Klammer vor Punkt vor Strich, Schritt für Schritt erklärt

Wie lautet die Regel in einem Satz?

Arbeiten Sie einen Term in dieser Reihenfolge ab: zuerst die Klammern, dann die Potenzen, dann Mal und Geteilt gemeinsam von links nach rechts, dann Plus und Minus gemeinsam von links nach rechts. Das ist die ganze Regel. Alles Weitere ist dieser Satz, sorgfältig angewendet.

Es hilft zu wissen, was die Regel nicht ist. Hier wird nichts bewiesen, und kein Naturgesetz ist beteiligt. Es ist eine Schreibvereinbarung, damit jeder Leser von 4 + 3 × 5 bei derselben Zahl landet. Ohne sie addiert einer zuerst und erhält 35, ein anderer multipliziert zuerst und erhält 19, und niemand kann sagen, wer sich verlesen hat. Mit ihr lautet das Ergebnis 19: erst 3 × 5, dann 4 dazu.

Klammern sind der Notschalter. Alles, was die Regel ausdrücken kann, drücken Klammern deutlicher aus — wenn eine Zeile verwirrt, sind zusätzliche Klammern immer die richtige Antwort.

Punkt vor Strich, PEMDAS, BODMAS — dieselbe Regel?

Ja. Es ist eine Vereinbarung unter verschiedenen Merksprüchen, je nachdem, wo Sie zur Schule gegangen sind. Im deutschsprachigen Raum lernen Kinder „Klammern zuerst“ und „Punkt vor Strich“, oft als KlaPS oder als KlaPoPuStri, also Klammer, Potenz, Punkt, Strich. Die englischen Kurzwörter setzen dieselben Schritte in andere Buchstaben. Die Buchstaben wechseln; die Reihenfolge der Arbeit nicht.

Drei Dinge lohnen einen Blick:

• Runde und eckige Klammern sind dasselbe. Ebenso Potenzen, Hochzahlen und Exponenten: Alle meinen 3² oder 2³.
• PEMDAS setzt M vor D, BODMAS setzt D vor M. Das ändert nichts: Die beiden Rechenarten sind gleichrangig. Das Kurzwort musste einen Buchstaben zuerst drucken; die Mathematik kümmert das nicht.
• Jede Fassung verschweigt den wichtigsten Teil der Regel: den Stichentscheid von links nach rechts.

Was machen die meisten falsch?

Sie zählen den Merkspruch als sechs Schritte. Es sind vier, denn Mal und Geteilt teilen sich einen, Plus und Minus einen weiteren.

1. Klammern, das innerste Paar zuerst.
2. Potenzen.
3. Mal und Geteilt, von links nach rechts.
4. Plus und Minus, von links nach rechts.

Innerhalb eines Schritts lesen Sie die Zeile wie einen Satz, von links nach rechts, und nehmen die Rechenart, die Ihnen zuerst begegnet. Drei kurze Zeilen machen es deutlich, jeweils mit dem falschen Ergebnis, zu dem der Merkspruch verleitet:

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. Nicht 10 − 7 = 3.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Nicht 100 ÷ 2,5 = 40.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. Nicht 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

In jedem Fall entsteht das falsche Ergebnis daraus, dem Merkspruch Buchstabe für Buchstabe zu folgen, statt von links nach rechts zu lesen. Zur Selbstkontrolle: Wenn eine Zeile sowohl × als auch ÷ enthält oder sowohl + als auch −, sagen Sie zuerst, was weiter links steht, bevor Sie irgendetwas ausrechnen.

Fünf gerechnete Beispiele, Schritt für Schritt

Fünf Zeilen nach Schwierigkeit geordnet, von einer einzelnen Multiplikation bis zu verschachtelten Klammern mit Potenz. Jede ist ein Schritt pro Zeile geschrieben — dieses Format sollten Sie übernehmen.

Erstens: 4 + 3 × 5

Mal steht über Plus, also kommt es zuerst.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Ergebnis: 19.

Zweitens: 8 + 2 × (7 − 3)

Zuerst die Klammer, egal was darin steht.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Ergebnis: 16.

Drittens: 20 − 12 ÷ 4 × 2

Keine Klammern und keine Potenzen, also beginnen Sie bei Schritt 3 und lesen von links nach rechts. Die Division steht weiter links, also kommt sie zuerst.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Ergebnis: 14.

Viertens: 5 + 2 × 3²

Die Potenz gehört allein zur 3, nicht zu 2 × 3.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Ergebnis: 23. Quadratzahlen tauchen ständig auf, sobald Potenzen im Spiel sind, deshalb lohnt es sich, sie auf einen Blick zu kennen; das Spiel zu Quadratzahlen übt genau das.

Fünftens: 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Verschachtelte Klammern: erst das innerste Paar auflösen, die äußere Klammer mit denselben vier Schritten zu Ende bringen, dann die Potenz, die Multiplikation, die Subtraktion.

1. 10 − 4 = 6, die Zeile wird zu 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
2. In der Klammer gilt Punkt vor Strich: 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, die Zeile wird zu 2 × 6² − 7
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Ergebnis: 65.

Eine Zeile pro Schritt zu schreiben ist keine Beschäftigungstherapie: Es ist die Gewohnheit, die die Ausrutscher von links nach rechts verhindert, und es ist das Format, in dem das Spiel zur Rechenreihenfolge eine verfehlte Aufgabe vorrechnet.

