Was ist eine Quadratwurzel und wie zieht man die Wurzel?

Die Quadratwurzel einer Zahl ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl ergibt, also √49 = 7, weil 7 · 7 = 49. Ist die Zahl eine Quadratzahl, rufen Sie die Wurzel aus dem Gedächtnis ab. Sonst legen Sie die Zahl zwischen zwei Quadratzahlen, schätzen und prüfen durch Quadrieren. Primfaktorzerlegung und Taschenrechner gehen auch.

Was ist die Wurzel aus 64?

Die Wurzel aus 64 ist 8, weil 8 · 8 = 64. Die Zahl 64 ist eine Quadratzahl, die achte. Auch −8 ergibt quadriert 64, aber das Wurzelzeichen bedeutet die nicht negative Wurzel, also √64 = 8. Die Gleichung x² = 64 hat dagegen die zwei Lösungen 8 und −8.

Was ist die Wurzel aus 2?

Die Wurzel aus 2 ist etwa 1,414, weil 1,414 · 1,414 = 1,999396. Die Wurzel aus 2 ist irrational: Ihre Dezimalstellen enden nie und wiederholen sich nie, also ist jeder aufgeschriebene Wert eine Näherung. Der Common-Core-Standard 8.EE.A.2 verlangt in den USA von Achtklässlern, zu wissen, dass √2 irrational ist.

Was ist die Wurzel aus 16?

Die Wurzel aus 16 ist 4, weil 4 · 4 = 16. Ein häufiger Fehler ist die Antwort 8, also die Hälfte von 16. Halbieren und Wurzelziehen ergeben nur bei 0 und 4 dasselbe, denn 4 : 2 = 2 und √4 = 2.

Kann eine Wurzel negativ sein?

Eine Zahl wie 49 entsteht sowohl aus 7 · 7 als auch aus (−7) · (−7). Das Wurzelzeichen steht aber nur für die nicht negative Zahl, also √49 = 7, und die negative Zahl schreibt man −√49 = −7. Eine negative Zahl wie −4 hat keine reelle Quadratwurzel.

Quadratwurzel: Wurzel ziehen einfach erklärt

Ihr Kind in der 9. Klasse hängt bei √50 fest, und die Taschenrechnerantwort 7,0710678 scheint aus dem Nichts zu kommen. Eine Quadratwurzel klingt nach einer neuen Rechenart, ist aber das Quadrieren rückwärts, und die Quadratzahlen aus dem Einmaleins enthalten fast jede Antwort. Sobald dieser Zusammenhang klar ist, können Sie die Wurzel von Hand ziehen und in Sekunden prüfen.

Was ist eine Quadratwurzel?

Die Quadratwurzel einer Zahl ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert diese Zahl ergibt. √49 = 7, weil 7 · 7 = 49, und √100 = 10, weil 10 · 10 = 100. Das Zeichen √ heißt Wurzelzeichen, die Zahl darunter Radikand, und √49 liest man „Wurzel aus 49“.

Das Lehrbuch OpenStax Prealgebra gibt die Definition in einer Zeile: Eine Zahl, deren Quadrat m ist, heißt Quadratwurzel von m. Quadrieren und Wurzelziehen machen sich gegenseitig rückgängig, so wie Multiplizieren und Dividieren. Der Leitfaden zu Potenzen erklärt die Seite des Quadrierens.

Ein Bild macht den Zusammenhang greifbar. Ein Quadrat aus 49 Fliesen hat an jeder Seite 7 Fliesen, also ist die Quadratwurzel einer Fläche die Länge der Seite.

Fünf Fliesenquadrate aus 1, 4, 9, 16 und 25 Fliesen, jedes mit seiner Multiplikation von 1 × 1 = 1 bis 5 × 5 = 25 und seiner Quadratwurzel von √1 = 1 bis √25 = 5 beschriftet.

