Was sind Potenzen, und wie funktionieren die Potenzgesetze?

Eine Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für das wiederholte Multiplizieren derselben Zahl: Der hochgestellte Exponent sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt, also 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Daraus folgen die Potenzgesetze: Bei gleicher Basis werden Exponenten beim Multiplizieren addiert, beim Dividieren subtrahiert und beim Potenzieren einer Potenz multipliziert.

Was ist ein Exponent?

Der Exponent ist die kleine hochgestellte Zahl hinter der Basis und sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. In 10³ ist 10 die Basis und 3 der Exponent, also 10³ = 10 · 10 · 10 = 1.000. Man liest das als „10 hoch 3“, und der ganze Ausdruck heißt Potenz.

Was bedeutet ein negativer Exponent?

Ein negativer Exponent bedeutet 1 geteilt durch dieselbe Potenz mit positivem Exponenten. Also ist 2⁻³ = 1⁄2³ = 1⁄8 und 10⁻² = 1⁄100 = 0,01. Bei positiver Basis bleibt das Ergebnis positiv, denn das Minuszeichen im Exponenten steht für einen Kehrwert und nicht für eine negative Zahl.

Warum ist jede Zahl hoch 0 gleich 1?

Jede Zahl außer 0 hoch 0 ergibt 1, weil jeder Schritt nach unten im Exponenten einmal durch die Basis teilt. Bei der Basis 2 läuft die Reihe 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, und eine weitere Division durch 2 ergibt 2⁰ = 1. Das Divisionsgesetz bestätigt das: 5⁴ : 5⁴ = 5⁰, und jede Zahl außer 0 geteilt durch sich selbst ist 1.

Werden Exponenten beim Multiplizieren addiert?

Ja, wenn Sie zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, also 3² · 3³ = 3⁵ = 243. Bei verschiedenen Basen gilt das nicht: 2³ · 3² ist 8 · 9 = 72, und die Exponenten lassen sich nicht zusammenfassen. Falsch ist das Addieren auch beim Potenzieren einer Potenz, denn (2³)² = 2⁶, dort werden die Exponenten multipliziert.

Wie tippt man eine Hochzahl?

Taschenrechner, Tabellenkalkulation und reiner Text schreiben den Exponenten mit dem Zirkumflex, also bedeutet 2^5 dasselbe wie 2⁵. In Excel oder Google Tabellen liefern =2^5 und =POTENZ(2;5) beide 32. In einem Textprogramm tippen Sie die Zahl und formatieren den Exponenten als hochgestellt.

Potenzen und Potenzgesetze einfach erklärt

In den Hausaufgaben Ihres Kindes steht 2⁵, und als Lösung steht 10 auf dem Blatt. Potenzen wirken wie ein kleines Detail, eine Zahl, die klein und weit oben steht, und doch macht dieses Detail aus 10 eine 32. Unter allen Potenzgesetzen liegt eine einzige Idee, und sobald sie sitzt, sind die Regeln keine Liste zum Auswendiglernen mehr.

Was ist eine Potenz?

Der Exponent ist die kleine hochgestellte Zahl, die sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. In 2⁵ ist 2 die Basis und 5 der Exponent, also 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Der ganze Ausdruck heißt Potenz, und man liest ihn „2 hoch 5“.

Das Lehrbuch Prealgebra von OpenStax fasst es in einem Satz: Der Exponent sagt, „wie oft wir die Basis a als Faktor verwenden“. Wiederholtes Multiplizieren ist für Potenzen, was wiederholtes Addieren für das Malnehmen ist: 2 · 5 addiert fünf Zweien, 2⁵ multipliziert fünf Zweien.

Zweierpotenzen wachsen durch Verdoppeln. Jeder Schritt multipliziert mit einer weiteren 2, also läuft die Kette 2, 4, 8, 16, 32, und zehn Schritte erreichen 2¹⁰ = 1.024.

Eine Verdopplungskette aus Bausteinrastern zeigt 2 hoch 1 bis 2 hoch 5 als 2, 4, 8, 16 und 32 Steine, darüber das ganze Produkt 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 und der Hinweis, dass 2 hoch 5 nicht 2 × 5 = 10 ist.

