Hva er negative tall, og hvordan legger du sammen, trekker fra og ganger dem?

Negative tall er tall som er mindre enn null, skrevet med minustegn, som −3, og de ligger til venstre for 0 på tallinjen. Når du legger til et negativt tall, går du mot venstre. Når du trekker fra et negativt tall, legger du til det motsatte tallet, så 5 − (−3) = 8. Ved ganging og deling gir like fortegn positivt svar og ulike fortegn negativt svar.

Er negative tall hele tall?

Negative tall som −1, −2 og −3 er hele tall. På norsk er de hele tallene …, −2, −1, 0, 1, 2 og så videre, altså de naturlige tallene sammen med de motsatte tallene og 0. De naturlige tallene 1, 2, 3 og så videre har ingen negative tall. En negativ brøk som −1/2 er ikke et helt tall i det hele tatt.

Er negative tall rasjonale tall?

Negative hele tall og negative brøker er rasjonale tall. Et rasjonalt tall er et tall som kan skrives som en brøk p/q av to hele tall der q ikke er null, så −3 = −3/1 og −3/4 er begge rasjonale. Det finnes også negative irrasjonale tall, for eksempel det motsatte tallet av kvadratroten av 2.

Er negative tall reelle tall?

Negative tall er reelle tall. De reelle tallene fyller hele tallinjen, og hvert negative tall har et punkt til venstre for 0 på den linjen. Negative hele tall, negative brøker, negative desimaltall og negative irrasjonale tall er alle reelle.

Hvorfor blir minus ganger minus pluss?

Minus ganger minus blir pluss fordi mønsteret i gangingen må fortsette forbi null. I rekken −3 × 2 = −6, −3 × 1 = −3 og −3 × 0 = 0 øker hvert svar med 3, så neste linje må bli −3 × (−1) = 3. Den amerikanske standarden Common Core 7.NS.A.2a knytter regelen (−1)(−1) = 1 til den distributive egenskapen.

Hva blir minus minus et negativt tall?

Et negativt tall minus et negativt tall finner du ved å legge til det motsatte av det andre tallet. For −4 − (−6) gjør du subtraksjonen av −6 om til addisjon av 6, så −4 + 6 = 2. For −9 − (−2) gir det samme grepet −9 + 2 = −7, så svaret kan bli positivt eller negativt, alt etter hvilket tall som ligger lengst fra null.

Negative tall: regler for pluss og minus

En elev på 7. trinn stirrer på 5 − (−3) og skriver 2, termometeret viser −15 °C, og bankappen viser en saldo på −300 kr. Negative tall står bak alle tre, og reglene for å legge sammen, trekke fra og gange negative tall følger av ett bilde: tallinjen. Når det bildet er klart, blir det å trekke fra negative tall, fortegnsreglene og det klassiske spørsmålet om «minus minus» det samme grepet.

Hva er negative tall?

Et negativt tall er et tall som er mindre enn null, skrevet med et minustegn foran, som −1, −7 eller −3/4. På en vannrett tallinje ligger de positive tallene til høyre for 0 og de negative tallene til venstre, så hvert negative tall er mindre enn 0 og mindre enn alle positive tall.

Negative tall beskriver mengder under et utgangspunkt. OpenStax Prealgebra bruker kaldt vær («grader under null») og høyde over havet, der et sted 1 302 fot (om lag 397 m) under havnivået skrives −1 302 fot. En saldo på −300 kr betyr at du skylder 300 kr.

I Norge hører negative tall hjemme på 7. trinn: etter 7. trinn i læreplanen i matematikk (LK20) skal eleven kunne «bruke og utforske negative tall både praktisk og teoretisk». Den amerikanske standarden Common Core 6.NS.C.5 ber elevene på sjette skoleår «forstå at positive og negative tall brukes sammen for å beskrive størrelser med motsatt retning eller verdi», og nevner temperatur, høyde over havet, innskudd og uttak som eksempler.

Motsatte tall og tallverdi

Det motsatte tallet til et tall er tallet som ligger like langt fra 0 på den andre siden, så det motsatte av 4 er −4, og det motsatte av −4 er 4. Standarden 6.NS.C.6a sier det med et eksempel: «det motsatte av det motsatte av et tall er tallet selv, for eksempel −(−3) = 3, og 0 er sitt eget motsatte tall.»

Tallverdien (absoluttverdien) til et tall er avstanden fra 0, skrevet med to loddrette streker. Både |−7| og |7| er lik 7, fordi begge ligger 7 steg fra 0. Standarden 6.NS.C.7c bruker en gjeld: «for en kontosaldo på −30 dollar, skriv |−30| = 30 for å beskrive hvor stor gjelden er i dollar.»

Rekkefølgen følger linjen. Et tall lenger til høyre er alltid størst, så −3 > −8, selv om 8 er større enn 3. Standarden 6.NS.C.7b leser det slik: «−3 °C er varmere enn −7 °C.»