Quadratzahlen: die ersten 15

Quadratzahlen sind die Ergebnisse, wenn man eine natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert. Ihre Quadratwurzeln sind ganze Zahlen, also ist jede Quadratzahl zugleich eine Wurzelaufgabe.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225

Der nationale Lehrplan in England verlangt in Year 5, Quadrat- und Kubikzahlen sowie die Schreibweise ² und ³ zu erkennen und zu nutzen (Mathematiklehrpläne für England). Die ersten zehn Zeilen kommen direkt aus dem Einmaleins, und deshalb lohnt sich der Beitrag Einmaleins schnell lernen auch hier.

Wurzel ziehen: Schritt für Schritt

Eine Quadratwurzel zieht man in vier Schritten: prüfen, ob es eine Quadratzahl ist, die Zahl zwischen zwei Quadratzahlen legen, schätzen und durch Quadrieren prüfen. Als Beispiel dient √50.

Fragen, ob es eine Quadratzahl ist. Steht die Zahl unter den Quadratzahlen, rufen Sie die Wurzel ab: √144 = 12. Die 50 steht nicht in der Liste, also weiter.
Die beiden Quadratzahlen drumherum finden. 50 liegt zwischen 49 = 7² und 64 = 8², also liegt √50 zwischen 7 und 8.
Aus den Abständen schätzen. 50 liegt 1 über 49 und 14 unter 64, also liegt √50 viel näher an 7. Der Abstand von 49 bis 64 ist 15, also ist eine gute erste Schätzung 7 + 1/15, etwa 7,07.
Durch Quadrieren prüfen. 7,07 · 7,07 = 49,9849, und das liegt nahe an 50. Ein Taschenrechner gibt √50 ≈ 7,0711, also stimmt die Schätzung auf zwei Nachkommastellen.

Dieselben vier Schritte funktionieren bei jeder natürlichen Zahl. Bei √30 sind die Nachbarn 25 und 36, also liegt die Wurzel zwischen 5 und 6, etwas unter der Mitte, und 5,5 · 5,5 = 30,25 bestätigt das.

Ein Zahlenstrahl von 36 bis 64 mit √36 = 6, √49 = 7 und √64 = 8 über den Quadratzahlen, die 50 einen Schritt hinter 49 und vierzehn Schritte vor 64 markiert, und 7 < √50 < 8 in einem Kasten.

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Der häufigste Fehler: Wurzeln aus Summen

Die Wurzel einer Summe ist nicht die Summe der Wurzeln. √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Rechnen Sie zuerst alles unter dem Wurzelzeichen aus und ziehen Sie dann die Wurzel.

OpenStax zeigt dasselbe an einem Aufgabenpaar: Im ersten Teil wird jede Wurzel zuerst gezogen und dann addiert, im zweiten wird zuerst unter dem Wurzelzeichen addiert und dann die Wurzel gezogen, und die Ergebnisse sind verschieden. Bei der Multiplikation darf man dagegen trennen: √(4 · 9) = √36 = 6 und √4 · √9 = 2 · 3 = 6.

Vier Wege, die Wurzel zu ziehen, im Vergleich

Die vier Wege, eine Quadratwurzel zu finden, sind Abrufen, Schätzen und Prüfen, Primfaktorzerlegung und Taschenrechner. Jeder passt zu einer anderen Zahl und zu einem anderen Moment in der Schule.

