Negatif sayılar nedir; negatif sayılarla toplama, çıkarma ve çarpma nasıl yapılır?

Negatif sayılar sıfırdan küçük sayılardır; −3 gibi önlerine eksi işareti konarak yazılır ve sayı doğrusunda 0'ın solunda yer alır. Negatif bir sayı eklemek için sola gidin; negatif bir sayıyı çıkarmak için onun ters işaretlisini ekleyin, yani 5 − (−3) = 8. Çarpma ve bölmede işaretler aynıysa sonuç pozitif, farklıysa negatiftir.

Negatif sayılar doğal sayı mıdır?

Negatif sayılar doğal sayı değildir. Doğal sayılar 0, 1, 2, 3 diye devam eder ve aralarında negatif sayı yoktur. −1, −2 ve −3 gibi negatif sayılar tam sayılara aittir; tam sayılar doğal sayılarla onların ters işaretlilerinden oluşur. −1/2 gibi negatif bir kesir ise hiç tam sayı değildir.

Negatif sayılar rasyonel sayı mıdır?

Negatif tam sayılar ve negatif kesirler rasyonel sayıdır. Rasyonel sayı, q sıfırdan farklı olmak üzere iki tam sayının p/q kesri olarak yazılabilen her sayıdır; dolayısıyla −3 = −3/1 ve −3/4'ün ikisi de rasyoneldir. 2'nin karekökünün ters işaretlisi gibi negatif irrasyonel sayılar da vardır.

Negatif sayılar gerçek sayı mıdır?

Negatif sayılar gerçek sayıdır. Gerçek sayılar sayı doğrusunun tamamını doldurur ve her negatif sayının bu doğru üzerinde 0'ın solunda bir noktası vardır. Negatif tam sayılar, negatif kesirler, negatif ondalık sayılar ve negatif irrasyonel sayılar hep gerçek sayıdır.

Negatif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarılınca ne olur?

Negatif bir sayıdan negatif bir sayı, ikinci sayının ters işaretlisini ekleyerek çıkarılır. −4 − (−6) için −6'yı çıkarmayı 6 eklemeye çevirin: −4 + 6 = 2. −9 − (−2) için aynı hamle −9 + 2 = −7 verir; yani cevap, hangi sayının sıfıra daha uzak olduğuna göre pozitif ya da negatif olabilir.

Negatif Sayılar: Tam Sayılarla Toplama ve Çıkarma

sınıftaki bir öğrenci 5 − (−3)'e bakıp 2 yazıyor, termometre −5 °C gösteriyor, bankacılık uygulaması da −30 TL bakiye gösteriyor. Üçünün arkasında da negatif sayılar var ve negatif sayılarla toplama, çıkarma ve çarpma kuralları tek bir resimden çıkar: sayı doğrusu. Bu resim netleşince negatif sayıları çıkarmak, işaret kuralları ve meşhur "eksiden eksi çıkarmak" sorusu aynı hamleye dönüşür.

Negatif sayılar nedir?

Negatif sayı, sıfırdan küçük bir sayıdır ve −1, −7 ya da −3/4 gibi önüne eksi işareti konarak yazılır. Yatay bir sayı doğrusunda pozitif sayılar 0'ın sağında, negatif sayılar solunda durur; dolayısıyla her negatif sayı 0'dan ve her pozitif sayıdan küçüktür.

Negatif sayılar bir başlangıç noktasının altındaki miktarları anlatır. OpenStax Prealgebra soğuk havayı (sıfırın altındaki dereceleri) ve rakımı örnek verir: deniz seviyesinin yaklaşık 430 metre altındaki Lut Gölü kıyısı −430 m diye yazılır. −30 TL'lik bir bakiye de 30 TL borcunuz olduğu anlamına gelir.

Türkiye'de tam sayılar 6. sınıfta başlar. MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı M.6.1.4.1 kazanımında tam sayıları tanımayı ve sayı doğrusunda göstermeyi ister; pozitif ve negatif tam sayıların zıt yön ve değerleri anlatmakta kullanıldığını asansör katları ve hava sıcaklıkları örnekleriyle vurgular. Toplama ve çıkarma 7. sınıfta gelir (M.7.1.1.1). ABD'de de Common Core 6.NS.C.5 standardı altıncı sınıflardan, pozitif ve negatif sayıların zıt yön ya da değerdeki çoklukları birlikte anlatmak için kullanıldığını anlamalarını ister ve örnek olarak sıcaklığı, rakımı, alacak ve borcu sayar.

