O que são números negativos e como somar, subtrair e multiplicar com eles?

Números negativos são números menores que zero, escritos com o sinal de menos, como −3, e ficam à esquerda do 0 na reta numérica. Para somar um negativo, ande para a esquerda; para subtrair um negativo, some o oposto dele, então 5 − (−3) = 8. Na multiplicação e na divisão, sinais iguais dão resultado positivo e sinais diferentes dão resultado negativo.

Números negativos são números naturais?

Números negativos não são números naturais. Os naturais são 0, 1, 2, 3 e assim por diante, sem negativos. Números negativos como −1, −2 e −3 pertencem aos números inteiros, que são os naturais junto com os seus opostos, e uma fração negativa como −1/2 nem é um número inteiro.

Números negativos são números racionais?

Inteiros negativos e frações negativas são números racionais. Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma fração p/q de dois inteiros, com q diferente de zero, então −3 = −3/1 e −3/4 são racionais. Também existem números irracionais negativos, como o oposto da raiz quadrada de 2.

Números negativos são números reais?

Números negativos são números reais. Os números reais preenchem toda a reta numérica, e todo número negativo tem um ponto à esquerda do 0 nessa reta. Inteiros negativos, frações negativas, decimais negativos e irracionais negativos são todos reais.

Quanto dá um negativo menos um negativo?

Um negativo menos um negativo se resolve somando o oposto do segundo número. Em −4 − (−6), troque a subtração de −6 pela adição de 6, então −4 + 6 = 2. Em −9 − (−2), o mesmo movimento dá −9 + 2 = −7, então a resposta pode ser positiva ou negativa, conforme o número que estiver mais longe do zero.

Números negativos: regras de sinais e exemplos

Um aluno do 7º ano olha para 5 − (−3) e escreve 2, o termômetro na serra marca −5 °C, e o app do banco mostra saldo de −R$ 30. Os números negativos estão por trás dos três casos, e as regras para somar, subtrair e multiplicar números negativos saem de uma imagem só: a reta numérica. Com essa imagem clara, subtrair negativos, o jogo de sinais e a clássica pergunta "negativo menos negativo" viram o mesmo movimento.

O que são números negativos?

Um número negativo é um número menor que zero, escrito com o sinal de menos na frente, como −1, −7 ou −3/4. Numa reta numérica horizontal, os positivos ficam à direita do 0 e os negativos ficam à esquerda, então todo número negativo é menor que 0 e menor que qualquer número positivo.

Os números negativos descrevem quantidades abaixo de um ponto de partida. O OpenStax Prealgebra usa o frio ("graus abaixo de zero") e a altitude: a margem do Mar Morto, cerca de 430 metros abaixo do nível do mar, fica em −430 m. Um saldo bancário de −R$ 30 quer dizer que você deve R$ 30.

No Brasil, a BNCC traz os números inteiros no 7º ano: o aluno deve "comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos", associá-los "a pontos da reta numérica" e usá-los em adições e subtrações (EF07MA03), e depois "resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros" (EF07MA04). Nos Estados Unidos, o padrão 6.NS.C.5 do Common Core começa no 6º ano, pedindo entender que positivos e negativos descrevem juntos quantidades de sentidos ou valores opostos, com temperatura, altitude, créditos e débitos como exemplos.

Opostos e módulo

O oposto (ou simétrico) de um número é o número que fica à mesma distância do 0, do outro lado, então o oposto de 4 é −4 e o oposto de −4 é 4. O padrão 6.NS.C.6a dá um exemplo: o oposto do oposto de um número é o próprio número, como −(−3) = 3, e o 0 é o oposto de si mesmo.

O módulo, ou valor absoluto, de um número é a distância dele até o 0, escrito entre duas barras. Tanto |−7| quanto |7| valem 7, porque cada um está a 7 passos do 0. O padrão 6.NS.C.7c usa uma dívida: para um saldo de −30 dólares, escreve-se |−30| = 30 para descrever o tamanho da dívida.

A ordem segue a reta. O número mais à direita é sempre o maior, então −3 > −8, mesmo que 8 seja maior que 3. Pela mesma leitura, −3 °C é mais quente que −7 °C.

Como somar e subtrair números negativos, passo a passo

Somar e subtrair números negativos é andar na reta numérica: somar um positivo leva para a direita, somar um negativo leva para a esquerda, e subtrair um número leva para o lado contrário de somá-lo. O padrão 7.NS.A.1c dá nome à regra: entender a subtração como a adição do oposto, p − q = p + (−q).