Weg	So geht es	Am besten für	Grenzen
Abrufen	Die Zahl einer bekannten Quadratzahl zuordnen: √81 = 9	Quadratzahlen bis 225 oder 400	Die Quadratzahlen müssen sitzen
Schätzen und prüfen	Zwischen zwei Quadratzahlen legen, schätzen, die Schätzung quadrieren	√50 ≈ 7,07, schnelle Proben, Tests ohne Taschenrechner	Liefert eine Näherung, meist auf 1–2 Nachkommastellen
Primfaktorzerlegung	In Primfaktoren zerlegen, jeden Exponenten halbieren: √144 = √(2⁴ · 3²) = 2² · 3 = 12	Große Quadratzahlen wie 324 oder 576	Langsam bei großen Zahlen; keine ganze Zahl bei Nicht-Quadratzahlen
Taschenrechner	√ drücken oder in einer Tabelle =WURZEL(50) eingeben	Jede Zahl, jede Genauigkeit	Verdeckt, ob das Ergebnis sinnvoll ist

Die Primfaktorzerlegung funktioniert, weil in einer Quadratzahl jede Primzahl eine gerade Anzahl Male vorkommt. 324 = 2² · 3⁴, also √324 = 2 · 3² = 18, und 18 · 18 = 324 bestätigt das. Der Beitrag zu Primzahlen zeigt, wie man den Faktorbaum baut, und sein Teilbarkeitstest hört aus demselben Grund bei der Wurzel der Zahl auf.

Welcher Weg in welcher Klasse

Die Klasse entscheidet, welcher Weg zuerst kommt. Das Abrufen kommt zuerst, weil die Quadratzahlen früh mit dem Einmaleins kommen. Der LehrplanPLUS für die 5. Klasse am Gymnasium verlangt in Bayern ein automatisiertes Wissen der Quadratzahlen bis 400.

Die Quadratwurzel selbst steht in Bayern im LehrplanPLUS für die 9. Klasse am Gymnasium: Die Schülerinnen und Schüler erläutern die Definition an Beispielen und bestimmen bei geeigneten Zahlen den Wert einer Quadratwurzel oder einen groben Näherungswert dafür auch im Kopf. Andere Bundesländer und Schularten setzen das Thema teils in die 8. Klasse.

In den USA kommen Quadratwurzeln in der 8. Klasse: Common-Core-Standard 8.EE.A.2 verlangt, Wurzeln kleiner Quadratzahlen zu berechnen und zu wissen, dass √2 irrational ist, und 8.NS.A.2 ergänzt das Eingrenzen von √2 zwischen 1 und 2, dann zwischen 1,4 und 1,5. Der Taschenrechner kommt zuletzt, als Probe für eine Schätzung.

Praktische Tipps, damit Quadratwurzeln sitzen

Quadratwurzeln sitzen, wenn die Quadratzahlen automatisch kommen, also lernen Sie sie bis 15² und bis 20², wenn Ihr Kind auf die Algebra zugeht. Fünf Minuten am Tag mit dem Quadratzahlen-Spiel bringen 13² = 169 und 14² = 196 ohne Rechnen zurück.

Nutzen Sie die letzte Ziffer als Filter. Eine Quadratzahl endet nur auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9, also endet keine auf 2, 3, 7 oder 8.

Die Endziffernregel schließt 47, 83 und 572 auf einen Blick aus. Die Regel filtert nur: 26 endet auf 6 und ist trotzdem keine Quadratzahl.

Verbinden Sie Wurzeln mit dem Kopfrechnen. √2.500 = 50, weil 50 · 50 = 2.500, und √1.600 = 40 aus demselben Grund. Der Leitfaden Kopfrechentricks, die funktionieren hat weitere Abkürzungen dieser Art.

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Eine Übungsregel: das Ergebnis immer quadrieren

Das Ergebnis zu quadrieren ist die eine Gewohnheit, die jede falsche Quadratwurzel aufdeckt. Kam bei √196 die 13 heraus, zeigt 13 · 13 = 169 den Fehler, und 14 · 14 = 196 zeigt die Korrektur. Verlangen Sie die Probe bei jeder Hausaufgabe, bis Ihr Kind sie ohne Aufforderung macht.

So prüfen Sie, ob Quadratwurzeln sitzen

Fünf Signale zeigen, ob Quadratwurzeln Sinn ergeben, und jedes dauert unter einer Minute.