Quadrat und Kubik: woher die Namen kommen

Die Exponenten 2 und 3 haben eigene Namen, weil sie Formen beschreiben. Ein Quadrat mit Seitenlänge 4 enthält 4 · 4 = 16 Einheitsquadrate, deshalb heißt 4² auch „4 zum Quadrat“. Ein Würfel mit Kantenlänge 3 enthält 3 · 3 · 3 = 27 Einheitswürfel, deshalb heißt 3³ auch „3 hoch 3“ oder die dritte Potenz von 3.

In Deutschland gehören Potenzen meist in die 5. Klasse. Der bayerische LehrplanPLUS Mathematik für die 5. Jahrgangsstufe am Gymnasium verlangt, dass Kinder „die Werte von Potenzen mit natürlichen Exponenten“ berechnen und „über ein automatisiertes Wissen der Quadratzahlen bis 400“ verfügen; der Lehrplan unterscheidet sich je nach Bundesland. Das Spiel zu den Quadratzahlen übt die ersten zwölf Quadratzahlen, bis 7² = 49 und 12² = 144 ohne Nachzählen kommen.

Gratis im Browser spielenQuadratzahlenKlasse 4–6

Wozu Potenzen gut sind: Zehnerpotenzen und Stellenwert

In der Schule tauchen Potenzen zuerst als Zehnerpotenzen auf, weil sie den Stellenwert beschreiben. Jede Stelle einer Zahl ist 10-mal so viel wert wie die Stelle rechts von ihr, also sind die Stellen 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1.000 und 10⁶ = 1.000.000.

Der Common-Core-Standard 5.NBT.A.2 verlangt in den USA von Fünftklässlern, „Muster in der Anzahl der Nullen des Produkts beim Multiplizieren mit Zehnerpotenzen zu erklären“. Der Exponent zählt die Nullen: 4 · 10³ = 4.000 und 3,7 · 10² = 370, wobei das Komma zwei Stellen nach rechts rückt.

Der Leitfaden zum Stellenwert für Eltern erklärt die Spalten hinter diesem Muster. Potenzen stecken auch in der Primfaktorzerlegung, wo 360 als 2³ · 3² · 5 geschrieben wird, wie der Beitrag zu den Primzahlen zeigt.

Potenzen in der Rechenreihenfolge

Potenzen kommen in der Rechenreihenfolge an zweiter Stelle: nach den Klammern und vor Punkt- und Strichrechnung, kurz „Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich“. Der Common-Core-Standard 6.EE.A.1 verlangt in den USA, Terme mit natürlichen Exponenten aufzustellen und zu berechnen, und Standard 6.EE.A.2c nennt die übliche Reihenfolge.

Also ist 3 + 2² · 5 = 3 + 4 · 5 = 23, weil die Potenz zuerst dran ist. Klammern ändern das: (3 + 2)² = 5² = 25. Die ganze Reihenfolge steht im Leitfaden zu Punkt vor Strich und der Rechenreihenfolge.

Wie vereinfacht man einen Potenzterm Schritt für Schritt?

Ein Potenzterm wird in fester Reihenfolge vereinfacht: Basen prüfen, Exponenten mit dem passenden Gesetz zusammenfassen, dann ausrechnen. Als Rechenbeispiel dient 2³ · 2⁴ : 2⁵.

Prüfen, ob die Basen gleich sind. Alle drei Potenzen haben die Basis 2, also gelten die Gesetze. Bei verschiedenen Basen wie 2³ · 3² rechnen Sie jede Potenz einzeln aus: 8 · 9 = 72.
Beim Multiplizieren Exponenten addieren. 2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷, denn drei Zweien mal vier Zweien ergeben sieben Zweien.
Beim Dividieren Exponenten subtrahieren. 2⁷ : 2⁵ = 2⁷⁻⁵ = 2², denn fünf der sieben Zweien kürzen sich weg.
Die Potenz ausrechnen. 2² = 2 · 2 = 4.
Durch Ausschreiben prüfen. 2³ · 2⁴ = 8 · 16 = 128, und 128 : 32 = 4. Beide Wege stimmen überein.

Schritt 5 ist die Gewohnheit, die sich lohnt. Ein Gesetz, das etwas anderes liefert als der lange Weg, wurde falsch angewendet.

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Wo die Gesetze nicht mehr gelten

Die Potenzgesetze fassen nur Potenzen mit gleicher Basis zusammen, die multipliziert oder dividiert werden. Für Summen leisten sie nichts: 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, und das ist nicht 2⁷ = 128. Eine Summe in einer Potenz lässt sich auch nicht aufteilen, also ist (3 + 4)² = 7² = 49, während 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Ein Produkt in einer Potenz lässt sich dagegen aufteilen. (2 · 5)³ = 10³ = 1.000 und 2³ · 5³ = 8 · 125 = 1.000, denn Faktoren lassen sich umgruppieren, Summanden in einer Potenz nicht.