Ponha o primeiro número na reta numérica. Para −4 + 6, ponha o dedo no −4.
Transforme toda subtração numa adição do oposto. 5 − (−3) vira 5 + 3, e 2 − 7 vira 2 + (−7).
Ande para a direita com um positivo e para a esquerda com um negativo. A partir de −4, somar 6 quer dizer 6 passos para a direita, o que cai no 2.
Use o módulo quando os números forem grandes. Com sinais iguais, some os módulos e mantenha o sinal: −20 + (−15) = −35. Com sinais diferentes, subtraia o módulo menor do maior e fique com o sinal do número mais longe do 0: −20 + 15 = −5.
Confira a resposta com uma estimativa rápida. Se você começa abaixo de zero e soma um positivo menor, a resposta ainda precisa ficar abaixo de zero.

Uma reta numérica de −10 a 10 com dois movimentos: um salto de 3 para a direita, de 5 até 8, para 5 − (−3) = 5 + 3 = 8, e um salto de 6 para a direita, de −4 até 2, para −4 + 6 = 2.

Subtrair um negativo: a parte em que todo mundo erra

Subtrair um número negativo é o passo que mais alunos erram, porque "tirar" dá a impressão de que a resposta deve diminuir. Para 5 − (−3), reescreva como 5 + 3, e a resposta é 8, que é maior que 5.

Um erro do banco deixa o motivo visível. Se o seu saldo é R$ 5 e o banco retira uma cobrança de R$ 3 que fez por engano, tirar −3 deixa você com R$ 8. Negativo menos negativo funciona do mesmo jeito: −4 − (−6) = −4 + 6 = 2, e −9 − (−2) = −9 + 2 = −7.

A subtração de números naturais continua fazendo a conta por baixo, e o guia de subtração com reserva cobre essa camada.

As regras dos números negativos numa tabela

O jogo de sinais dos números negativos cabe em cinco linhas: duas para a adição, uma para a subtração e duas para a multiplicação e a divisão. Cada linha traz a regra, um exemplo resolvido e o movimento correspondente na reta numérica.

Operação	Regra	Exemplo	Movimento na reta
Somar, sinais iguais	Some os módulos, mantenha o sinal	−2 + (−3) = −5	Parta de −2, ande 3 para a esquerda
Somar, sinais diferentes	Subtraia os módulos, fique com o sinal do número mais longe do 0	−7 + 4 = −3	Parta de −7, ande 4 para a direita
Subtrair um negativo	Some o oposto	−4 − (−6) = 2	Parta de −4, ande 6 para a direita
Multiplicar ou dividir, sinais iguais	A resposta é positiva	(−3) × (−4) = 12	Espelho de 3 saltos de 4 para a esquerda
Multiplicar ou dividir, sinais diferentes	A resposta é negativa	−12 ÷ 3 = −4	3 saltos iguais do 0 até −12

Multiplicar números negativos leva dois movimentos: multiplique os módulos e depois escolha o sinal. Sinais iguais dão produto positivo e sinais diferentes dão produto negativo, então 3 × (−4) = −12 e (−3) × (−4) = 12.

O OpenStax põe a divisão sob a mesma regra: a divisão de números com sinal segue as mesmas regras da multiplicação. Então −12 ÷ 3 = −4, 12 ÷ (−3) = −4 e −12 ÷ (−3) = 4.

Com mais de dois fatores, conte os sinais de menos. Uma quantidade par dá resposta positiva e uma quantidade ímpar dá resposta negativa, então (−1) × (−2) × (−3) = −6.

Uma grade dois por dois com as regras de sinais da multiplicação: mais vezes mais dá mais, com 3 × 4 = 12, mais vezes menos dá menos, com 3 × (−4) = −12, menos vezes mais dá menos, com (−3) × 4 = −12, e menos vezes menos dá mais, com (−3) × (−4) = 12.

Por que menos vezes menos dá mais

Menos vezes menos dá mais porque o padrão da multiplicação precisa continuar depois do zero. Escreva a tabuada do −3 com o segundo fator caindo 1 a cada linha:

−3 × 2 = −6
−3 × 1 = −3
−3 × 0 = 0
−3 × (−1) = 3
−3 × (−2) = 6

Cada resposta sobe 3 enquanto o segundo fator cai 1, então a linha depois do 0 precisa ser 3. Qualquer outra resposta quebraria um padrão que vale em todas as outras linhas.

