Klammer vor Punkt vor Strich, Schritt für Schritt erklärt

Wie lautet die Regel in einem Satz?

Die Rechenreihenfolge arbeitet einen Term in einer festen Reihenfolge ab: zuerst die Klammern, dann die Potenzen, dann Mal und Geteilt gemeinsam von links nach rechts, dann Plus und Minus gemeinsam von links nach rechts. Dieser Satz ist die ganze Regel.

Die Regel ist eine Schreibvereinbarung, damit jeder Leser von 4 + 3 × 5 bei derselben Zahl landet. Die Common-Core-Standards für Mathematik sagen genau das und verlangen von Sechstklässlern (6.EE.2c), Rechnungen „in der üblichen Reihenfolge auszuführen, wenn keine Klammern eine bestimmte Reihenfolge vorgeben“. Ohne diese Vereinbarung addiert einer zuerst und erhält 35, ein anderer multipliziert zuerst und erhält 19. Mit ihr lautet das Ergebnis 19: erst 3 × 5, dann 4 dazu.

Klammern sind der Notschalter: Wenn eine Zeile verwirrt, sind zusätzliche Klammern immer die richtige Antwort.

Sind Punkt vor Strich, PEMDAS und BODMAS dieselbe Regel?

Punkt vor Strich, PEMDAS und BODMAS sind eine Vereinbarung unter verschiedenen Merksprüchen, und welchen Sie kennengelernt haben, hängt davon ab, wo Sie zur Schule gegangen sind. Im deutschsprachigen Raum lernen Kinder „Klammern zuerst“ und „Punkt vor Strich“, oft als KlaPoPuStri, also Klammer, Potenz, Punkt, Strich. Die englischen Kurzwörter setzen dieselben Schritte in andere Buchstaben.

Drei Einzelheiten sind wichtig:

• Runde und eckige Klammern sind dasselbe, und Potenzen, Hochzahlen und Exponenten meinen alle 3² oder 2³.
• PEMDAS setzt M vor D und BODMAS setzt D vor M, was nichts ändert, denn die beiden Rechenarten sind gleichrangig.
• Jede Fassung verschweigt den wichtigsten Teil der Regel, den Stichentscheid von links nach rechts.

Die langen Kurzwörter sind eine Unterrichtshilfe und stehen in keinem Lehrplan. Die deutsche Kurzform steht dort sehr wohl: Der bayerische LehrplanPLUS für Mathematik in der 5. Jahrgangsstufe verlangt, die Werte von Termen zu ermitteln, „die durch die Verbindung der Grundrechenarten bei ganzen Zahlen und durch Klammersetzung entstehen“, und nennt dabei die „Regeln für die Reihenfolge der Rechenschritte (insbesondere ‚Punkt vor Strich‘)“. Der englische Lehrplan für Mathematik druckt BIDMAS dagegen nirgends: Er verlangt von Kindern im Year 6, „ihr Wissen über die Rechenreihenfolge zu nutzen, um Rechnungen mit den vier Grundrechenarten auszuführen“.

Was machen die meisten falsch?

Der häufigste Fehler bei der Rechenreihenfolge ist, den Merkspruch als sechs Schritte zu lesen. Es sind vier, denn Mal und Geteilt teilen sich einen und Plus und Minus einen weiteren.

1. Klammern, das innerste Paar zuerst.
2. Potenzen.
3. Mal und Geteilt, von links nach rechts.
4. Plus und Minus, von links nach rechts.

Innerhalb eines Schritts lesen Sie die Zeile von links nach rechts. Drei kurze Zeilen machen es deutlich, jeweils mit dem falschen Ergebnis, zu dem der Merkspruch verleitet:

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. Die Falle: 10 − 7 = 3.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Die Falle: 100 ÷ 2,5 = 40.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. Die Falle: 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

Jedes falsche Ergebnis entsteht daraus, dem Merkspruch Buchstabe für Buchstabe zu folgen, statt von links nach rechts zu lesen. Wenn eine Zeile sowohl × als auch ÷ enthält oder sowohl + als auch −, sagen Sie zuerst, was weiter links steht, bevor Sie etwas ausrechnen.

Fünf gerechnete Beispiele, Schritt für Schritt

Diese fünf gerechneten Beispiele sind nach Schwierigkeit geordnet, von einer einzelnen Multiplikation bis zu verschachtelten Klammern mit Potenz, jedes mit einem Schritt pro Zeile.

Erstens: 4 + 3 × 5

Mal steht über Plus, also kommt es zuerst.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Ergebnis: 19.

Zweitens: 8 + 2 × (7 − 3)

Die Klammer kommt zuerst, egal was darin steht.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Ergebnis: 16.

Drittens: 20 − 12 ÷ 4 × 2

Der Term 20 − 12 ÷ 4 × 2 hat keine Klammern und keine Potenzen, also beginnt die Arbeit bei Schritt 3 und liest von links nach rechts. Die Division steht weiter links.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Ergebnis: 14.

Viertens: 5 + 2 × 3²

Die Potenz gehört allein zur 3 und reicht nicht bis zur 2.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Ergebnis: 23. Quadratzahlen tauchen ständig auf, sobald Potenzen im Spiel sind; das Spiel zu Quadratzahlen übt sie.

Fünftens: 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Verschachtelte Klammern werden von innen nach außen abgearbeitet: erst das innerste Paar, dann die äußere Klammer mit denselben vier Schritten, dann die Potenz, die Multiplikation, die Subtraktion.

1. 10 − 4 = 6, die Zeile wird zu 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
2. In der Klammer gilt Punkt vor Strich: 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, die Zeile wird zu 2 × 6² − 7
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Ergebnis: 65.

