Wie löst man eine Gleichung nach x auf?

Eine Gleichung löst man nach x auf, indem man x allein auf eine Seite bringt: Jede Rechenart wird in umgekehrter Reihenfolge rückgängig gemacht, immer auf beiden Seiten. Vereinfachen Sie jede Seite, bringen Sie alle x auf eine Seite, machen Sie Plus und Minus rückgängig, dann Mal und Geteilt. Probe durch Einsetzen: Bei 3x + 5 = 41 ist x = 12, denn 3 · 12 + 5 = 41.

Wie löst man Gleichungen mit zwei Schritten?

Eine Gleichung mit zwei Schritten wie 3x + 5 = 41 löst man, indem man die beiden Rechenarten in umgekehrter Reihenfolge rückgängig macht. Ziehen Sie zuerst auf beiden Seiten 5 ab, das ergibt 3x = 36, und teilen Sie dann beide Seiten durch 3, das ergibt x = 12. Probe durch Einsetzen: 3 · 12 + 5 = 36 + 5 = 41.

Wie löst man Gleichungen mit x auf beiden Seiten?

Eine Gleichung mit x auf beiden Seiten löst man, indem man zuerst alle x-Glieder auf eine Seite bringt. Bei 5x − 2 = 3x + 10 ziehen Sie auf beiden Seiten 3x ab und erhalten 2x − 2 = 10, addieren 2 und erhalten 2x = 12 und teilen durch 2, also x = 6. Beide Seiten ergeben dann 28.

Wie löst man Gleichungen mit Brüchen nach x auf?

Eine Gleichung, in der x durch eine Zahl geteilt wird, löst man, indem man beide Seiten mit dieser Zahl multipliziert. Bei x/4 = 9 multiplizieren Sie beide Seiten mit 4 und erhalten x = 36. Bei (2/3)x = 10 multiplizieren Sie beide Seiten mit dem Kehrwert 3/2 und erhalten x = 15, und zwei Drittel von 15 sind tatsächlich 10.

Wie macht man die Probe beim Auflösen nach x?

Die Probe macht man, indem man die Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzt und jede Seite einzeln ausrechnet. Ergeben beide Seiten dieselbe Zahl, stimmt die Lösung. Bei 2(x − 4) = 10 und x = 9 ergibt die linke Seite 2 · 5 = 10, und das passt zur rechten Seite.

Was bedeutet es, wenn x aus der Gleichung verschwindet?

Verschwindet x aus einer Gleichung, hat sie entweder keine Lösung oder unendlich viele. Bleibt eine falsche Aussage übrig, etwa 1 = 3 aus 2x + 1 = 2x + 3, passt keine Zahl. Bleibt eine wahre Aussage übrig, etwa 2 = 2 aus 2(x + 1) = 2x + 2, passt jede Zahl.

Gleichungen lösen: nach x auflösen mit Beispielen

Drei Konzertkarten plus 5 € Vorverkaufsgebühr kosteten zusammen 41 €, und Sie wollen wissen, was eine Karte gekostet hat. Dieser Satz ist die Gleichung 3x + 5 = 41, und wer nach x auflösen kann, macht daraus eine Rechnung in zwei Zeilen: die Gebühr abziehen, dann den Rest durch drei teilen, also kostete eine Karte 12 €. Dieselben Schritte lösen jede lineare Gleichung, die ein Kind in der 6. oder 7. Klasse nach Hause bringt, von Gleichungen mit einem oder zwei Schritten bis zu Gleichungen mit x auf beiden Seiten.

Was bedeutet „nach x auflösen“?

Nach x auflösen heißt, die Zahl zu finden, für die beide Seiten einer Gleichung gleich sind. Bei x + 7 = 15 ist die Lösung 8, denn 8 + 7 ergibt 15, und keine andere Zahl ergibt 15. OpenStax Prealgebra definiert eine Lösung als einen Wert der Variablen, der beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

Eine Balkenwaage ist das klarste Bild einer Gleichung. Die linke Schale trägt 3x + 2, die rechte Schale trägt 14, und die Waage ist im Gleichgewicht, weil beide Seiten gleich schwer sind. Jede Schachtel mit x versteckt dieselbe unbekannte Anzahl Klötze.