Warum spaltet 6 ÷ 2(1 + 2) das Internet?

Weil der Term schlecht geschrieben ist, nicht weil die Rechnung schwer wäre. Alle paar Jahre geht eine Zeile wie 6 ÷ 2(1 + 2) oder 8 ÷ 2(2 + 2) viral, die Hälfte der Kommentare sagt 1, die andere 9 oder 16, und beide Seiten können Ihnen eine Regel zitieren.

Wenden Sie die Vereinbarung genau so an, wie sie unterrichtet wird, erhalten Sie:

• 6 ÷ 2(1 + 2) wird zu 6 ÷ 2 × 3, dann 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) wird zu 8 ÷ 2 × 4, dann 4 × 4 = 16

Hier ist 2(1 + 2) eine Multiplikation mit weggelassenem Zeichen. Die übliche Lesart behandelt sie als gewöhnliche Multiplikation, gleichrangig mit der Division, also entscheidet von links nach rechts.

Das andere Lager liest 2(1 + 2) als eine zusammengeklebte Größe, weil eine ohne Zeichen geschriebene Multiplikation enger wirkt als ein Geteiltzeichen. Das ergibt 6 ÷ 6 = 1 und 8 ÷ 8 = 1. Das ist nicht aus der Luft gegriffen: So liest man Algebra, wo 2x ein Ding ist, und Taschenrechnermodelle widersprechen sich tatsächlich, weshalb zwei Handys im selben Raum verschiedene Ergebnisse zeigen.

Der Streit geht also nicht ums Rechnen, sondern um eine Lücke in der Schreibweise, die kein Merkspruch abdeckt. Niemand, der ernsthaft Mathematik schreibt, würde diese Zeile veröffentlichen; er schriebe eine der folgenden, und dann gibt es nichts mehr zu streiten:

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

Die praktische Lehre des ganzen Themas: Wenn ein Leser vernünftigerweise auf zwei Ergebnisse kommen kann, setzen Sie Klammern.

Die vier häufigen Fehler

Vier Fehler erklären fast jedes falsche Ergebnis. Drei davon entstehen daraus, dem Merkspruch mehr zu trauen als der Leserichtung.

1. Mal und Geteilt als zwei Schritte behandeln. In 20 − 12 ÷ 4 × 2 ergibt zuerst 4 × 2 = 8 dann 20 − 1,5 = 18,5. Richtig ist 14.
2. Plus und Minus als zwei Schritte behandeln. In 10 − 4 + 3 ergibt zuerst 4 + 3 dann 3. Richtig ist 9.
3. Eine Potenz den Nachbarn verschlucken lassen. In 2 × 3² gehört die Potenz nur zur 3, also 2 × 9 = 18, nicht (2 × 3)² = 36.
4. Eine Klammer weglassen, die gemeint war. Ein Bruchstrich fasst alles darüber und darunter zusammen; ein Geteiltzeichen in einer Zeile tut das nicht. Schreiben Sie 12 ÷ 3 + 1, wenn Sie die ganze Summe 3 + 1 unter dem Strich meinten, erhalten Sie 5 statt 3. Tippen Sie 12 ÷ (3 + 1).

Wie wird die Regel automatisch?

Indem Sie kurze gemischte Terme üben, nicht lange, mit den vier Schritten vor Augen. Die Regel zu lesen dauert zwei Minuten; sie unter Zeitdruck anzuwenden ist eine eigene Fähigkeit.

Vier Dinge beschleunigen das:

1. Üben Sie Zeilen mit drei Rechenarten, keine Ungeheuer. 20 − 12 ÷ 4 × 2 lehrt mehr als ein halbseitiger Term, weil die Reihenfolge das Einzige ist, was geprüft wird.
2. Schreiben Sie den gerade gemachten Schritt auf, eine Zeile pro Schritt, wie in den Beispielen oben.
3. Machen Sie zuerst die Grundaufgaben schnell. Kostet 12 ÷ 4 drei Sekunden, bleibt für die Regel selbst keine Aufmerksamkeit übrig, und Kopfrechnen-Tricks, die wirklich helfen decken genau diese Schicht ab.
4. Mischen Sie die Rechenarten in einer Sitzung. Eine Seite mit reinem Multiplizieren prüft die Reihenfolge nie; eine gemischte Seite schon, und dafür gibt es das gemischte Arbeitsblatt für die 5. Klasse zum Ausdrucken, Lösungen inklusive.

Die meisten Lehrpläne führen das Thema um die 5. und 6. Klasse ein, kurz bevor die Algebra es unumgänglich macht: Sobald Buchstaben auftauchen, lässt sich eine Zeile wie 3(x + 4) − 2 nur auf eine Art lesen, und das Spiel zum Lösen nach x setzt voraus, dass Sie das können. Die Seite Rechenspiele für die 5. Klasse sammelt die Browserspiele dieser Stufe.

Zweiundzwanzig der rund 90 Spielarten von MathIt laufen gratis im Browser ohne Anmeldung, und die kostenlose App für iOS und Android ergänzt den adaptiven Schwierigkeitsgrad, sodass die Terme erst länger und tiefer verschachtelt werden, wenn die kurzen sitzen.