Minus rechnen mit Übertrag: warum aus einem Zehner zehn Einer werden

Ihr Kind hängt an 52 − 27, und auf dem Arbeitsblatt steht „entbündeln“, wo Sie sich an „borgen“ oder „eins gemerkt“ erinnern. Die schriftliche Subtraktion ist dasselbe Rechnen, das Sie gelernt haben, nur mit klareren Wörtern und mit Material oder Münzen vor den durchgestrichenen Ziffern. Ein paar 10-Cent- und 1-Cent-Münzen auf dem Küchentisch zeigen, warum es funktioniert, von 52 − 27 bis zur dreistelligen Subtraktion mit Entbündeln.

Was ist die schriftliche Subtraktion mit Entbündeln?

Entbündeln heißt, bei der Subtraktion in Spalten eine Einheit einer höheren Stelle in zehn Einheiten der nächstniedrigeren Stelle umzutauschen, weil die obere Ziffer einer Spalte zu klein ist. Bei 52 − 27 verlangt die Einerspalte 2 − 7, und das geht mit natürlichen Zahlen nicht, also wird einer der 5 Zehner in 10 Einer getauscht. Aus 52 werden 4 Zehner und 12 Einer, und beide Spalten lassen sich nun subtrahieren.

Der Tausch ändert die Menge nie. 52 Cent sind dasselbe Geld wie 5 Zehn-Cent-Münzen und 2 Ein-Cent-Münzen oder wie 4 Zehn-Cent-Münzen und 12 Ein-Cent-Münzen. Entbündeln ist eine andere Schreibweise derselben Zahl, damit die Subtraktion passt, und diese Idee beruht auf dem Stellenwert, erklärt für Eltern.

Warum aus „borgen“ „entbündeln“ wurde

Borgen war der ältere Name für denselben Schritt, und er beschreibt einen Kredit, den es nie gibt. Der Zehnerspalte wird nichts zurückgezahlt; ein Zehner wird in zehn Einer zerlegt und bleibt in der 52. Der Leitfaden des What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics empfiehlt eine klare und knappe mathematische Sprache, und „entbündeln“ oder „umtauschen“ benennt die Handlung, die ein Kind mit Material sehen kann.

Welches Verfahren Ihr Kind lernt, hängt vom Bundesland ab. Der bayerische LehrplanPLUS für die Jahrgangsstufen 3/4 schreibt vor, dass Kinder „die schriftlichen Verfahren der Addition, der Subtraktion (Abziehverfahren)“ automatisiert anwenden, also Abziehen mit Entbündeln; in anderen Ländern wählt die Schule, und vielerorts wird noch das Ergänzungsverfahren gelehrt. Benutzen Sie zu Hause das Wort und das Verfahren vom Arbeitsblatt, damit Ihr Kind nur eine Sprache hört.

So erklären Sie die zweistellige Subtraktion mit Entbündeln

Die zweistellige Subtraktion mit Entbündeln lässt sich am leichtesten erst mit Gegenständen und dann mit Ziffern erklären. Legen Sie 5 Zehn-Cent-Münzen und 2 Ein-Cent-Münzen für 52 auf den Tisch und schreiben Sie daneben 52 über 27 in Spalten, sodass jeder Zug mit den Münzen ein passendes Zeichen auf dem Papier hat.

1. Die Stellen untereinander schreiben. Schreiben Sie 27 unter 52, Einer unter Einer und Zehner unter Zehner. Eine schiefe Spalte verursacht mehr falsche Antworten als das Entbündeln.
2. In der Einerspalte beginnen. Fragen Sie, ob man mit 2 Ein-Cent-Münzen 7 Cent bezahlen kann. Das geht nicht, also braucht diese Spalte einen Tausch, und die Entscheidung fällt, bevor irgendetwas abgezogen wird.
3. Einen Zehner in zehn Einer tauschen. Tauschen Sie eine 10-Cent-Münze gegen 10 Ein-Cent-Münzen. Auf dem Papier streichen Sie die 5 durch und schreiben 4 darüber, dann streichen Sie die 2 durch und schreiben 12 darüber. Auf dem Tisch liegen jetzt 4 Zehn-Cent-Münzen und 12 Ein-Cent-Münzen.
4. Die Einer subtrahieren. Nehmen Sie 7 Ein-Cent-Münzen weg: 12 − 7 = 5. Schreiben Sie 5 unter die Einerspalte.
5. Die Zehner subtrahieren. Nehmen Sie 2 Zehn-Cent-Münzen weg: 4 − 2 = 2. Schreiben Sie 2 unter die Zehnerspalte und lesen Sie das Ergebnis als 25.
6. Mit Addition prüfen. Addieren Sie das Ergebnis und die abgezogene Zahl: 25 + 27 = 52. Ergibt die Summe die obere Zahl, stimmt die Subtraktion.

Dieselben sechs Schritte gelten für dreistellige Zahlen; der einzige Unterschied ist, dass auch die Zehnerspalte einen Tausch mit den Hundertern brauchen kann.