Ters işaretli sayılar ve mutlak değer

Bir sayının ters işaretlisi, 0'a aynı uzaklıkta, öbür tarafta duran sayıdır; 4'ün ters işaretlisi −4, −4'ün ters işaretlisi de 4'tür. Common Core'un 6.NS.C.6a standardı bunu bir örnekle söyler: bir sayının ters işaretlisinin ters işaretlisi sayının kendisidir, örneğin −(−3) = 3, ve 0 kendi ters işaretlisidir.

Bir sayının mutlak değeri, onun 0'a uzaklığıdır ve iki dikey çizgiyle yazılır. |−7| ile |7|'nin ikisi de 7'dir, çünkü her biri 0'dan 7 adım uzaktadır. 6.NS.C.7c standardı bir borç örneği kullanır: −30 dolarlık bir hesap bakiyesi için borcun büyüklüğünü anlatmak üzere |−30| = 30 yazılır. MEB programı da mutlak değerin asansörde ve termometrede ne anlama geldiği üzerinde durur (M.6.1.4.3).

Sıralama doğruyu izler. Sağdaki sayı her zaman daha büyüktür; 8, 3'ten büyük olsa da −3 > −8'dir. 6.NS.C.7b standardı bunu şöyle okutur: −3 °C, −7 °C'den daha sıcaktır.

Negatif sayılarla toplama ve çıkarma adım adım

Negatif sayılarla toplama ve çıkarma, sayı doğrusu üzerinde hareket etmek demektir: pozitif bir sayı eklemek sağa, negatif bir sayı eklemek sola götürür; bir sayıyı çıkarmak ise onu eklemenin tersi yönde hareket ettirir. MEB programı kuralı M.7.1.1.1'de koyar: çıkarma işlemi, eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı demektir. Common Core'un 7.NS.A.1c standardı da aynısını p − q = p + (−q) diye yazar.

İlk sayıyı sayı doğrusuna yerleştirin. −4 + 6 için parmağınızı −4'e koyun.
Her çıkarmayı ters işaretlinin toplamına çevirin. 5 − (−3), 5 + 3 olur; 2 − 7 de 2 + (−7) olur.
Pozitif sayı için sağa, negatif sayı için sola gidin. −4'ten 6 eklemek 6 adım sağa gitmektir ve 2'ye varır.
Sayılar büyükse mutlak değerleri kullanın. İşaretler aynıysa mutlak değerleri toplayın ve işareti koruyun: −20 + (−15) = −35. İşaretler farklıysa büyük mutlak değerden küçüğünü çıkarın ve 0'a daha uzak olan sayının işaretini koruyun: −20 + 15 = −5.
Cevabı hızlı bir tahminle kontrol edin. Sıfırın altından başlayıp daha küçük bir pozitif sayı eklerseniz cevap hâlâ sıfırın altında olmalıdır.

−10'dan 10'a uzanan, iki hareket gösteren bir sayı doğrusu: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8 için 5'ten 8'e 3 birim sağa bir sıçrama ve −4 + 6 = 2 için −4'ten 2'ye 6 birim sağa bir sıçrama.

Negatif sayı çıkarmak: en çok yanlış yapılan kısım

Negatif bir sayıyı çıkarmak, öğrencilerin en çok kaçırdığı adımdır, çünkü "çıkarmak" cevabın küçülmesi gerekiyormuş gibi gelir. 5 − (−3)'ü 5 + 3 diye yeniden yazın; cevap 8'dir ve 5'ten büyüktür.

Bir banka hatası nedenini görünür kılar. Bakiyeniz 5 TL ise ve banka yanlışlıkla kestiği 3 TL'lik bir ücreti geri alıyorsa, −3'ü çıkarmak size 8 TL bırakır. Negatiften negatif çıkarmak da aynı şekilde işler: −4 − (−6) = −4 + 6 = 2 ve −9 − (−2) = −9 + 2 = −7.

Altta yatan aritmetiği hâlâ doğal sayılarla çıkarma taşır; onluk bozarak çıkarma rehberi bu katmanı anlatır.

Negatif sayı kuralları tek tabloda

Negatif sayıların işaret kuralları beş satıra sığar: ikisi toplama, biri çıkarma, ikisi de çarpma ve bölme için. Her satır kuralı, çözümlü bir örneği ve sayı doğrusundaki karşılık gelen hareketi verir.

