
• −3 × (−1) = 3
• −3 × (−2) = 6

Każdy wynik rośnie o 3, gdy drugi czynnik maleje o 1, więc linijka po zerze musi dać 3. Każdy inny wynik złamałby wzór, który działa w każdej innej linijce.

Standard 7.NS.A.2a podaje formalny powód: mnożenie rozszerza się na liczby ujemne tak, żeby działania nadal miały swoje własności, zwłaszcza rozdzielność mnożenia względem dodawania, co prowadzi do iloczynów takich jak (−1)(−1) = 1. W symbolach 0 = −1 × (1 + (−1)) = −1 + (−1)(−1), więc (−1)(−1) musi równać się 1.

Ten sam łańcuch zasad leży pod kolejnością wykonywania działań, a poradnik o kolejności wykonywania działań pokazuje, gdzie znaki mieszczą się wśród nawiasów, potęg i iloczynów.

Liczby ujemne w codziennym życiu

Liczby ujemne pojawiają się wszędzie tam, gdzie wielkość może spaść poniżej punktu wyjścia. Temperatura, winda, poziom morza i pieniądze to cztery najczęstsze przykłady.

• Temperatura: Jeśli rano termometr pokazuje −5 °C, a po południu 12 °C, temperatura wzrosła o 12 − (−5) = 12 + 5 = 17 stopni.
• Winda: Piętra pod parterem często mają numery −1 i −2. Z piętra 3 na piętro −2 jest 3 − (−2) = 5 pięter.
• Pieniądze: Saldo −30 zł, a potem wpłata 50 zł daje −30 + 50 = 20 zł.
• Poziom morza: Nurek na głębokości −40 m, który wynurza się o 15 m, kończy na −40 + 15 = −25 m.

Program nauczania w Anglii używa tych samych sytuacji: uczniowie Year 6 używają liczb ujemnych w kontekście i liczą odstępy przez 0, a wskazówki podają temperaturę jako wzór.

Odległość między dwiema liczbami

Odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej to wartość bezwzględna ich różnicy. Standard 7.NS.A.1c prosi uczniów, żeby pokazali, że odległość między dwiema liczbami wymiernymi na osi to wartość bezwzględna ich różnicy. Od −5 do 12 to |12 − (−5)| = 17, tyle samo stopni co na termometrze.

Jak sprawdzić, czy liczby ujemne zostały zrozumiane

Pięć krótkich pytań pokazuje, czy dziecko albo dorosły radzi sobie z liczbami ujemnymi. Proś o uzasadnienie, nie tylko o wynik.

• Porządek: Która liczba jest większa, −8 czy −3? Odpowiedź to −3, bo leży na prawo od −8.
• Dodawanie: Ile to −6 + 4? Wynik to −2.
• Odejmowanie liczby ujemnej: Ile to 7 − (−5)? Wynik to 12, z 7 + 5.
• Zasady znaków: Ile to (−6) × (−5) i 24 : (−8)? Wyniki to 30 i −3.
• Kontekst: Temperatura spada z 4 °C do −9 °C. O ile spadła? Wynik to 4 − (−9) = 13 stopni.

Dwuminutowy test

Dwuminutowy test z tych pięciu pytań, w wymieszanej kolejności, mówi więcej niż strona zadań jednego typu. Uczeń, który dobrze dodaje, ale pisze 2 przy 7 − (−5), potrzebuje kroku „dodaj liczbę przeciwną”, a uczeń, który stawia −8 wyżej niż −3, potrzebuje jeszcze raz osi liczbowej.

Co z tych umiejętności przypada na które klasy, opisuje przegląd czego z matematyki powinno się nauczyć w każdej klasie. Do szybkich ćwiczeń z równaniami w jednym kroku, takimi jak x − 4 = 9, służy gra z szukaniem x, darmowa w przeglądarce.

Zagraj za darmo w przeglądarceRozwiąż równanieKlasa 6+

Najczęstsze błędy z liczbami ujemnymi

Cztery błędy odpowiadają za większość złych wyników z liczbami ujemnymi, a każdy ma krótkie lekarstwo.

• Nadużywanie „minus i minus daje plus”: −2 + (−3) to −5, bo dodanie liczby ujemnej przesuwa w lewo. Zasada dodatniego iloczynu dotyczy tylko mnożenia i dzielenia.
• Porządkowanie po cyfrach: −8 jest mniejsze od −3, chociaż 8 jest większe od 3. Wyobraź sobie oś liczbową i wybierz liczbę leżącą bardziej na prawo.
• Gubienie nawiasów: 5 − (−3) zapisane jako 5 − 3 daje 2 zamiast 8. Trzymaj nawiasy, dopóki nie zapiszesz zadania jako dodawania.
• Gubienie znaku w długim zadaniu: W −4 × 3 + 10 iloczyn to −12, więc wynik to −12 + 10 = −2. Zakreśl każdy znak, zanim zaczniesz liczyć.

Przypadek szczególny: −3² i (−3)²

Wykładnik działa tylko na to, co stoi tuż pod nim, więc −3² i (−3)² dają różne wyniki. −3² znaczy −(3 × 3) = −9, a (−3)² znaczy (−3) × (−3) = 9. Poradnik o potęgach omawia tę zasadę i potęgi o wykładniku ujemnym, które są osobnym pojęciem.

Twoja lista kontrolna liczb ujemnych i następne kroki

• Obrazek: naszkicuj oś liczbową, zanim zaczniesz liczyć.
• Porządek: liczba bardziej na prawo jest większa, więc −3 > −8.
• Odejmowanie: zapisz p − q jako p + (−q), zanim się ruszysz.
• Dodawanie: te same znaki dodaj i zostaw znak; różne znaki odejmij i zostaw znak liczby dalszej od 0.
• Mnożenie i dzielenie: te same znaki dają wynik dodatni, różne ujemny.
• Potęgi: pilnuj nawiasów w −3² i (−3)².

Rodzice szóstoklasistów znajdą ćwiczenia dla swojej klasy na stronie gra matematyczna dla 6 klasy. Dorośli, którzy odbudowują wyczucie liczb, mogą przeczytać jak poprawić matematykę jako dorosły albo spróbować gry matematycznej dla dorosłych.

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier, adaptacyjnym poziomem trudności, który podnosi poziom, gdy odpowiedzi wychodzą dobrze, codziennymi ćwiczeniami i pojedynkami na żywo dla 2–5 graczy, w 33 językach. Dwadzieścia dwie gry działają za darmo w przeglądarce, bez rejestracji.