Eine Zeile pro Schritt zu schreiben verhindert die Ausrutscher von links nach rechts, und das Spiel zur Rechenreihenfolge nutzt dieses Format, wenn es eine verfehlte Aufgabe vorrechnet.

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Warum spaltet 6 ÷ 2(1 + 2) das Internet?

Der Term 6 ÷ 2(1 + 2) spaltet das Internet, weil er mehrdeutig geschrieben ist, während die Rechnung darin leicht ist. Alle paar Jahre geht eine solche Zeile viral, die Hälfte der Kommentare sagt 1, die andere 9 oder 16, und beide Seiten können Ihnen eine Regel zitieren.

Wenden Sie die Vereinbarung so an, wie sie unterrichtet wird, erhalten Sie:

• 6 ÷ 2(1 + 2) wird zu 6 ÷ 2 × 3, dann 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) wird zu 8 ÷ 2 × 4, dann 4 × 4 = 16

In beiden Zeilen trägt die Klammer eine Multiplikation mit weggelassenem Zeichen. Die übliche Lesart gibt ihr denselben Rang wie der Division, also entscheidet von links nach rechts.

Das andere Lager liest 2(1 + 2) als eine zusammengeklebte Größe, weil eine ohne Zeichen geschriebene Multiplikation enger wirkt als ein Geteiltzeichen. Das ergibt 6 ÷ 6 = 1 und 8 ÷ 8 = 1, und diese Lesart hat ernsthafte Fürsprecher: Oliver Knill vom Fachbereich Mathematik in Harvard verfolgt beide Vereinbarungen und kommt zu dem Schluss, dass eine solche Zeile wirklich mehrdeutig ist. Texas Instruments dokumentiert, dass TI-80, TI-81, TI-82 und TI-85 der Multiplikation ohne Zeichen den höheren Rang gaben, während die Reihen TI-83, TI-84 Plus, TI-89 und TI-Nspire sie gleichrangig behandeln, weshalb zwei Taschenrechner im selben Raum verschiedene Ergebnisse zeigen.

Der Streit dreht sich um eine Lücke in der Schreibweise, die kein Merkspruch abdeckt. Wer ernsthaft Mathematik schreibt, nimmt stattdessen eine von zwei eindeutigen Formen:

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

Die praktische Lehre: Wenn ein Leser vernünftigerweise auf zwei Ergebnisse kommen kann, setzen Sie Klammern.

Die vier häufigen Fehler

Vier Fehler erklären fast jedes falsche Ergebnis, und drei davon entstehen daraus, dem Merkspruch mehr zu trauen als der Leserichtung.

1. Mal und Geteilt als zwei Schritte behandeln. In 20 − 12 ÷ 4 × 2 ergibt zuerst 4 × 2 = 8 dann 18,5; richtig ist 14.
2. Plus und Minus als zwei Schritte behandeln. In 10 − 4 + 3 ergibt zuerst 4 + 3 dann 3; richtig ist 9.
3. Eine Potenz den Nachbarn verschlucken lassen. In 2 × 3² gehört die Potenz nur zur 3, die Zeile lautet also 2 × 9 = 18. Wer zuerst 2 × 3 quadriert, erhält 36.
4. Eine Klammer weglassen, die gemeint war. Ein Bruchstrich fasst alles darüber und darunter zusammen; ein Geteiltzeichen in einer Zeile tut das nicht. Schreiben Sie 12 ÷ 3 + 1, wenn Sie 3 + 1 unter dem Strich meinten, erhalten Sie 5 statt 3. Tippen Sie 12 ÷ (3 + 1).

Wie wird die Regel automatisch?

Die Regel wird automatisch, indem Sie kurze gemischte Terme mit den vier Schritten vor Augen üben. Die Regel zu lesen dauert zwei Minuten; sie unter Druck anzuwenden ist eine eigene Fähigkeit.

Vier Gewohnheiten beschleunigen das:

1. Üben Sie Zeilen mit drei Rechenarten. 20 − 12 ÷ 4 × 2 lehrt mehr als ein halbseitiger Term, weil die Reihenfolge das Einzige ist, was geprüft wird.
2. Schreiben Sie den gerade gemachten Schritt auf, eine Zeile pro Schritt, so wie die fünf gerechneten Beispiele.
3. Machen Sie zuerst die Grundaufgaben schnell. Kostet 12 ÷ 4 drei Sekunden, bleibt für die Regel keine Aufmerksamkeit übrig, und Kopfrechnen-Tricks, die helfen decken diese Schicht ab.
4. Mischen Sie die Rechenarten in einer Sitzung. Eine Seite mit reinem Multiplizieren prüft die Reihenfolge nie; eine gemischte Seite schon, und das gemischte Arbeitsblatt für die 5. Klasse zum Ausdrucken hat Lösungen dabei.

Arbeitsblatt gratis ausdruckenGemischte Rechenarten — FünftklässlerArbeitsblatt · PDF

Die Lehrpläne führen das Thema um die 5. und 6. Klasse ein, kurz bevor die Algebra es unumgänglich macht: Eine Zeile wie 3(x + 4) − 2 lässt sich nur auf eine Art lesen, und das Spiel zum Lösen nach x setzt voraus, dass Sie das können. Die Seite Rechenspiele für die 5. Klasse sammelt die Browserspiele dieser Stufe.

Zweiundzwanzig der rund 90 Spielarten von MathIt laufen gratis im Browser ohne Anmeldung, und die kostenlose App für iOS und Android ergänzt den adaptiven Schwierigkeitsgrad, sodass die Terme erst länger und tiefer verschachtelt werden, wenn die kurzen sitzen.