Warum jede Zahl hoch 0 gleich 1 ist

Jede Zahl außer 0 hoch 0 ergibt 1, und ein Muster zeigt, warum. Schreiben Sie die Zweierpotenzen von oben nach unten: 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Jeder Schritt nach unten teilt durch 2, also ergibt der nächste Schritt 2 : 2 = 1, und das ist 2⁰.

Das Divisionsgesetz kommt zum selben Ergebnis. 5⁴ : 5⁴ = 5⁴⁻⁴ = 5⁰, und jede Zahl außer 0 geteilt durch sich selbst ist 1. OpenStax legt fest: Ist a eine Zahl ungleich null, dann gilt a⁰ = 1.

Das Halbierungsmuster der Zweierpotenzen: 2 hoch 4 ist 16, dann 8, 4, 2, dann ist 2 hoch 0 gleich 1, 2 hoch minus 1 ein Halb und 2 hoch minus 2 ein Viertel, mit einem Pfeil „durch 2“ zwischen jeder Karte.

Negative Exponenten: ein Blick voraus

Negative Exponenten setzen dasselbe Muster unter null fort. Eine weitere Division durch 2 ergibt 2⁻¹ = 1⁄2, die nächste 2⁻² = 1⁄4, also steht ein negativer Exponent für einen Kehrwert. Allgemein ist 2⁻³ = 1⁄2³ = 1⁄8 und 10⁻² = 1⁄100 = 0,01.

In Bayern kommt das schon in der 6. Klasse: Der LehrplanPLUS für die 6. Jahrgangsstufe am Gymnasium verlangt, dass Kinder „Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten als Schreibweise für Brüche mit Zähler 1“ deuten. Der Common-Core-Standard 8.EE.A.1 setzt die Regel in den USA erst in der 8. Klasse an, mit dem Beispiel 3² · 3⁻⁵ = 3⁻³ = 1⁄3³ = 1⁄27. Wer das Muster jetzt sieht, erkennt die Regel später wieder.

Die Potenzgesetze im Vergleich

Die Potenzgesetze sind fünf Regeln, und jede ist eine Abkürzung für das ausgeschriebene wiederholte Multiplizieren. Die Tabelle stellt jedes Gesetz neben ein Rechenbeispiel und die falsche Antwort, die am häufigsten auf dem Blatt steht.

Gesetz	Regel	Rechenbeispiel	Häufige falsche Antwort
Multiplizieren bei gleicher Basis	aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	3² · 3³ = 3⁵ = 243	3⁶ = 729 (Exponenten multipliziert)
Dividieren bei gleicher Basis	aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	5⁶ : 5⁴ = 5² = 25	1² = 1 (Basen dividiert)
Potenz einer Potenz	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	(2³)² = 2⁶ = 64	2⁵ = 32 (Exponenten addiert)
Exponent null	a⁰ = 1, a ≠ 0	7⁰ = 1	0
Negativer Exponent	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³ = 1/8	−8

Die Potenzregel bei OpenStax sagt es in Worten: Um eine Potenz zu potenzieren, multipliziert man die Exponenten. Addiert wird beim Multiplizieren zweier Potenzen, und die Verwechslung dieser beiden Gesetze erklärt zwei der fünf falschen Antworten in der Tabelle.

Ein vergessenes Gesetz neu herleiten

Ein vergessenes Potenzgesetz lässt sich in unter einer Minute neu herleiten, indem man ein kleines Beispiel ausschreibt. Für (2³)² schreiben Sie 2³ zweimal: (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2). Das sind sechs Zweien, also werden die Exponenten multipliziert, 3 · 2 = 6.

Für 2³ · 2² schreiben Sie (2 · 2 · 2) · (2 · 2). Das sind fünf Zweien, also werden die Exponenten addiert, 3 + 2 = 5. Kleine Basen und kleine Exponenten halten die Probe kurz, und das Verfahren klappt für jedes Gesetz der Tabelle.

So prüfen Sie, ob Potenzen sitzen

Fünf Signale zeigen, ob Potenzen für Ihr Kind oder für Sie Sinn ergeben, und jedes dauert unter einer Minute.

