Números negativos explicados: cómo sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos

Un alumno de 1.º de ESO (12 a 13 años) mira 5 − (−3) y escribe 2, el termómetro marca −5 °C y la app del banco muestra un saldo de −30 €. Detrás de los tres están los números negativos, y las reglas para sumar, restar y multiplicar números negativos salen de una sola imagen: la recta numérica. Cuando esa imagen está clara, restar números negativos, la regla de los signos y la clásica pregunta de «negativo menos negativo» pasan a ser el mismo movimiento.

¿Qué son los números negativos?

Un número negativo es un número menor que cero, escrito con un signo menos delante, como −1, −7 o −3/4. En una recta numérica horizontal, los números positivos están a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda, así que cada número negativo es menor que 0 y menor que cualquier número positivo.

Los números negativos describen cantidades por debajo de un punto de partida. OpenStax Prealgebra usa el frío («grados bajo cero») y la altitud, donde la orilla del mar Muerto, a más de 400 m por debajo del nivel del mar, tiene una altitud negativa. Un saldo de −30 € en el banco significa que debes 30 €.

En España, el currículo de Educación Secundaria Obligatoria de la LOMLOE (Real Decreto 217/2022) incluye en el bloque de 1.º a 3.º de ESO (12 a 15 años) los «números enteros, fraccionarios, decimales y raíces en la expresión de cantidades en contextos de la vida cotidiana», su representación «incluida la recta numérica» y las «operaciones con números enteros»; la primaria trabaja solo con números naturales, fracciones y decimales. En Estados Unidos, el estándar Common Core 6.NS.C.5 pide en sexto grado (11 a 12 años) «entender que los números positivos y negativos se usan juntos para describir cantidades con sentidos o valores opuestos», y pone como ejemplos la temperatura, la altitud, los ingresos y los cargos.

Opuestos y valor absoluto

El opuesto de un número es el número que está a la misma distancia del 0 al otro lado, así que el opuesto de 4 es −4 y el opuesto de −4 es 4. El estándar 6.NS.C.6a lo dice con un ejemplo: «el opuesto del opuesto de un número es el propio número, por ejemplo −(−3) = 3, y el 0 es su propio opuesto».

El valor absoluto de un número es su distancia al 0, y se escribe entre dos barras. Tanto |−7| como |7| valen 7, porque los dos están a 7 pasos del 0. El estándar 6.NS.C.7c usa una deuda: «para un saldo de −30 dólares, escribe |−30| = 30 para describir el tamaño de la deuda en dólares».

El orden sigue la recta. Un número más a la derecha siempre es mayor, así que −3 > −8 aunque 8 sea mayor que 3. El estándar 6.NS.C.7b lo lee así: «−3 °C es más cálido que −7 °C».

Cómo sumar y restar números negativos paso a paso

Sumar y restar números negativos significa moverse por la recta numérica: sumar un número positivo te mueve a la derecha, sumar un número negativo te mueve a la izquierda, y restar un número te mueve al revés que sumarlo. El estándar 7.NS.A.1c le pone nombre a la regla: «entender la resta de números racionales como sumar el opuesto, p − q = p + (−q)».

1. Sitúa el primer número en la recta numérica. Para −4 + 6, pon el dedo en −4.
2. Convierte cada resta en la suma del opuesto. 5 − (−3) pasa a 5 + 3, y 2 − 7 pasa a 2 + (−7).
3. Muévete a la derecha con un número positivo y a la izquierda con uno negativo. Desde −4, sumar 6 son 6 pasos a la derecha, y llegas a 2.
4. Usa los valores absolutos cuando los números sean grandes. Con el mismo signo, suma los valores absolutos y deja el signo: −20 + (−15) = −35. Con signos distintos, resta el valor absoluto menor del mayor y deja el signo del número más lejano al 0: −20 + 15 = −5.
5. Comprueba el resultado con una estimación rápida. Si empiezas por debajo de cero y sumas un número positivo más pequeño, el resultado tiene que seguir por debajo de cero.

Restar un negativo: la parte que más se falla

Restar un número negativo es el paso que más alumnos fallan, porque «quitar» suena a que el resultado tiene que salir más pequeño. Para 5 − (−3), reescríbelo como 5 + 3, y el resultado es 8, que es mayor que 5.

Un error del banco deja ver el motivo. Si tu saldo es de 5 € y el banco te quita un cargo de 3 € que te hizo por error, quitar −3 te deja con 8 €. Negativo menos negativo funciona igual: −4 − (−6) = −4 + 6 = 2, y −9 − (−2) = −9 + 2 = −7.

Debajo sigue estando la resta de números naturales, y la guía sobre la resta con llevadas cubre esa capa.

Las reglas de los números negativos en una tabla

Las reglas de los signos caben en cinco filas: dos para la suma, una para la resta y dos para la multiplicación y la división. Cada fila da la regla, un ejemplo resuelto y el movimiento correspondiente en la recta numérica.

Multiplicar números negativos lleva dos pasos: multiplica los valores absolutos y después elige el signo. Signos iguales dan un producto positivo y signos distintos dan un producto negativo, así que 3 × (−4) = −12 y (−3) × (−4) = 12. Es la regla de los signos que se aprende en clase: más por más, más; más por menos, menos; menos por más, menos; menos por menos, más.

OpenStax pone la división bajo la misma regla: «La división de números con signo sigue las mismas reglas que la multiplicación». Así que −12 ÷ 3 = −4, 12 ÷ (−3) = −4 y −12 ÷ (−3) = 4.

