Wat zijn negatieve getallen en hoe tel je ze op, trek je ze af en vermenigvuldig je ze?

Negatieve getallen zijn getallen kleiner dan nul, geschreven met een minteken, zoals −3, en ze liggen links van 0 op de getallenlijn. Tel je een negatief getal op, dan ga je naar links; trek je een negatief getal af, dan tel je het tegengestelde op, dus 5 − (−3) = 8. Bij vermenigvuldigen en delen geven gelijke tekens een positief antwoord en verschillende tekens een negatief.

Zijn negatieve getallen natuurlijke getallen?

Negatieve getallen zijn geen natuurlijke getallen. De natuurlijke getallen zijn 0, 1, 2, 3 enzovoort, zonder negatieve. Negatieve getallen zoals −1, −2 en −3 horen bij de gehele getallen, dat zijn de natuurlijke getallen samen met hun tegengestelden, en een negatieve breuk zoals −1/2 is helemaal geen geheel getal.

Zijn negatieve getallen rationale getallen?

Negatieve gehele getallen en negatieve breuken zijn rationale getallen. Een rationaal getal is elk getal dat je kunt schrijven als breuk p/q van twee gehele getallen met q niet nul, dus −3 = −3/1 en −3/4 zijn allebei rationaal. Er bestaan ook negatieve irrationale getallen, zoals het tegengestelde van de wortel uit 2.

Zijn negatieve getallen reële getallen?

Negatieve getallen zijn reële getallen. De reële getallen vullen de hele getallenlijn, en elk negatief getal heeft een punt links van 0 op die lijn. Negatieve gehele getallen, negatieve breuken, negatieve kommagetallen en negatieve irrationale getallen zijn allemaal reëel.

Waarom is min keer min plus?

Min keer min is plus omdat het patroon van de tafel voorbij nul moet doorlopen. In het rijtje −3 × 2 = −6, −3 × 1 = −3 en −3 × 0 = 0 gaat elk antwoord 3 omhoog, dus de volgende regel moet −3 × (−1) = 3 zijn. Common Core-standaard 7.NS.A.2a koppelt de regel (−1)(−1) = 1 aan de verdeeleigenschap.

Wat is een negatief getal min een negatief getal?

Een negatief getal min een negatief getal reken je uit door het tegengestelde van het tweede getal op te tellen. Bij −4 − (−6) maak je van het aftrekken van −6 het optellen van 6, dus −4 + 6 = 2. Bij −9 − (−2) geeft dezelfde beweging −9 + 2 = −7, dus het antwoord kan positief of negatief zijn, afhankelijk van welk getal verder van nul ligt.

Negatieve getallen: regels voor plus en min

Een brugklasser kijkt naar 5 − (−3) en schrijft 2 op, de thermometer wijst −5 °C aan en de bankapp toont een saldo van −€30. Achter alle drie zitten negatieve getallen, en de regels voor optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met negatieve getallen volgen uit één plaatje: de getallenlijn. Zodra dat plaatje helder is, worden negatieve getallen aftrekken, de tekenregels en de bekende vraag "min min" allemaal dezelfde beweging.

Wat zijn negatieve getallen?

Een negatief getal is een getal kleiner dan nul, geschreven met een minteken ervoor, zoals −1, −7 of −3/4. Op een horizontale getallenlijn liggen positieve getallen rechts van 0 en negatieve getallen links, dus elk negatief getal is kleiner dan 0 en kleiner dan elk positief getal.

Negatieve getallen beschrijven hoeveelheden onder een beginpunt. OpenStax Prealgebra gebruikt koud weer ("graden onder nul") en hoogte. In Nederland ligt het laagste punt van het land, bij Nieuwerkerk aan den IJssel, ongeveer 6,76 meter onder NAP, geschreven als −6,76 m. Een banksaldo van −€30 betekent dat je €30 schuldig bent.