İşlem	Kural	Örnek	Sayı doğrusundaki hareket
Toplama, işaretler aynı	Mutlak değerleri toplayın, işareti koruyun	−2 + (−3) = −5	−2'den başlayın, 3 sola gidin
Toplama, işaretler farklı	Mutlak değerleri çıkarın, 0'a uzak olanın işaretini koruyun	−7 + 4 = −3	−7'den başlayın, 4 sağa gidin
Negatif sayı çıkarma	Ters işaretlisini ekleyin	−4 − (−6) = 2	−4'ten başlayın, 6 sağa gidin
Çarpma ya da bölme, işaretler aynı	Sonuç pozitiftir	(−3) × (−4) = 12	4'lük 3 sol sıçramanın aynadaki görüntüsü
Çarpma ya da bölme, işaretler farklı	Sonuç negatiftir	−12 ÷ 3 = −4	0'dan −12'ye 3 eşit sıçrama

Negatif sayılarla çarpma iki hamledir: mutlak değerleri çarpın, sonra işareti seçin. Aynı işaretler pozitif, farklı işaretler negatif bir çarpım verir; dolayısıyla 3 × (−4) = −12 ve (−3) × (−4) = 12'dir.

OpenStax bölmeyi de aynı kurala bağlar: işaretli sayılarla bölme, çarpmayla aynı kuralları izler. Dolayısıyla −12 ÷ 3 = −4, 12 ÷ (−3) = −4 ve −12 ÷ (−3) = 4'tür. MEB programı tam sayılarla çarpma ve bölmeyi 7. sınıfta işler ve 0'ın, 1'in ve −1'in etkisinin incelenmesini ister (M.7.1.1.3).

İkiden fazla çarpan varsa eksi işaretlerini sayın. Çift sayıda eksi pozitif, tek sayıda eksi negatif bir cevap verir; dolayısıyla (−1) × (−2) × (−3) = −6'dır.

Çarpmada işaret kurallarını gösteren ikiye iki bir tablo: artı çarpı artı artıdır, 3 × 4 = 12; artı çarpı eksi eksidir, 3 × (−4) = −12; eksi çarpı artı eksidir, (−3) × 4 = −12; eksi çarpı eksi artıdır, (−3) × (−4) = 12.

Eksi çarpı eksi neden artıdır?

Eksi çarpı eksi artıdır, çünkü çarpma örüntüsünün sıfırın ötesinde de sürmesi gerekir. İkinci çarpanı her satırda 1 azaltarak −3'ün çarpım tablosunu yazın:

−3 × 2 = −6
−3 × 1 = −3
−3 × 0 = 0
−3 × (−1) = 3
−3 × (−2) = 6

İkinci çarpan 1 azaldıkça her cevap 3 artar; dolayısıyla 0'dan sonraki satır 3 olmalıdır. Başka herhangi bir cevap, diğer her satırda geçerli olan bir örüntüyü bozardı.

Common Core'un 7.NS.A.2a standardı resmî nedeni verir: çarpma, işlemlerin özellikleri ve özellikle dağılma özelliği korunacak biçimde negatif sayılara genişletilir ve bu (−1)(−1) = 1 gibi çarpımlara götürür. Sembollerle 0 = −1 × (1 + (−1)) = −1 + (−1)(−1)'dir; dolayısıyla (−1)(−1) 1'e eşit olmak zorundadır.

Aynı kurallar zinciri işlem önceliğinin de altında yatar; işlem önceliği rehberi işaretlerin parantezler, üslü ifadeler ve çarpımlar arasında nereye oturduğunu gösterir.

Günlük hayatta negatif sayılar

Negatif sayılar, bir çokluğun bir başlangıç noktasının altına düşebildiği her yerde karşımıza çıkar. En sık karşılaştıklarınız sıcaklık, asansör, deniz seviyesi ve paradır.

Sıcaklık: Sabah termometre −5 °C, öğleden sonra 12 °C gösteriyorsa artış 12 − (−5) = 12 + 5 = 17 derecedir.
Asansör: Zemin katın altındaki katlar çoğu zaman −1 ve −2 diye numaralanır. 3. kattan −2. kata inmek 3 − (−2) = 5 kattır.
Para: −30 TL'lik bir bakiyeye 50 TL yatırılınca −30 + 50 = 20 TL olur.
Deniz seviyesi: −40 m'deki bir dalgıç 15 m yükselirse −40 + 15 = −25 m'de durur.

İngiltere'nin ulusal öğretim programı aynı bağlamları kullanır: 6. yıl öğrencileri negatif sayıları bağlam içinde kullanır ve 0'ın iki yanına uzanan aralıkları hesaplar; programın rehberliği de model olarak sıcaklığı gösterir.