O padrão 7.NS.A.2a dá o motivo formal: a multiplicação se estende aos negativos exigindo que as operações continuem a respeitar as suas propriedades, em especial a distributiva, o que leva a produtos como (−1)(−1) = 1. Em símbolos, 0 = −1 × (1 + (−1)) = −1 + (−1)(−1), então (−1)(−1) precisa valer 1.

A mesma cadeia de regras está por baixo das expressões numéricas, e o guia de ordem das operações mostra onde os sinais entram entre parênteses, potências e produtos.

Números negativos no dia a dia

Os números negativos aparecem onde uma quantidade pode cair abaixo de um ponto de partida. Temperatura, elevador, nível do mar e dinheiro são os quatro mais comuns.

Temperatura: Se a manhã marca −5 °C e a tarde marca 12 °C, a subida é 12 − (−5) = 12 + 5 = 17 graus.
Elevador: Os andares abaixo do térreo costumam ser −1 e −2 no painel. Do 3º andar até o −2 são 3 − (−2) = 5 andares.
Dinheiro: Um saldo de −R$ 30 seguido de um depósito de R$ 50 dá −30 + 50 = R$ 20.
Nível do mar: Um mergulhador a −40 m que sobe 15 m termina em −40 + 15 = −25 m.

O currículo nacional da Inglaterra usa os mesmos contextos: no Year 6, o aluno usa números negativos em contexto e calcula intervalos que passam pelo 0, e as orientações citam a temperatura como modelo.

Distância entre dois números

A distância entre dois números na reta numérica é o módulo da diferença entre eles. O padrão 7.NS.A.1c pede mostrar que a distância entre dois números racionais na reta é o valor absoluto da diferença. De −5 a 12 isso dá |12 − (−5)| = 17, os mesmos 17 graus do termômetro.

Como saber se os números negativos foram entendidos

Cinco perguntas curtas mostram se uma criança ou um adulto sabe trabalhar com números negativos. Peça o raciocínio, além da resposta.

Ordem: Qual é maior, −8 ou −3? A resposta é −3, porque fica à direita de −8.
Adição: Quanto é −6 + 4? A resposta é −2.
Subtrair um negativo: Quanto é 7 − (−5)? A resposta é 12, de 7 + 5.
Jogo de sinais: Quanto são (−6) × (−5) e 24 ÷ (−8)? As respostas são 30 e −3.
Contexto: A temperatura cai de 4 °C para −9 °C. Quanto ela caiu? A resposta é 4 − (−9) = 13 graus.

Um teste de dois minutos

Um teste de dois minutos com as cinco perguntas, em ordem misturada, diz mais do que uma folha de um tipo só. Quem acerta a adição mas escreve 2 para 7 − (−5) precisa do passo "somar o oposto", e quem põe −8 acima de −3 precisa voltar à reta numérica.

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Erros comuns com números negativos

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas com números negativos, e cada um tem um conserto curto.

Usar "menos com menos dá mais" em tudo: −2 + (−3) é −5, porque somar um negativo leva para a esquerda. A regra do produto positivo vale só para a multiplicação e a divisão.
Ordenar pelos algarismos: −8 é menor que −3, mesmo que 8 seja maior que 3. Imagine a reta numérica e escolha o número mais à direita.
Tirar os parênteses: 5 − (−3) escrito como 5 − 3 dá 2 em vez de 8. Mantenha os parênteses até reescrever a conta como adição.
Perder o sinal numa conta longa: Em −4 × 3 + 10, o produto é −12, então a resposta é −12 + 10 = −2. Circule cada sinal antes de calcular.

Caso especial: −3² e (−3)²

Um expoente vale só para o que está logo abaixo dele, então −3² e (−3)² dão respostas diferentes. −3² quer dizer −(3 × 3) = −9, enquanto (−3)² quer dizer (−3) × (−3) = 9. O guia de potenciação cobre a regra e os expoentes negativos, que são outra ideia.

Sua lista de conferência dos números negativos e os próximos passos

Desenhe: esboce uma reta numérica antes de calcular.
Ordene: o número mais à direita é o maior, então −3 > −8.
Subtraia: reescreva p − q como p + (−q) antes de andar.
Some: sinais iguais somam e mantêm o sinal; sinais diferentes subtraem e ficam com o sinal do número mais longe do 0.
Multiplique e divida: sinais iguais dão resposta positiva, sinais diferentes dão negativa.
Potências: atenção aos parênteses em −3² e (−3)².

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