In Nederland noemt de uitwerking van kerndoel 26 bij SLO voor groep 7 en 8 "negatieve getallen (thermometer)"; het rekenen ermee volgt in de brugklas. Common Core-standaard 6.NS.C.5 vraagt in het zesde schooljaar, ongeveer groep 8, om "te begrijpen dat positieve en negatieve getallen samen worden gebruikt om hoeveelheden met een tegengestelde richting of waarde te beschrijven", met temperatuur, hoogte, tegoed en schuld als voorbeelden.

Tegengestelde getallen en absolute waarde

Het tegengestelde van een getal ligt even ver van 0 aan de andere kant, dus het tegengestelde van 4 is −4 en het tegengestelde van −4 is 4. Standaard 6.NS.C.6a zegt het met een voorbeeld: "het tegengestelde van het tegengestelde van een getal is het getal zelf, bijvoorbeeld −(−3) = 3, en 0 is zijn eigen tegengestelde".

De absolute waarde van een getal is de afstand tot 0, geschreven tussen twee strepen. |−7| en |7| zijn allebei 7, want elk ligt 7 stappen van 0. Standaard 6.NS.C.7c gebruikt een schuld: "bij een saldo van −30 dollar schrijf je |−30| = 30 om de grootte van de schuld in dollars te beschrijven".

De volgorde volgt de lijn. Een getal dat verder rechts ligt, is altijd groter, dus −3 > −8, ook al is 8 groter dan 3. Standaard 6.NS.C.7b geeft de lezing "−3 °C is warmer dan −7 °C".

Negatieve getallen optellen en aftrekken, stap voor stap

Negatieve getallen optellen en aftrekken betekent bewegen over de getallenlijn: een positief getal optellen gaat naar rechts, een negatief getal optellen naar links, en een getal aftrekken gaat de andere kant op dan het optellen. Standaard 7.NS.A.1c noemt de regel: "aftrekken van rationale getallen begrijpen als het optellen van het tegengestelde, p − q = p + (−q)".

Zet het eerste getal op de getallenlijn. Bij −4 + 6 zet je je vinger op −4.
Maak van elk aftrekken het optellen van het tegengestelde. 5 − (−3) wordt 5 + 3, en 2 − 7 wordt 2 + (−7).
Ga naar rechts bij een positief getal en naar links bij een negatief. Vanaf −4 betekent 6 optellen 6 stappen naar rechts, en dan kom je op 2.
Gebruik absolute waarden als de getallen groot zijn. Bij gelijke tekens tel je de absolute waarden op en houd je het teken: −20 + (−15) = −35. Bij verschillende tekens trek je de kleinste absolute waarde af van de grootste en houd je het teken van het getal dat verder van 0 ligt: −20 + 15 = −5.
Controleer het antwoord met een snelle schatting. Begin je onder nul en tel je er een kleiner positief getal bij, dan moet het antwoord nog onder nul liggen.

Een getallenlijn van −10 tot 10 met twee sprongen: een sprong van 3 naar rechts van 5 naar 8 voor 5 − (−3) = 5 + 3 = 8, en een sprong van 6 naar rechts van −4 naar 2 voor −4 + 6 = 2.

Een negatief getal aftrekken: het deel dat mensen fout doen

Een negatief getal aftrekken is de stap die de meeste leerlingen missen, want "eraf halen" klinkt alsof het antwoord kleiner moet worden. Schrijf 5 − (−3) als 5 + 3, en het antwoord is 8, groter dan 5.

Een fout van de bank maakt de reden zichtbaar. Staat er €5 op je rekening en haalt de bank een afschrijving van €3 weg die ze per ongeluk had gedaan, dan houd je na het weghalen van −3 €8 over. Min min werkt net zo: −4 − (−6) = −4 + 6 = 2, en −9 − (−2) = −9 + 2 = −7.

Onder dat alles zit nog gewoon aftrekken met hele getallen, en de gids over aftrekken met lenen behandelt die laag.

De regels voor negatieve getallen in één tabel

De tekenregels voor negatieve getallen passen in vijf rijen: twee voor optellen, één voor aftrekken en twee voor vermenigvuldigen en delen. Elke rij geeft de regel, een uitgewerkt voorbeeld en de bijbehorende beweging op de getallenlijn.

