负数讲解：正数和负数的加、减、乘、除

初一学生盯着 5 − (−3) 写下 2，温度计显示 −5 °C，银行应用里的余额显示 −30 元。这三件事背后都是负数，而负数的加法、减法和乘法法则，都来自同一幅图：数轴。这幅图一清楚，减去负数、符号法则和经典的“负数减负数”就都成了同一个动作。

负数是什么？

负数是比 0 小的数，前面写一个负号，比如 −1、−7 或 −3/4。在水平的数轴上，正数在 0 的右边，负数在 0 的左边，所以每个负数都比 0 小，也比所有正数小。

负数描述的是比起点还低的量。OpenStax《Prealgebra》用的是寒冷天气的“零下几度”和海拔。国内的例子也很多：吐鲁番盆地的艾丁湖湖面比海平面低约 154 米，就写作海拔 −154 米。账户余额 −30 元，意思是你欠了 30 元。

教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》把负数放在第四学段（七到九年级），要求学生理解负数的意义，能用数轴上的点表示有理数，所以国内一般在初一系统学习正数和负数；有些较早的小学教材在六年级下学期就有一个初步认识负数的单元。美国的共同核心州立数学标准 6.NS.C.5 放在六年级，要求学生理解正数和负数合在一起，用来描述方向相反或意义相反的量，例子有温度、海拔、收入和支出。

相反数和绝对值

一个数的相反数，是在 0 的另一侧、和 0 距离相同的数，所以 4 的相反数是 −4，−4 的相反数是 4。美国标准 6.NS.C.6a 举例说明：一个数的相反数的相反数就是它本身，例如 −(−3) = 3，而 0 的相反数是 0。

一个数的绝对值，是它到 0 的距离，用两条竖线表示。|−7| 和 |7| 都等于 7，因为它们离 0 都是 7 步。美国标准 6.NS.C.7c 用欠款来说明：账户余额是 −30 美元时，写 |−30| = 30 来表示欠了多少美元。

比较大小看数轴。右边的数总是更大，所以 −3 > −8，尽管 8 比 3 大。美国标准 6.NS.C.7b 给出的读法是：−3 °C 比 −7 °C 暖和。

负数的加减法，一步一步来

负数的加减法，就是在数轴上移动：加正数往右移，加负数往左移，减去一个数，就往加它时相反的方向移。美国标准 7.NS.A.1c 点出了这条法则：把有理数的减法理解为加上它的相反数，p − q = p + (−q)。

1. 把第一个数放到数轴上。 算 −4 + 6，手指先放在 −4 上。
2. 把每个减法都变成加上相反数。 5 − (−3) 变成 5 + 3，2 − 7 变成 2 + (−7)。
3. 正数往右移，负数往左移。 从 −4 加 6，就是往右走 6 步，落在 2 上。
4. 数大的时候用绝对值。 同号相加，绝对值相加，符号不变：−20 + (−15) = −35。异号相加，用较大的绝对值减去较小的绝对值，符号取离 0 更远的那个数：−20 + 15 = −5。
5. 用估算检查答案。 从 0 以下出发，加上一个较小的正数，答案一定还在 0 以下。

减去负数：最容易错的地方

减去负数是大多数学生会错的一步，因为“减”听起来结果应该变小。5 − (−3) 改写成 5 + 3，答案是 8，比 5 还大。

银行扣错钱的例子能把道理说清楚。你的余额是 5 元，银行发现多扣了一笔 3 元的费用，把它撤销，拿走 −3 以后你有 8 元。负数减负数也一样：−4 − (−6) = −4 + 6 = 2，−9 − (−2) = −9 + 2 = −7。

底下的计算仍然是整数减法，退位减法讲的就是那一层。

负数的运算法则，一张表看全

负数的符号法则五行就能写完：加法两行，减法一行，乘除法两行。每一行写出法则、一道例题，以及在数轴上对应的移动。

负数乘法分两步：先把绝对值相乘，再定符号。同号得正，异号得负，所以 3 × (−4) = −12，(−3) × (−4) = 12。

OpenStax 把除法也归到同一条法则下：有符号的数相除，法则和乘法一样。所以 −12 ÷ 3 = −4，12 ÷ (−3) = −4，−12 ÷ (−3) = 4。