Slik legger du sammen og trekker fra negative tall, steg for steg

Å legge sammen og trekke fra negative tall betyr å bevege seg langs tallinjen: å legge til et positivt tall flytter deg mot høyre, å legge til et negativt tall flytter deg mot venstre, og å trekke fra et tall flytter deg motsatt vei av å legge det til. Standarden 7.NS.A.1c gir regelen et navn: «forstå subtraksjon av rasjonale tall som addisjon av det motsatte tallet, p − q = p + (−q).»

Plasser det første tallet på tallinjen. For −4 + 6 setter du fingeren på −4.
Gjør hver subtraksjon om til addisjon av det motsatte tallet. 5 − (−3) blir 5 + 3, og 2 − 7 blir 2 + (−7).
Gå mot høyre for et positivt tall og mot venstre for et negativt. Fra −4 betyr «legg til 6» seks steg mot høyre, og du lander på 2.
Bruk tallverdier når tallene er store. Med like fortegn legger du sammen tallverdiene og beholder fortegnet: −20 + (−15) = −35. Med ulike fortegn trekker du den minste tallverdien fra den største og beholder fortegnet til tallet som ligger lengst fra 0: −20 + 15 = −5.
Kontroller svaret med et raskt overslag. Starter du under null og legger til et mindre positivt tall, må svaret fortsatt ligge under null.

En tallinje fra −10 til 10 med to hopp: et hopp på 3 mot høyre fra 5 til 8 for 5 − (−3) = 5 + 3 = 8, og et hopp på 6 mot høyre fra −4 til 2 for −4 + 6 = 2.

Å trekke fra et negativt tall: der det går galt

Å trekke fra et negativt tall er steget flest elever bommer på, fordi «ta bort» høres ut som om svaret skal bli mindre. For 5 − (−3) skriver du om til 5 + 3, og svaret er 8, som er større enn 5.

En feil fra banken gjør grunnen synlig. Har du 50 kr på kontoen, og banken fjerner et trekk på 30 kr som den gjorde ved en feil, gir det å ta bort −30 deg 50 − (−30) = 80 kr. Minus minus virker på samme måte: −4 − (−6) = −4 + 6 = 2, og −9 − (−2) = −9 + 2 = −7.

Subtraksjon med hele tall bærer fortsatt regningen under, og guiden om subtraksjon med veksling tar for seg det laget.

Reglene for negative tall i én tabell

Fortegnsreglene for negative tall får plass på fem rader: to for addisjon, én for subtraksjon og to for ganging og deling. Hver rad gir regelen, et utregnet eksempel og bevegelsen på tallinjen som passer til.

Regneart	Regel	Eksempel	Bevegelse på tallinjen
Addisjon, like fortegn	Legg sammen tallverdiene, behold fortegnet	−2 + (−3) = −5	Start på −2, gå 3 mot venstre
Addisjon, ulike fortegn	Trekk tallverdiene fra hverandre, behold fortegnet til tallet lengst fra 0	−7 + 4 = −3	Start på −7, gå 4 mot høyre
Subtraksjon av et negativt tall	Legg til det motsatte tallet	−4 − (−6) = 2	Start på −4, gå 6 mot høyre
Ganging eller deling, like fortegn	Svaret er positivt	(−3) × (−4) = 12	Speilbildet av 3 hopp på 4 mot venstre
Ganging eller deling, ulike fortegn	Svaret er negativt	−12 : 3 = −4	3 like hopp fra 0 til −12

Å gange negative tall tar to grep: gang tallverdiene, og velg så fortegnet. Like fortegn gir et positivt produkt og ulike fortegn et negativt produkt, så 3 × (−4) = −12 og (−3) × (−4) = 12.

OpenStax setter deling under den samme regelen: «Deling av tall med fortegn følger de samme reglene som ganging.» Så −12 : 3 = −4, 12 : (−3) = −4 og −12 : (−3) = 4.

Med mer enn to faktorer teller du minustegnene. Et partall minustegn gir et positivt svar og et oddetall et negativt, så (−1) × (−2) × (−3) = −6.

Et rutenett på to ganger to med fortegnsregler for ganging: pluss ganger pluss blir pluss med 3 × 4 = 12, pluss ganger minus blir minus med 3 × (−4) = −12, minus ganger pluss blir minus med (−3) × 4 = −12, og minus ganger minus blir pluss med (−3) × (−4) = 12.

Hvorfor minus ganger minus blir pluss

Minus ganger minus blir pluss fordi mønsteret i gangingen må fortsette forbi null. Skriv gangetabellen for −3 med den andre faktoren én mindre for hver linje:

−3 × 2 = −6
−3 × 1 = −3
−3 × 0 = 0
−3 × (−1) = 3
−3 × (−2) = 6

Hvert svar øker med 3 når den andre faktoren minker med 1, så linjen etter 0 må bli 3. Et hvilket som helst annet svar ville bryte et mønster som holder på alle de andre linjene.

Standarden 7.NS.A.2a gir den formelle grunnen: ganging utvides til negative tall «ved å kreve at regneoperasjonene fortsatt skal ha de samme egenskapene, særlig den distributive egenskapen, noe som fører til produkter som (−1)(−1) = 1.» Med symboler er 0 = −1 × (1 + (−1)) = −1 + (−1)(−1), så (−1)(−1) må være lik 1.