Bewerking	Regel	Voorbeeld	Beweging op de getallenlijn
Optellen, gelijke tekens	Tel de absolute waarden op, houd het teken	−2 + (−3) = −5	Begin op −2, ga 3 naar links
Optellen, verschillende tekens	Trek de absolute waarden af, houd het teken van het getal verder van 0	−7 + 4 = −3	Begin op −7, ga 4 naar rechts
Een negatief getal aftrekken	Tel het tegengestelde op	−4 − (−6) = 2	Begin op −4, ga 6 naar rechts
Vermenigvuldigen of delen, gelijke tekens	Het antwoord is positief	(−3) × (−4) = 12	Spiegelbeeld van 3 sprongen van 4 naar links
Vermenigvuldigen of delen, verschillende tekens	Het antwoord is negatief	−12 : 3 = −4	3 gelijke sprongen van 0 naar −12

Negatieve getallen vermenigvuldigen gaat in twee bewegingen: vermenigvuldig de absolute waarden en kies dan het teken. Gelijke tekens geven een positief product en verschillende tekens een negatief, dus 3 × (−4) = −12 en (−3) × (−4) = 12.

OpenStax zet delen onder dezelfde regel: "Delen met getallen met een teken volgt dezelfde regels als vermenigvuldigen." Dus −12 : 3 = −4, 12 : (−3) = −4 en −12 : (−3) = 4.

Bij meer dan twee factoren tel je de mintekens. Een even aantal geeft een positief antwoord en een oneven aantal een negatief, dus (−1) × (−2) × (−3) = −6.

Een rooster van twee bij twee met de tekenregels voor vermenigvuldigen: plus keer plus is plus met 3 × 4 = 12, plus keer min is min met 3 × (−4) = −12, min keer plus is min met (−3) × 4 = −12, en min keer min is plus met (−3) × (−4) = 12.

Waarom min keer min plus is

Min keer min is plus omdat het patroon van de tafel voorbij nul moet doorlopen. Schrijf de tafel van −3 op, met de tweede factor elke regel 1 lager:

−3 × 2 = −6
−3 × 1 = −3
−3 × 0 = 0
−3 × (−1) = 3
−3 × (−2) = 6

Elk antwoord stijgt met 3 als de tweede factor met 1 daalt, dus de regel na 0 moet 3 zijn. Elk ander antwoord zou een patroon breken dat op alle andere regels klopt.

Standaard 7.NS.A.2a geeft de formele reden: vermenigvuldigen wordt uitgebreid naar negatieve getallen "door te eisen dat de bewerkingen aan hun eigenschappen blijven voldoen, vooral de verdeeleigenschap, wat leidt tot producten als (−1)(−1) = 1". In symbolen: 0 = −1 × (1 + (−1)) = −1 + (−1)(−1), dus (−1)(−1) moet 1 zijn.

Dezelfde reeks regels zit onder de rekenvolgorde, en de gids over de rekenvolgorde laat zien waar tekens passen tussen haakjes, machten en producten.

Negatieve getallen in het dagelijks leven

Negatieve getallen duiken op overal waar een hoeveelheid onder een beginpunt kan zakken. Temperatuur, liften, zeeniveau en geld zijn de vier die je het vaakst tegenkomt.

Temperatuur: Wijst de thermometer 's ochtends −5 °C aan en 's middags 12 °C, dan is de stijging 12 − (−5) = 12 + 5 = 17 graden.
Liften: Verdiepingen onder de begane grond hebben vaak de nummers −1 en −2. Van verdieping 3 naar verdieping −2 is 3 − (−2) = 5 verdiepingen.
Geld: Een saldo van −€30 gevolgd door een storting van €50 geeft −30 + 50 = €20.
Zeeniveau: Een duiker op −40 m die 15 m stijgt, eindigt op −40 + 15 = −25 m.

Het nationale curriculum van Engeland gebruikt dezelfde situaties: leerlingen in Year 6, ongeveer groep 8, "gebruiken negatieve getallen in een context en berekenen afstanden over 0 heen", en de toelichting noemt temperatuur als het model.