Die Bedeutung, laut gesagt: Fragen Sie, was 4³ bedeutet. „4 · 4 · 4, also 64“ ist die Antwort; „4 · 3“ nicht.
Zehnerpotenzen auf einen Blick: Fragen Sie nach 10⁴ und 6 · 10². Die Antworten sind 10.000 und 600.
Die Rechenreihenfolge: Geben Sie 2 · 3². Die Antwort ist 18, weil 3² = 9 zuerst kommt; 36 heißt, die Multiplikation kam zuerst.
Ein Gesetz mit Probe: Geben Sie 2⁴ · 2³. Zur Antwort 2⁷ = 128 gehört die Probe 16 · 8 = 128.
Hoch 0 mit Begründung: Fragen Sie, warum 9⁰ = 1 ist. Das Muster oder das Divisionsgesetz ist eine Begründung; „das ist halt die Regel“ ist eine Erinnerung.

Ein Fünf-Minuten-Test

Ein Fünf-Minuten-Test mischt je eine Aufgabe jeder Art: eine Potenz zum Ausrechnen, eine Zehnerpotenz, eine Zeile zur Rechenreihenfolge, ein Gesetz und einmal hoch 0. Wiederholen Sie ihn zwei Wochen lang zweimal pro Woche mit neuen Zahlen.

Bewerten Sie die Begründung mit, nicht nur das Ergebnis. Ein Kind, das 2⁵ = 32 schreibt und die fünf Zweien zeigen kann, hat die Idee; ein Kind, das 32 schreibt, weil es vertraut aussieht, kann einen Monat später wieder bei 10 landen. Die Seite mit dem Mathespiel für die 6. Klasse bündelt Übungen für die Klassenstufe, in der Potenzen fest im Stoff stehen.

Typische Fehler bei Potenzen und Sonderfälle

Fünf Fehler verursachen die meisten falschen Antworten bei Potenzen, und jeder hat eine Korrektur in einer Zeile.

2³ = 6: Der Exponent wurde als Faktor benutzt. Schreiben Sie die Faktoren aus, 2 · 2 · 2 = 8, bis die Bedeutung sitzt.
−3² = 9: Ohne Klammern gilt der Exponent nur für die 3, also −3² = −(3 · 3) = −9, während (−3)² = (−3) · (−3) = 9.
2³ · 3² = 6⁵: Die Basen wurden zusammengefasst. Verschiedene Basen werden einzeln ausgerechnet, also ist die Antwort 8 · 9 = 72, während 6⁵ = 7.776.
(a + b)² = a² + b²: Eine Summe lässt sich nicht aufteilen. Prüfen Sie (3 + 4)² = 49 gegen 3² + 4² = 25.
2⁻³ = −8: Ein negativer Exponent liefert einen Kehrwert, also 2⁻³ = 1⁄8, und das ist positiv.

Drei Sonderfälle sollte man kennen. Die 1 hoch jede Zahl bleibt 1, also 1¹⁰⁰ = 1, und 0 hoch jede positive Zahl bleibt 0, also 0⁵ = 0. Schulbücher lassen 0⁰ weg, deshalb steht bei der Regel für hoch 0 der Zusatz „a ≠ 0“.

Ihre Checkliste zu Potenzen

Die Bedeutung sagen: Der Exponent zählt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt.
Nullen zählen: 10ⁿ ist eine 1 mit n Nullen.
Die Reihenfolge halten: Potenzen nach den Klammern und vor Punkt- und Strichrechnung.
Erst die Basen vergleichen: Die Gesetze fürs Multiplizieren und Dividieren brauchen dieselbe Basis.
Den langen Weg gehen: ein kleines Beispiel ausschreiben, wenn ein Gesetz unsicher wirkt.

Erwachsene, die wieder einsteigen, treffen Potenzen in der wissenschaftlichen Schreibweise und beim Zinseszins wieder, und der Leitfaden, wie Sie als Erwachsener besser in Mathe werden, beschreibt die Routine, die Rechensicherheit zurückbringt. Die Seite mit dem Mathespiel für Erwachsene bündelt Übungen für erwachsene Lernende.

MathIt ist eine kostenlose App für iOS und Android mit rund 90 Spieltypen und angepasster Schwierigkeit, sodass Übungen zu Quadratzahlen und zur Rechenreihenfolge erst schwerer werden, wenn die leichteren Aufgaben sitzen. 22 der Spiele laufen kostenlos im Browser, ohne Anmeldung.