Les nombres relatifs expliqués : additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres négatifs

Un élève de 5e regarde 5 − (−3) et écrit 2, le thermomètre affiche −5 °C, et l'appli de la banque montre un solde de −30 €. Les nombres négatifs sont derrière les trois, et les règles pour additionner, soustraire et multiplier des nombres relatifs découlent d'une seule image : la droite graduée. Une fois cette image claire, soustraire un nombre négatif, la règle des signes et la question classique « négatif moins négatif » deviennent le même geste.

Que sont les nombres négatifs ?

Un nombre négatif est un nombre inférieur à zéro, écrit avec un signe moins devant, comme −1, −7 ou −3/4. Sur une droite graduée horizontale, les nombres positifs sont à droite de 0 et les nombres négatifs à gauche, donc tout nombre négatif est plus petit que 0 et plus petit que n'importe quel nombre positif. Positifs et négatifs forment ensemble les nombres relatifs.

Les nombres négatifs décrivent des quantités situées sous un point de départ. OpenStax Prealgebra prend l'exemple du froid (« degrés en dessous de zéro ») et de l'altitude : un lieu situé à 400 m sous le niveau de la mer a une altitude de −400 m. Un solde bancaire de −30 € veut dire que vous devez 30 €.

Le standard américain Common Core 6.NS.C.5 demande aux élèves de grade 6, l'équivalent de la 6e, de « comprendre que les nombres positifs et négatifs servent ensemble à décrire des quantités de sens ou de valeurs opposés », avec la température, l'altitude, les crédits et les débits comme exemples. En France, le programme de mathématiques du cycle 4 place l'arrivée des nombres relatifs en 5e : il s'agit de « définir les nombres relatifs », de les utiliser pour représenter des grandeurs « qui peuvent prendre des valeurs inférieures à zéro (température, temps, altitude, etc.) », puis de les additionner et de les soustraire.

L'opposé et la distance à zéro

L'opposé d'un nombre est le nombre situé à la même distance de 0, de l'autre côté : l'opposé de 4 est −4, et l'opposé de −4 est 4. Le standard 6.NS.C.6a le dit avec un exemple : « l'opposé de l'opposé d'un nombre est le nombre lui-même, par exemple −(−3) = 3, et 0 est son propre opposé ».

La valeur absolue d'un nombre est sa distance à 0, notée entre deux barres. |−7| et |7| valent tous deux 7, car chacun est à 7 pas de 0. Le programme français de 5e demande de même de « définir l'opposé et la valeur absolue d'un nombre ». Le standard 6.NS.C.7c prend l'exemple d'une dette : « pour un solde de −30 dollars, écrire |−30| = 30 pour décrire le montant de la dette ».

L'ordre suit la droite. Un nombre situé plus à droite est toujours plus grand, donc −3 > −8, même si 8 est plus grand que 3. Le standard 6.NS.C.7b en donne la lecture : « −3 °C est plus chaud que −7 °C ».

Comment additionner et soustraire des nombres relatifs, étape par étape

Additionner et soustraire des nombres relatifs, c'est se déplacer sur la droite graduée : ajouter un nombre positif fait avancer vers la droite, ajouter un nombre négatif fait reculer vers la gauche, et soustraire un nombre fait aller dans le sens contraire de l'addition. Le standard 7.NS.A.1c nomme la règle : « comprendre la soustraction des nombres rationnels comme l'addition de l'opposé, p − q = p + (−q) ».

1. Placez le premier nombre sur la droite graduée. Pour −4 + 6, posez le doigt sur −4.
2. Transformez chaque soustraction en addition de l'opposé. 5 − (−3) devient 5 + 3, et 2 − 7 devient 2 + (−7).
3. Avancez vers la droite pour un nombre positif et reculez vers la gauche pour un nombre négatif. À partir de −4, ajouter 6 veut dire 6 pas vers la droite, ce qui mène à 2.
4. Utilisez les distances à zéro quand les nombres sont grands. Avec des signes identiques, additionnez les distances à zéro et gardez le signe : −20 + (−15) = −35. Avec des signes contraires, soustrayez la plus petite distance à zéro de la plus grande et gardez le signe du nombre le plus éloigné de 0 : −20 + 15 = −5.
5. Vérifiez le résultat par une estimation rapide. Si vous partez sous zéro et ajoutez un nombre positif plus petit, le résultat reste forcément sous zéro.