Gratis im Browser spielenZweistellige Zahlen subtrahierenKlasse 1–2

Die Entscheidung, die Kinder überspringen

Kinder überspringen vor allem Schritt 2, die Entscheidung, ob entbündelt werden muss. Manche tauschen bei jeder Aufgabe, manche nie, und beide Gewohnheiten entstehen, wenn das Entbündeln ein Ritual ist.

Bevor der Stift sich bewegt, fragen Sie pro Spalte eine Sache: „Ist die obere Ziffer mindestens so groß wie die untere?“ Ist die Antwort nein, wird getauscht. Dieselbe Frage funktioniert umgekehrt beim Übertrag in der Addition, und deshalb hilft es, die Addition mit Übertrag parallel zur Subtraktion zu üben.

Schriftlich, Ergänzen, gleichsinniges Verändern oder Zahlenstrahl

Die schriftliche Subtraktion mit Entbündeln ist einer von vier Wegen, die Schulen für das Subtrahieren lehren, und auch die Common Core in den USA verlangt in der 2. Klasse, zu erklären, warum Strategien für Addition und Subtraktion funktionieren, mithilfe des Stellenwerts und der Rechengesetze (2.NBT.B.9). Hier ist 52 − 27 auf vier Arten gerechnet:

Welches Verfahren wann passt

Nehmen Sie das schriftliche Verfahren, sobald Ihr Kind den Tausch mit Münzen oder Material erklären kann, denn es funktioniert für Zahlen jeder Größe. Lernt Ihr Kind das schriftliche Ergänzungsverfahren, rechnet es 52 − 27 so: „7 plus 5 gleich 12, schreibe 5, Übertrag 1; 2 plus 1 gleich 3, 3 plus 2 gleich 5, schreibe 2“, und kommt ebenfalls auf 25. Hochzählen ist das Verfahren, das die meisten Erwachsenen an der Kasse benutzen, und es lohnt sich als Probe. Gleichsinniges Verändern stützt sich auf die sicher gewussten Zerlegungen der 10, die Fähigkeit, die die Zahlenzerlegung aufbaut.

Dreistellig subtrahieren mit Entbündeln und Nullen in der Mitte

Die dreistellige Subtraktion mit Entbündeln folgt Spalte für Spalte derselben Regel: erst Einer, dann Zehner, dann Hunderter, und getauscht wird, sobald die obere Ziffer kleiner ist. Der Common-Core-Standard 2.NBT.B.7 sagt dazu, dass man beim Subtrahieren dreistelliger Zahlen Hunderter von Hundertern, Zehner von Zehnern und Einer von Einern abzieht und dass es manchmal nötig ist, Zehner oder Hunderter zu bündeln oder zu entbündeln.

Schwierig wird es bei einer Null in der Mitte, wie in 403 − 168. Die Einerspalte braucht einen Tausch, aber es gibt keine Zehner zum Tauschen.

Der Tausch geht deshalb eine Stelle weiter: Einer der 4 Hunderter wird zu 10 Zehnern, dann wird einer dieser 10 Zehner zu 10 Einern. Die obere Zahl lautet jetzt 3 Hunderter, 9 Zehner und 13 Einer, und das ist immer noch 403 (300 + 90 + 13).

Ist das Entbündeln erledigt, ist jede Spalte eine einzelne Aufgabe: 13 − 8 = 5, 9 − 6 = 3 und 3 − 1 = 2. Das Ergebnis ist 235, und 235 + 168 = 403 bestätigt es.

Eine Abkürzung bei Nullen: 403 als 40 Zehner lesen

Eine Abkürzung bei Nullen ist, die ersten beiden Ziffern als eine Anzahl von Zehnern zu lesen. Die Zahl 403 ist 40 Zehner und 3 Einer; nimmt man einen Zehner, hat man 39 Zehner und 13 Einer, und das ergibt in einem Zug dieselben 3, 9 und 13. Ein Stellenwert-Spiel, das fragt, wie viele Zehner in einer Zahl stecken, baut diese Gewohnheit auf.

Gleichsinniges Verändern räumt die Null ebenfalls weg: Ziehen Sie von beiden Zahlen 4 ab, und aus 403 − 168 wird 399 − 164, das ganz ohne Entbündeln auskommt und trotzdem 235 ergibt.

So prüfen Sie den Fortschritt Ihres Kindes

Fortschritte bei der Subtraktion mit Entbündeln zeigen sich an ein paar beobachtbaren Signalen, die Sie in fünf Minuten prüfen können.