Eine Balkenwaage im Gleichgewicht mit drei Schachteln mit x und 2 Einzelklötzen in der linken Schale und 14 Einzelklötzen in der rechten Schale, also 3x + 2 = 14

Nehmen Sie aus jeder Schale 2 Klötze, und die Waage bleibt im Gleichgewicht: drei Schachteln wiegen so viel wie 12 Klötze. Teilen Sie beide Schalen in drei gleiche Gruppen, und eine Schachtel wiegt so viel wie 4 Klötze, also x = 4. Probe: 3 · 4 + 2 = 14.

Die zwei Aufgaben: rückgängig machen und das Gleichgewicht halten

Eine Gleichung zu lösen besteht aus zwei Aufgaben. Die erste ist, rückgängig zu machen, was mit x geschehen ist, und zwar in umgekehrter Reihenfolge. Bei 3x + 5 wurde x mit 3 multipliziert und dann 5 addiert, also nehmen Sie zuerst die 5 weg und dann die 3, und das ist Punkt vor Strich rückwärts.

Die zweite Aufgabe ist, das Gleichgewicht zu halten. OpenStax nennt es die Subtraktionseigenschaft der Gleichheit: Für alle Zahlen a, b und c gilt, wenn a = b, dann a − c = b − c. Dasselbe gilt für Addieren, Multiplizieren und Dividieren durch eine Zahl ungleich null, also tun Sie auf der einen Seite immer dasselbe wie auf der anderen. In Deutschland heißt ein solcher Schritt Äquivalenzumformung.

Nach x auflösen: Schritt für Schritt

Fünf Schritte lösen jede lineare Gleichung mit einer Variablen. Kurze Gleichungen überspringen einige davon, aber die Reihenfolge ändert sich nie.

Jede Seite vereinfachen. Lösen Sie Klammern auf und fassen Sie gleichartige Glieder auf jeder Seite einzeln zusammen, also wird 2(x − 4) zu 2x − 8.
Die x-Glieder auf eine Seite bringen. Addieren oder subtrahieren Sie ein x-Glied auf beiden Seiten, bis x nur noch auf einer Seite steht. OpenStax rät, x auf der Seite mit dem größeren Koeffizienten zu lassen, denn das macht die Rechnung meist leichter.
Plus und Minus rückgängig machen. Ziehen Sie eine Zahl, die zum x-Glied addiert wurde, auf beiden Seiten ab, oder addieren Sie eine abgezogene Zahl.
Mal und Geteilt rückgängig machen. Teilen Sie beide Seiten durch die Zahl vor dem x, oder multiplizieren Sie beide Seiten, wenn x durch etwas geteilt wird.
Probe durch Einsetzen. Setzen Sie Ihre Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein und rechnen Sie jede Seite aus. Stimmen beide überein, sind Sie fertig.

Hier ist die Aufgabe mit den Karten, mit markierten Schritten:

3x + 5 = 41 (nichts zu vereinfachen, und x steht schon auf einer Seite)
3x = 36 (Schritt 3: auf beiden Seiten 5 abziehen)
x = 12 (Schritt 4: beide Seiten durch 3 teilen)
Probe: 3 · 12 + 5 = 36 + 5 = 41

Eine Gleichung mit Klammern braucht Schritt 1. Bei 2(x − 4) = 10 lösen Sie die Klammer auf zu 2x − 8 = 10, addieren auf beiden Seiten 8 und erhalten 2x = 18, teilen durch 2 und erhalten x = 9. Probe: 2 · (9 − 4) = 2 · 5 = 10.

Sie können auch zuerst beide Seiten durch 2 teilen, das ergibt x − 4 = 5 und ebenfalls x = 9. Der IES-Praxisleitfaden für Algebralehrkräfte empfiehlt, den Schülern beizubringen, bewusst zwischen verschiedenen algebraischen Lösungswegen zu wählen, und der Vergleich dieser beiden Wege ist ein kleines Beispiel dafür.

Gratis im Browser spielenNach x auflösenKlasse 6+

Der häufigste Fehler

Die meisten falschen Antworten entstehen, wenn ein Schritt nur auf einer Seite ausgeführt wird. Wer bei 3x + 5 = 41 links 5 abzieht und die 41 stehen lässt, erhält 3x = 41 und x = 41 : 3, eine Lösung, die bei der Probe durchfällt. In deutschen Heften steht die Umformung deshalb meist rechts hinter einem senkrechten Strich, etwa „| − 5“, und sie gilt für beide Seiten.