Soustraire un nombre négatif : l'étape qui pose problème

Soustraire un nombre négatif est l'étape que la plupart des élèves ratent, car « enlever » donne l'impression que le résultat doit diminuer. Pour 5 − (−3), réécrivez le calcul en 5 + 3, et la réponse est 8, plus grand que 5.

Une erreur de la banque rend la raison visible. Si votre solde est de 5 € et que la banque annule un prélèvement de 3 € fait par erreur, enlever −3 vous laisse 8 €. Négatif moins négatif fonctionne de la même façon : −4 − (−6) = −4 + 6 = 2, et −9 − (−2) = −9 + 2 = −7.

Le calcul sur les nombres entiers reste dessous, et le guide sur la soustraction avec retenue couvre cette couche.

Les règles des nombres relatifs en un tableau

Les règles des signes tiennent en cinq lignes : deux pour l'addition, une pour la soustraction et deux pour la multiplication et la division. Chaque ligne donne la règle, un exemple et le déplacement correspondant sur la droite graduée.

Multiplier des nombres relatifs se fait en deux gestes : multiplier les distances à zéro, puis choisir le signe. Deux signes identiques donnent un produit positif et deux signes contraires un produit négatif : 3 × (−4) = −12 et (−3) × (−4) = 12.

OpenStax applique la même règle à la division : « la division des nombres relatifs suit les mêmes règles que la multiplication ». Donc −12 : 3 = −4, 12 : (−3) = −4 et −12 : (−3) = 4.

Avec plus de deux facteurs, comptez les signes moins. Un nombre pair de facteurs négatifs donne un résultat positif et un nombre impair un résultat négatif : (−1) × (−2) × (−3) = −6.

Pourquoi moins par moins donne plus

Un négatif multiplié par un négatif donne un positif, parce que la suite des produits doit continuer au-delà de zéro. Écrivez la table de −3 en faisant baisser le second facteur de 1 à chaque ligne :

• −3 × 2 = −6
• −3 × 1 = −3
• −3 × 0 = 0
• −3 × (−1) = 3
• −3 × (−2) = 6

Chaque résultat augmente de 3 quand le second facteur baisse de 1, donc la ligne qui suit 0 doit valoir 3. Toute autre réponse casserait une régularité vraie sur toutes les autres lignes.

Le standard 7.NS.A.2a en donne la raison formelle : la multiplication s'étend aux nombres négatifs « en exigeant que les opérations continuent de respecter leurs propriétés, en particulier la distributivité, ce qui mène à des produits comme (−1)(−1) = 1 ». En symboles, 0 = −1 × (1 + (−1)) = −1 + (−1)(−1), donc (−1)(−1) doit valoir 1. Le programme français suit le même chemin en 4e : multiplier deux nombres relatifs « d'abord dans le cas où un seul des facteurs est négatif, puis, grâce à la distributivité, dans le cas où les deux facteurs sont négatifs ».

La même chaîne de règles sous-tend les priorités opératoires, et le guide sur les priorités opératoires montre où les signes se placent parmi les parenthèses, les puissances et les produits.

Les nombres négatifs dans la vie courante

Les nombres négatifs apparaissent dès qu'une quantité peut passer sous un point de départ. La température, l'ascenseur, le niveau de la mer et l'argent sont les quatre cas les plus fréquents.

• La température : si le thermomètre affiche −5 °C le matin et 12 °C l'après-midi, la hausse est de 12 − (−5) = 12 + 5 = 17 degrés.
• L'ascenseur : les sous-sols sont souvent numérotés −1 et −2. Du 3e étage au niveau −2, il y a 3 − (−2) = 5 étages.
• L'argent : un solde de −30 € suivi d'un dépôt de 50 € donne −30 + 50 = 20 €.
• Le niveau de la mer : un plongeur à −40 m qui remonte de 15 m arrive à −40 + 15 = −25 m.