De afstand tussen twee getallen

De afstand tussen twee getallen op de getallenlijn is de absolute waarde van hun verschil. Standaard 7.NS.A.1c vraagt leerlingen "te laten zien dat de afstand tussen twee rationale getallen op de getallenlijn de absolute waarde van hun verschil is". Van −5 naar 12 is dat |12 − (−5)| = 17, dezelfde 17 graden als op de thermometer.

Hoe je nagaat of negatieve getallen zijn ingedaald

Vijf korte vragen laten zien of een kind of een volwassene met negatieve getallen kan werken. Vraag naar de redenering en niet alleen naar het antwoord.

Volgorde: Wat is groter, −8 of −3? Het antwoord is −3, want dat ligt rechts van −8.
Optellen: Hoeveel is −6 + 4? Het antwoord is −2.
Een negatief getal aftrekken: Hoeveel is 7 − (−5)? Het antwoord is 12, via 7 + 5.
Tekenregels: Hoeveel zijn (−6) × (−5) en 24 : (−8)? De antwoorden zijn 30 en −3.
Context: De temperatuur zakt van 4 °C naar −9 °C. Hoeveel graden is ze gedaald? Het antwoord is 4 − (−9) = 13 graden.

Een toets van twee minuten

Een toets van twee minuten met de vijf vragen door elkaar vertelt je meer dan een blad met één soort som. Een leerling die het optellen goed heeft maar 2 schrijft bij 7 − (−5), heeft de stap "tel het tegengestelde op" nodig, en een leerling die −8 boven −3 zet, heeft de getallenlijn weer nodig.

Wat er rond deze vaardigheden in groep 8 en de brugklas verwacht wordt, staat in de gids over welke rekenstof bij welke groep hoort. Voor snelle oefening met vergelijkingen in één stap zoals x − 4 = 9 speelt het spel "los x op" gratis in de browser.

Gratis spelen in je browserx berekenenGroep 8+

Veelgemaakte fouten met negatieve getallen

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden met negatieve getallen, en elke fout heeft een korte oplossing.

"Min min is plus" te vaak toepassen: −2 + (−3) is −5, want een negatief getal optellen gaat naar links. De regel van het positieve product hoort alleen bij vermenigvuldigen en delen.
Ordenen op cijfers: −8 is kleiner dan −3, ook al is 8 groter dan 3. Stel je de getallenlijn voor en kies het getal dat verder rechts ligt.
De haakjes weglaten: 5 − (−3) schrijven als 5 − 3 geeft 2 in plaats van 8. Houd de haakjes tot je de som als optelling hebt herschreven.
Het teken kwijtraken in een lange som: In −4 × 3 + 10 is het product −12, dus het antwoord is −12 + 10 = −2. Omcirkel elk teken voordat je rekent.

Randgeval: −3² en (−3)²

Een exponent geldt alleen voor wat er direct onder staat, dus −3² en (−3)² geven verschillende antwoorden. −3² betekent −(3 × 3) = −9, terwijl (−3)² betekent (−3) × (−3) = 9. De gids over machten behandelt de regel en negatieve exponenten, en dat is een ander idee.

Je checklist voor negatieve getallen en de volgende stappen

Tekenen: schets een getallenlijn voordat je rekent.
Volgorde: het getal dat verder rechts ligt is groter, dus −3 > −8.
Aftrekken: herschrijf p − q als p + (−q) voordat je beweegt.
Optellen: gelijke tekens tel je op en houd je; bij verschillende tekens trek je af en houd je het teken van het getal verder van 0.
Vermenigvuldigen en delen: gelijke tekens geven een positief antwoord, verschillende tekens een negatief.
Machten: let op de haakjes in −3² en (−3)².

Ouders van kinderen in groep 8 vinden oefening op niveau op de pagina met het rekenspel voor groep 8. Volwassenen die hun getalgevoel weer opbouwen, kunnen als volwassene beter worden in rekenen lezen of het rekenspel voor volwassenen proberen.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die omhooggaat als de antwoorden goed gaan, dagelijkse oefening en live wedstrijden met 2 tot 5 spelers, in 33 talen. Tweeëntwintig van de spellen spelen gratis in de browser, zonder account.