Abrufen: Fragen Sie nach √121, √169 und √225. Die Antworten 11, 13 und 15 sollten jeweils in unter drei Sekunden kommen.
Eingrenzen: Fragen Sie, zwischen welchen zwei ganzen Zahlen √90 liegt. Die Antwort ist 9 und 10, weil 81 < 90 < 100.
Schätzen: Fragen Sie nach √65 auf eine Nachkommastelle. Etwa 8,1 stimmt, weil 65 eins über 64 liegt.
Summen unter dem Zeichen: Geben Sie √(36 + 64). Die Antwort ist 10, und 14 bedeutet, dass die Wurzeln zuerst gezogen wurden.
Die Begründung: Fragen Sie, warum √0,25 = 0,5 ist. „Weil 0,5 · 0,5 = 0,25“ zeigt die Idee; „weil es die Hälfte ist“ nicht.

Ein Fünf-Minuten-Test

Ein Fünf-Minuten-Test mischt eine Aufgabe jeder Art und wird zweimal pro Woche mit neuen Zahlen wiederholt. Bewerten Sie die Probe mit, nicht nur das Ergebnis: Wer √50 ≈ 7,07 schreibt und zu 49,98 quadriert, versteht Wurzeln. Die Seite mit dem Mathespiel für die 6. Klasse sammelt Übungen für die Stufe, in der sich Quadratzahlen und Potenzen treffen.

Typische Fehler beim Wurzelziehen und Sonderfälle

Fünf Fehler verursachen die meisten falschen Quadratwurzeln, und jeder hat eine Korrektur in einer Zeile.

√16 = 8: Die Zahl wurde halbiert. Quadrieren Sie das Ergebnis: 8 · 8 = 64, also ist die Wurzel 4.
√(9 + 16) = 7: Die Wurzeln wurden vor dem Addieren gezogen. Zuerst addieren: √25 = 5.
√50 = 25: Derselbe Halbierungsfehler bei einer größeren Zahl. Legen Sie 50 stattdessen zwischen 49 und 64.
√2 = 1,414 genau: √2 ist irrational, also schreiben Sie √2 ≈ 1,414; 1,414 · 1,414 = 1,999396.
√49 = ±7: Das Wurzelzeichen liefert ein Ergebnis. Schreiben Sie √49 = 7 und −√49 = −7 für die negative Zahl.

Negative Zahlen brauchen Sorgfalt. Sowohl 7 · 7 als auch (−7) · (−7) ergeben 49, also hat die Gleichung x² = 49 zwei Lösungen, und das Wurzelzeichen wählt die nicht negative. OpenStax sagt es klar: Das Wurzelzeichen √ steht für die positive Quadratwurzel.

Wurzeln aus negativen Zahlen

Eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel, weil jede reelle Zahl mal sich selbst null oder positiv ist. OpenStax hält fest, dass es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat −169 ist, also hat √−4 keine reelle Lösung. Der Beitrag zu negativen Zahlen erklärt, warum minus mal minus plus ergibt, und das ist der Grund hinter der Regel.

Ihre Checkliste zu Quadratwurzeln und die nächsten Schritte

Die Quadratzahlen kennen: 1² bis 15² auswendig, mit 225 als letzter.
Die Zahl eingrenzen: die Quadratzahlen darunter und darüber finden.
Nach Abstand schätzen: näher an der unteren Quadratzahl heißt näher an der unteren Wurzel.
Zuerst unter dem Zeichen rechnen: √(a + b) wird nie in √a + √b getrennt.
Das Ergebnis quadrieren: die Probe dauert zehn Sekunden und deckt jeden Fehler auf.

Der Lehrplan in England führt Wurzeln in Key Stage 3 weiter, wo die Schüler exakte Wurzeln von ihren Dezimalnäherungen unterscheiden. Das ist die Grenze zwischen √2 und 1,414, und die fünf Gewohnheiten oben bereiten darauf vor.

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