İki sayı arasındaki uzaklık

Sayı doğrusundaki iki sayı arasındaki uzaklık, farklarının mutlak değeridir. Common Core'un 7.NS.A.1c standardı, iki rasyonel sayı arasındaki uzaklığın farklarının mutlak değeri olduğunu göstermeyi ister. −5'ten 12'ye bu, |12 − (−5)| = 17'dir; termometredeki 17 dereceyle aynı.

Negatif sayıların oturduğunu nasıl anlarsınız?

Beş kısa soru, bir çocuğun ya da yetişkinin negatif sayılarla çalışıp çalışamadığını gösterir. Cevabın yanında gerekçeyi de isteyin.

Sıralama: −8 mi büyüktür, −3 mü? Cevap −3'tür, çünkü −8'in sağında durur.
Toplama: −6 + 4 kaçtır? Cevap −2'dir.
Negatif sayı çıkarma: 7 − (−5) kaçtır? Cevap 7 + 5'ten gelen 12'dir.
İşaret kuralları: (−6) × (−5) ve 24 ÷ (−8) kaçtır? Cevaplar 30 ve −3'tür.
Bağlam: Sıcaklık 4 °C'den −9 °C'ye düşüyor. Ne kadar düştü? Cevap 4 − (−9) = 13 derecedir.

İki dakikalık bir test

Beş sorudan sırası karıştırılmış iki dakikalık bir test, tek tip sorulardan oluşan bir sayfadan daha çok şey söyler. Toplamayı doğru yapıp 7 − (−5) için 2 yazan bir öğrencinin "ters işaretlisini ekle" adımına, −8'i −3'ün üstüne koyan bir öğrencinin de yeniden sayı doğrusuna ihtiyacı vardır.

Bu becerilerle ilgili 6. ve 7. sınıf beklentileri her sınıf hangi matematiği bilmeli rehberinde anlatılır. x − 4 = 9 gibi tek adımlı denklemlerle hızlı alıştırma için x'i bulma oyunu tarayıcıda ücretsiz oynanır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınX'i Bul6. sınıf+

Negatif sayılarda sık yapılan hatalar

Negatif sayılardaki yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin kısa bir düzeltmesi vardır.

"İki eksi bir artı eder"i her yere uygulamak: −2 + (−3), −5'tir, çünkü negatif sayı eklemek sola götürür. Pozitif çarpım kuralı yalnızca çarpma ve bölmeye aittir.
Rakamlara göre sıralamak: 8, 3'ten büyük olsa da −8, −3'ten küçüktür. Sayı doğrusunu gözünüzün önüne getirin ve daha sağdaki sayıyı seçin.
Parantezleri atmak: 5 − (−3)'ü 5 − 3 diye yazmak 8 yerine 2 verir. Problemi toplama olarak yeniden yazana kadar parantezleri koruyun.
Uzun bir işlemde işareti kaybetmek: −4 × 3 + 10'da çarpım −12'dir, dolayısıyla cevap −12 + 10 = −2'dir. Hesaplamadan önce her işareti daire içine alın.

Sınır durum: −3² ve (−3)²

Bir üs yalnızca hemen altındaki sayıya uygulanır; bu yüzden −3² ile (−3)² farklı cevaplar verir. −3², −(3 × 3) = −9 demektir; (−3)² ise (−3) × (−3) = 9 demektir. Üslü sayılar rehberi bu kuralı ve ayrı bir fikir olan negatif üsleri anlatır.

Negatif sayılar kontrol listeniz ve sonraki adımlar

Resim: hesaplamadan önce bir sayı doğrusu çizin.
Sıralama: daha sağdaki sayı daha büyüktür, dolayısıyla −3 > −8.
Çıkarma: hareket etmeden önce p − q'yu p + (−q) diye yeniden yazın.
Toplama: işaretler aynıysa toplayın ve işareti koruyun; farklıysa çıkarın ve 0'a uzak olanın işaretini koruyun.
Çarpma ve bölme: aynı işaretler pozitif, farklı işaretler negatif bir cevap verir.
Üsler: −3² ile (−3)²'deki parantezlere dikkat edin.

sınıf öğrencilerinin velileri sınıf düzeyindeki alıştırmaları 6. sınıflar için matematik oyunu sayfasında bulabilir. Sayı duygusunu yeniden kuran yetişkinler yetişkin olarak matematikte nasıl ilerlenir yazısını okuyabilir ya da yetişkinler için matematik oyununu deneyebilir.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, cevaplar doğru çıktıkça seviyeyi yükselten uyarlanabilir zorluk, günlük alıştırma ve 2–5 kişilik gerçek zamanlı düellolar sunan, 33 dilde ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. Oyunlarından 22'si tarayıcıda üyeliksiz ve ücretsiz oynanır.