Le programme national anglais utilise les mêmes contextes : en Year 6, les élèves « utilisent les nombres négatifs en contexte et calculent des écarts de part et d'autre de 0 », et ses recommandations prennent la température comme modèle.

La distance entre deux nombres

La distance entre deux nombres sur la droite graduée est la valeur absolue de leur différence. Le standard 7.NS.A.1c demande de « montrer que la distance entre deux nombres rationnels sur la droite graduée est la valeur absolue de leur différence ». De −5 à 12, cela fait |12 − (−5)| = 17, les mêmes 17 degrés que sur le thermomètre.

Comment vérifier que les nombres relatifs sont acquis

Cinq questions courtes montrent si un enfant ou un adulte sait calculer avec des nombres négatifs. Demandez le raisonnement autant que la réponse.

• Ranger : lequel est le plus grand, −8 ou −3 ? La réponse est −3, car il se trouve à droite de −8.
• Additionner : combien fait −6 + 4 ? La réponse est −2.
• Soustraire un négatif : combien fait 7 − (−5) ? La réponse est 12, avec 7 + 5.
• La règle des signes : combien font (−6) × (−5) et 24 : (−8) ? Les réponses sont 30 et −3.
• Un contexte : la température passe de 4 °C à −9 °C. De combien a-t-elle baissé ? La réponse est 4 − (−9) = 13 degrés.

Un test de deux minutes

Un test de deux minutes avec les cinq questions, dans le désordre, en dit plus qu'une page d'un seul type. Un élève qui réussit l'addition mais écrit 2 pour 7 − (−5) a besoin de l'étape « ajouter l'opposé », et un élève qui place −8 au-dessus de −3 a besoin de revoir la droite graduée.

Les attendus de 6e et de 5e autour de ces compétences sont détaillés dans le guide sur ce que votre enfant doit savoir en maths à chaque niveau. Pour s'entraîner vite sur des équations à une étape comme x − 4 = 9, le jeu « trouver x » se joue gratuitement dans le navigateur.

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Les erreurs fréquentes avec les nombres relatifs

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses avec les nombres négatifs, et chacune a une correction rapide.

• Appliquer partout « moins par moins donne plus » : −2 + (−3) vaut −5, car ajouter un négatif fait reculer. La règle du produit positif ne vaut que pour la multiplication et la division.
• Ranger d'après les chiffres : −8 est plus petit que −3, même si 8 est plus grand que 3. Imaginez la droite graduée et choisissez le nombre le plus à droite.
• Oublier les parenthèses : écrire 5 − (−3) comme 5 − 3 donne 2 au lieu de 8. Gardez les parenthèses jusqu'à ce que vous ayez réécrit le calcul en addition.
• Perdre le signe dans un long calcul : dans −4 × 3 + 10, le produit vaut −12, donc la réponse est −12 + 10 = −2. Entourez chaque signe avant de calculer.

Cas limite : −3² et (−3)²

Un exposant ne s'applique qu'à ce qui se trouve juste en dessous, donc −3² et (−3)² ne donnent pas le même résultat. −3² veut dire −(3 × 3) = −9, alors que (−3)² veut dire (−3) × (−3) = 9. Le guide sur les puissances couvre la règle et les exposants négatifs, qui sont une autre notion.

Votre pense-bête des nombres relatifs et la suite

• Visualiser : tracez une droite graduée avant de calculer.
• Ranger : le nombre le plus à droite est le plus grand, donc −3 > −8.
• Soustraire : réécrivez p − q en p + (−q) avant de vous déplacer.
• Additionner : même signe, on additionne et on garde le signe ; signes contraires, on soustrait et on garde le signe du nombre le plus éloigné de 0.
• Multiplier et diviser : même signe, résultat positif ; signes contraires, résultat négatif.
• Les puissances : attention aux parenthèses dans −3² et (−3)².

Les parents d'élèves de 6e trouveront un entraînement adapté au niveau sur la page jeu de maths pour la 6e. Les adultes qui reconstruisent leur sens des nombres peuvent lire le guide pour progresser en maths à l'âge adulte ou essayer le jeu de maths pour adultes.

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