两个以上的因数相乘，数一数有几个负号。负号是偶数个，结果为正；是奇数个，结果为负，所以 (−1) × (−2) × (−3) = −6。

为什么负负得正

负数乘负数得正数，是因为乘法的规律越过 0 以后还要继续。把 −3 的乘法一行行写下来，第二个因数每次减少 1：

• −3 × 2 = −6
• −3 × 1 = −3
• −3 × 0 = 0
• −3 × (−1) = 3
• −3 × (−2) = 6

第二个因数每减少 1，结果就增加 3，所以 0 后面那一行一定是 3。任何别的答案，都会打破其他每一行都成立的规律。

美国标准 7.NS.A.2a 给出了正式的理由：把乘法推广到负数时，要求运算继续满足运算律，特别是乘法分配律，于是得到 (−1)(−1) = 1 这样的积。用式子写就是 0 = −1 × (1 + (−1)) = −1 + (−1)(−1)，所以 (−1)(−1) 必须等于 1。

运算顺序底下也是这一串法则，运算顺序讲解说明了符号和括号、乘方、乘积放在一起时怎么算。

生活中的负数

只要一个量可能低于起点，就会用到负数。温度、电梯、海拔和钱，是最常碰到的四种。

• 温度： 早上 −5 °C，下午 12 °C，升高了 12 − (−5) = 12 + 5 = 17 °C。
• 电梯： 地面以下的楼层常常标成 −1、−2。从 3 楼下到 −2 层，是 3 − (−2) = 5 层。
• 钱： 余额 −30 元，再存进 50 元，变成 −30 + 50 = 20 元。
• 海拔： 潜水员在 −12 米处，往上游 5 米，到了 −12 + 5 = −7 米。

英格兰的国家课程用的是同样的情境：六年级学生要在情境中使用负数，计算跨过 0 的间隔，它的指导说明把温度当作范例。

两个数之间的距离

数轴上两个数之间的距离，是它们差的绝对值。美国标准 7.NS.A.1c 要求学生说明，数轴上两个有理数之间的距离等于它们差的绝对值。从 −5 到 12，就是 |12 − (−5)| = 17，和温度计上的 17 °C 一样。

怎么确认负数真的学会了

五个小问题，就能看出孩子（或者大人）会不会用负数。除了答案，还要问理由。

• 比较大小： −8 和 −3 哪个大？答案是 −3，因为它在 −8 的右边。
• 加法： −6 + 4 等于多少？答案是 −2。
• 减去负数： 7 − (−5) 等于多少？答案是 12，由 7 + 5 得到。
• 符号法则： (−6) × (−5) 和 24 ÷ (−8) 各等于多少？答案是 30 和 −3。
• 情境题： 气温从 4 °C 降到 −9 °C，降了多少度？答案是 4 − (−9) = 13 °C。

两分钟小测

把这五道题打乱顺序做一个两分钟小测，比一整页同类题更能说明问题。加法做对、却把 7 − (−5) 写成 2 的学生，需要练“加上相反数”这一步；把 −8 排在 −3 前面的学生，需要再回到数轴。

六年级和初一在这些技能上的要求，写在各年级应该掌握哪些数学这篇里。想快速练 x − 4 = 9 这样的一步方程，解方程游戏可以直接在浏览器里免费玩。

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负数的常见错误

负数的错答大多出自四种错误，每一种都有简短的纠正。

• 把“负负得正”用过了头： −2 + (−3) 等于 −5，因为加上负数是往左移。积为正的法则只属于乘法和除法。
• 按数字比大小： −8 比 −3 小，尽管 8 比 3 大。想一想数轴，取更靠右的那个数。
• 丢了括号： 把 5 − (−3) 写成 5 − 3，得 2 而不是 8。在把题目改写成加法之前，括号一直留着。
• 长算式里丢了符号： −4 × 3 + 10 里，积是 −12，所以答案是 −12 + 10 = −2。计算之前，先把每个符号圈出来。

特殊情况：−3² 和 (−3)²

乘方只作用于紧挨着它的那个数，所以 −3² 和 (−3)² 结果不同。−3² 表示 −(3 × 3) = −9，(−3)² 表示 (−3) × (−3) = 9。乘方讲解讲了这条规则，也讲了负指数，那是另一回事。

负数检查清单和下一步

• 画图： 计算之前先画一条数轴。
• 比大小： 越靠右的数越大，所以 −3 > −8。
• 减法： 移动之前，先把 p − q 改写成 p + (−q)。
• 加法： 同号相加，符号不变；异号相加，绝对值相减，符号取离 0 更远的数。
• 乘除法： 同号得正，异号得负。
• 乘方： 注意 −3² 和 (−3)² 里的括号。

六年级孩子的家长，可以在六年级数学游戏页面找到对应年级的练习。想重建数感的成年人，可以读成年人怎样把数学学好，或者试试成人数学游戏。

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