Den samme kjeden av regler ligger under regnerekkefølgen, og guiden om regnerekkefølge viser hvor fortegnene kommer inn blant parenteser, potenser og produkter.

Negative tall i hverdagen

Negative tall dukker opp overalt der en størrelse kan falle under et utgangspunkt. Temperatur, heis, havnivå og penger er de fire du møter oftest.

Temperatur: Viser termometeret −12 °C om morgenen og 5 °C om ettermiddagen, har temperaturen steget 5 − (−12) = 5 + 12 = 17 grader.
Heis: Etasjer under første etasje får ofte nummer −1 og −2. Fra 3. etasje ned til etasje −2 er det 3 − (−2) = 5 etasjer.
Penger: En saldo på −300 kr fulgt av et innskudd på 500 kr gir −300 + 500 = 200 kr.
Havnivå: En dykker på −12 m som stiger 5 m, ender på −12 + 5 = −7 m.

Den engelske læreplanen i matematikk bruker de samme sammenhengene: elevene i Year 6 skal «bruke negative tall i sammenheng og regne ut intervaller over 0», og veiledningen nevner temperatur som modellen.

Avstanden mellom to tall

Avstanden mellom to tall på tallinjen er tallverdien av differansen deres. Standarden 7.NS.A.1c ber elevene «vise at avstanden mellom to rasjonale tall på tallinjen er tallverdien av differansen deres.» Fra −12 til 5 er det |5 − (−12)| = 17, de samme 17 gradene som på termometeret.

Slik sjekker du at negative tall har landet

Fem korte spørsmål viser om et barn eller en voksen kan regne med negative tall. Be om tankegangen i tillegg til svaret.

Rekkefølge: Hvilket tall er størst, −8 eller −3? Svaret er −3, fordi det ligger til høyre for −8.
Addisjon: Hva er −6 + 4? Svaret er −2.
Subtraksjon av et negativt tall: Hva er 7 − (−5)? Svaret er 12, fra 7 + 5.
Fortegnsregler: Hva er (−6) × (−5) og 24 : (−8)? Svarene er 30 og −3.
Sammenheng: Temperaturen faller fra 4 °C til −9 °C. Hvor mye falt den? Svaret er 4 − (−9) = 13 grader.

En test på to minutter

En test på to minutter med de fem spørsmålene i blandet rekkefølge forteller deg mer enn en hel side med én type. En elev som får addisjonen riktig, men skriver 2 for 7 − (−5), trenger steget «legg til det motsatte tallet», og en elev som setter −8 over −3, trenger tallinjen igjen.

Hva elevene i USA forventes å kunne rundt disse ferdighetene på sjette og sjuende skoleår, står i guiden om hvilken matte barn bør kunne på hvert trinn. For rask øving med enkle likninger som x − 4 = 9 kan likningsspillet spilles gratis i nettleseren.

Spill gratis i nettleserenLøs for x6. trinn+

Vanlige feil med negative tall

Fire feil står bak de fleste gale svarene med negative tall, og hver av dem har en kort løsning.

Å bruke «to minus blir pluss» for mye: −2 + (−3) er −5, fordi det å legge til et negativt tall flytter deg mot venstre. Regelen om positivt produkt hører bare til ganging og deling.
Å ordne etter sifrene: −8 er mindre enn −3, selv om 8 er større enn 3. Se for deg tallinjen og velg tallet lengst til høyre.
Å droppe parentesene: 5 − (−3) skrevet som 5 − 3 gir 2 i stedet for 8. Behold parentesene til du har skrevet om oppgaven til en addisjon.
Å miste fortegnet i en lang oppgave: I −4 × 3 + 10 er produktet −12, så svaret er −12 + 10 = −2. Sett ring rundt hvert fortegn før du regner.

Grensetilfelle: −3² og (−3)²

En eksponent gjelder bare det som står rett under den, så −3² og (−3)² gir ulike svar. −3² betyr −(3 × 3) = −9, mens (−3)² betyr (−3) × (−3) = 9. Guiden om potenser tar for seg regelen og negative eksponenter, som er en egen idé.

Sjekklisten din for negative tall og neste steg

Bilde: tegn en tallinje før du regner.
Rekkefølge: tallet lengst til høyre er størst, så −3 > −8.
Trekk fra: skriv om p − q til p + (−q) før du flytter deg.
Legg sammen: like fortegn legges sammen og beholder fortegnet; ulike fortegn trekkes fra hverandre og beholder fortegnet til tallet lengst fra 0.
Gang og del: like fortegn gir positivt svar, ulike fortegn negativt.
Potenser: pass på parentesene i −3² og (−3)².

Foreldre til barn på 6. og 7. trinn finner øving på riktig nivå på siden med mattespill for 6. trinn. Voksne som vil bygge opp tallforståelsen igjen, kan lese hvordan du kan bli bedre i matte som voksen, eller prøve mattespillet for voksne.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad som hever nivået når svarene kommer riktig ut, daglig øving og sanntidsdueller for 2–5 spillere, på 33 språk. 22 av spillene spilles gratis i nettleseren uten innlogging.