• Der Erklärtest: Kann Ihr Kind sagen, warum bei 52 − 27 aus der 5 eine 4 wurde, mit den Wörtern „Zehner“ und „Einer“? Ein Kind, das „weil man borgt“ sagt, ohne den Tausch, hat eine Regel und kein Bild.
• Die gemischte Reihe: Geben Sie sechs Aufgaben, drei mit und drei ohne Entbündeln, etwa 52 − 27 und 58 − 23. Richtige Entscheidungen bei allen sechs zählen mehr als Tempo.
• Die Münzprobe: Kann Ihr Kind 43 − 18 mit 10-Cent- und 1-Cent-Münzen nachspielen und bei 25 landen? Klappt es mit Münzen und nicht auf Papier, liegt die Lücke in der Schreibweise.
• Der Nullfall: Versuchen Sie 300 − 147 (Ergebnis 153). Ein Kind, das hier den doppelten Tausch schafft, ist bereit für größere Zahlen.
• Die Additionsprobe: Rechnet Ihr Kind unaufgefordert zurück? Diese Gewohnheit erwischt die meisten Ausrutscher.

In welcher Klasse die schriftliche Subtraktion dran ist

In Deutschland rechnen Kinder Aufgaben wie 52 − 27 in der 2. Klasse halbschriftlich oder im Kopf, und das schriftliche Verfahren kommt in der 3. Klasse im Zahlenraum bis 1.000; in der 4. Klasse soll es bis zur Million sicher sitzen. Die Common Core in den USA setzt das Entbündeln in die 2. Klasse: Geläufigkeit bis 100 (2.NBT.B.5) und Subtraktion bis 1000 mit Material und Zeichnungen (2.NBT.B.7). Die 3. Klasse verlangt dort Geläufigkeit bis 1000 (3.NBT.A.2), und die 4. Klasse nennt das Standardverfahren, mit dem Kinder mehrstellige natürliche Zahlen sicher addieren und subtrahieren sollen (4.NBT.B.4).

Der nationale Mathematiklehrplan für England verlangt in Year 3, Zahlen mit bis zu drei Stellen mit dem schriftlichen Spaltenverfahren zu subtrahieren und Ergebnisse mit der Umkehraufgabe zu prüfen. Der Leitfaden zu den neuen Rechenwegen in der Grundschule erklärt, warum die Strategien vor dem Verfahren kommen.

Typische Fehler beim Entbündeln

Die meisten Fehler beim Entbündeln entstehen aus einer Handvoll Gewohnheiten, und jede lässt sich zu Hause schnell beheben.

• Kleiner von größer: Ihr Kind rechnet 7 − 2 statt 2 − 7 und schreibt 35 bei 52 − 27. Lassen Sie es jede Spalte von oben nach unten laut lesen: „zwei minus sieben.“
• Vergessen, die Zehner zu verringern: Ihr Kind macht aus der 2 eine 12, lässt aber die 5 stehen und kommt wieder auf 35. Bestehen Sie darauf, dass die durchgestrichene 5 und die neue 4 dastehen, bevor die Einer abgezogen werden.
• Jedes Mal tauschen: Ihr Kind entbündelt bei 58 − 23 und schreibt 15 in die Einerspalte. Stellen Sie zuerst die Frage aus Schritt 2, in jeder Spalte.
• Die Null überspringen: Bei 403 − 168 tauscht Ihr Kind direkt von den Hundertern zu den Einern und schreibt 3 Hunderter, 0 Zehner und 13 Einer, und das ist nur 313. Legen Sie die Münzen hin oder lesen Sie 403 als 40 Zehner.
• Verrutschte Spalten: Bei 403 − 68 macht eine 68 unter der 40 aus der Aufgabe 403 − 680. Nehmen Sie Karopapier, eine Ziffer pro Kästchen.

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Warum die 35 die Antwort ist, auf die Sie achten sollten

Die falsche Antwort 35 bei 52 − 27 lohnt sich zu erkennen, weil zwei verschiedene Fehler sie erzeugen. „Kleiner von größer“ und „Zehner nicht verringert“ liefern dieselbe 35, also verrät das Ergebnis allein nicht, was passiert ist. Lassen Sie Ihr Kind die Aufgabe einmal laut durchsprechen; die Erklärung zeigt die Ursache in unter einer Minute.

Ihre Checkliste zur schriftlichen Subtraktion

• In der ersten Woche Münzen oder Material: Jeder Tausch auf Papier entspricht einer 10-Cent-Münze, die auf dem Tisch gegen 10 Ein-Cent-Münzen getauscht wird.
• Eine Frage pro Spalte: „Ist die obere Ziffer mindestens so groß?“ entscheidet, ob entbündelt wird.
• Durchgestrichene Ziffern vollständig ersetzen: Die neue 4 und die neue 12 stehen über der Spalte, bevor abgezogen wird.
• Gemischte Reihen: Die Hälfte der Aufgaben braucht Entbündeln, die andere nicht, damit die Entscheidung wach bleibt.
• Nullen erst, wenn Zweistelliges sitzt: 403 − 168 und 300 − 147 kommen, sobald 52 − 27 leichtfällt.
• Zur Probe zurückrechnen: Ergebnis plus abgezogene Zahl muss die obere Zahl ergeben.

Kurze tägliche Einheiten halten die Schritte zwischen den Hausaufgaben frisch. Ein Mathespiel für die 2. Klasse oder ein kostenloses Spiel zum Minusrechnen online bietet schnelle gemischte Übung, und die App MathIt passt die Schwierigkeit an die Antworten Ihres Kindes an.