Con más de dos factores, cuenta los signos menos. Un número par de signos da un resultado positivo y un número impar da uno negativo, así que (−1) × (−2) × (−3) = −6.

Por qué menos por menos da más

Menos por menos da más porque el patrón de la multiplicación tiene que seguir después del cero. Escribe la tabla del −3 bajando el segundo factor de 1 en 1 en cada línea:

• −3 × 2 = −6
• −3 × 1 = −3
• −3 × 0 = 0
• −3 × (−1) = 3
• −3 × (−2) = 6

Cada resultado sube 3 cuando el segundo factor baja 1, así que la línea después del 0 tiene que ser 3. Cualquier otro resultado rompería un patrón que se cumple en todas las demás líneas.

El estándar 7.NS.A.2a da el motivo formal: la multiplicación se extiende a los números negativos «exigiendo que las operaciones sigan cumpliendo sus propiedades, en especial la propiedad distributiva, lo que lleva a productos como (−1)(−1) = 1». En símbolos, 0 = −1 × (1 + (−1)) = −1 + (−1)(−1), así que (−1)(−1) tiene que valer 1.

La misma cadena de reglas está debajo de la jerarquía de las operaciones, y la guía sobre el orden de las operaciones muestra dónde encajan los signos entre paréntesis, potencias y productos.

Los números negativos en la vida diaria

Los números negativos aparecen siempre que una cantidad puede bajar de un punto de partida. La temperatura, los ascensores, el nivel del mar y el dinero son los cuatro casos más habituales.

• Temperatura: Si por la mañana marca −5 °C y por la tarde 12 °C, la subida es 12 − (−5) = 12 + 5 = 17 grados.
• Ascensores: Las plantas por debajo de la planta baja suelen numerarse −1 y −2. De la planta 3 a la −2 hay 3 − (−2) = 5 plantas.
• Dinero: Un saldo de −30 € seguido de un ingreso de 50 € da −30 + 50 = 20 €.
• Nivel del mar: Una buceadora a −40 m que sube 15 m acaba a −40 + 15 = −25 m.

El currículo nacional de Inglaterra usa los mismos contextos: en Year 6 (10 a 11 años) el alumnado «usa números negativos en contexto y calcula intervalos que pasan por el 0», y sus orientaciones ponen la temperatura como modelo.

Distancia entre dos números

La distancia entre dos números en la recta numérica es el valor absoluto de su diferencia. El estándar 7.NS.A.1c pide «mostrar que la distancia entre dos números racionales en la recta numérica es el valor absoluto de su diferencia». De −5 a 12 es |12 − (−5)| = 17, los mismos 17 grados del termómetro.

Cómo comprobar que los números negativos se han entendido

Cinco preguntas cortas muestran si un niño o un adulto sabe trabajar con números negativos. Pide el razonamiento además del resultado.

• Ordenar: ¿Cuál es mayor, −8 o −3? La respuesta es −3, porque está a la derecha de −8.
• Sumar: ¿Cuánto es −6 + 4? La respuesta es −2.
• Restar un negativo: ¿Cuánto es 7 − (−5)? La respuesta es 12, de 7 + 5.
• Regla de los signos: ¿Cuánto son (−6) × (−5) y 24 ÷ (−8)? Las respuestas son 30 y −3.
• Contexto: La temperatura baja de 4 °C a −9 °C. ¿Cuánto ha bajado? La respuesta es 4 − (−9) = 13 grados.

Una prueba de dos minutos

Una prueba de dos minutos con las cinco preguntas, mezcladas, dice más que una ficha de un solo tipo. Un alumno que acierta la suma pero escribe 2 para 7 − (−5) necesita el paso de «sumar el opuesto», y un alumno que pone −8 por encima de −3 necesita volver a la recta numérica.

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Errores frecuentes con los números negativos

Cuatro errores explican la mayoría de los fallos con números negativos, y cada uno tiene un remedio corto.

• Aplicar de más «menos por menos da más»: −2 + (−3) es −5, porque sumar un negativo te mueve a la izquierda. La regla del producto positivo es solo de la multiplicación y la división.
• Ordenar por las cifras: −8 es menor que −3, aunque 8 sea mayor que 3. Imagina la recta numérica y elige el número que está más a la derecha.
• Quitar los paréntesis: Escribir 5 − (−3) como 5 − 3 da 2 en lugar de 8. Deja los paréntesis hasta que reescribas el problema como una suma.
• Perder el signo en un problema largo: En −4 × 3 + 10, el producto es −12, así que el resultado es −12 + 10 = −2. Rodea cada signo antes de calcular.

Caso límite: −3² y (−3)²

Un exponente afecta solo a lo que tiene justo debajo, así que −3² y (−3)² dan resultados distintos. −3² significa −(3 × 3) = −9, mientras que (−3)² significa (−3) × (−3) = 9. La guía sobre las potencias explica la regla y los exponentes negativos, que son otra idea distinta.

Tu lista de comprobación de números negativos y siguientes pasos

• Dibuja: haz una recta numérica antes de calcular.
• Ordena: el número más a la derecha es el mayor, así que −3 > −8.
• Resta: reescribe p − q como p + (−q) antes de moverte.
• Suma: con el mismo signo, suma y deja el signo; con signos distintos, resta y deja el signo del número más lejano al 0.
• Multiplica y divide: signos iguales dan positivo, signos distintos dan negativo.
• Potencias: fíjate en los paréntesis de −3² y (−3)².

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