Vorzeichenfehler sind die zweite Falle. Bei 5x − 2 = 3x + 10 gehört die −2 zur linken Seite, also addieren Sie auf beiden Seiten 2; wer stattdessen 2 abzieht, erhält 2x = 8 und x = 4, und die Probe zeigt links 18 gegen rechts 22.

Ein Schritt, zwei Schritte oder x auf beiden Seiten im Vergleich

Lineare Gleichungen kommen in drei üblichen Formen, und die Form verrät den ersten Schritt. Die Lösung in jeder Zeile der Tabelle wurde durch Einsetzen geprüft.

Art	Beispiel	Erster Schritt	Lösung
Ein Schritt, Addition	x + 7 = 15	Auf beiden Seiten 7 abziehen	x = 8
Ein Schritt, Multiplikation	4x = 28	Beide Seiten durch 4 teilen	x = 7
Zwei Schritte	3x + 5 = 41	5 abziehen, dann durch 3 teilen	x = 12
Zwei Schritte, mit Klammer	2(x − 4) = 10	Klammer auflösen oder beide Seiten durch 2 teilen	x = 9
x auf beiden Seiten	5x − 2 = 3x + 10	Auf beiden Seiten 3x abziehen	x = 6

Die Zeile mit x auf beiden Seiten vollständig: 5x − 2 = 3x + 10 wird zu 2x − 2 = 10, dann 2x = 12, dann x = 6. Die Probe ergibt 5 · 6 − 2 = 28 und 3 · 6 + 10 = 28.

Welche Art in welcher Klasse kommt

In Bayern beginnt das Gleichungslösen in der 5. Klasse ohne Umformungen. Der LehrplanPLUS für die 5. Klasse am Gymnasium verlangt, Gleichungen der Form a + x = b, x − a = b und a − x = b durch systematisches Probieren oder mit der Umkehraufgabe zu lösen, wie in der Grundschule angebahnt.

Die Äquivalenzumformungen folgen in der 7. Klasse: Der LehrplanPLUS für die 7. Klasse am Gymnasium verlangt, lineare Gleichungen durch gezielte Äquivalenzumformungen zu lösen, zu erklären, warum die Lösungsmenge dabei erhalten bleibt, und die Lösung zu überprüfen, zum Beispiel durch Einsetzen. In den USA verteilt sich dasselbe auf die 6. bis 8. Klasse, von x + p = q und px = q (6.EE.B.7) über px + q = r (7.EE.B.4a) bis zu Gleichungen mit x auf beiden Seiten (8.EE.C.7) in den Common Core State Standards for Mathematics.

Praktische Tipps zum Gleichungslösen

Jeden Schritt in eine eigene Zeile zu schreiben ist die nützlichste Gewohnheit. Halten Sie die Gleichheitszeichen untereinander und schreiben Sie die Umformung neben die Zeile, damit ein Fehler genau dort sichtbar wird, wo er passiert ist.

Die Lösungsleiter 3x + 5 = 41, dann 3x = 36 nach dem Abziehen von 5 auf beiden Seiten, dann x = 12 nach dem Teilen beider Seiten durch 3

Umkehrpaare: Addition hebt Subtraktion auf, Multiplikation hebt Division auf, und jedes Paar wirkt in beide Richtungen.
Negative Koeffizienten: Bei 7 − 2x = 13 ziehen Sie 7 ab und erhalten −2x = 6, teilen dann durch −2 und erhalten x = −3. Probe: 7 − 2 · (−3) = 7 + 6 = 13. Die Regeln für das Teilen durch eine negative Zahl stehen im Leitfaden zu negativen Zahlen.
Eine Lösung: Eine Gleichung mit nur einem x-Glied auf einer Seite hat genau eine Lösung, also bedeutet eine zweite „Lösung“ einen Fehler irgendwo.

Brüche und Aufgaben aus dem Alltag

Eine Gleichung, in der x durch eine Zahl geteilt wird, löst man durch Multiplizieren. Teilen sich vier Freunde eine Rechnung und jeder zahlt 9 €, ist die Rechnung x/4 = 9, und das Multiplizieren beider Seiten mit 4 ergibt x = 36 €. Solche Gleichungen liegen nah an Verhältnissen, die der Leitfaden zu Verhältnissen erklärt.

Erwachsene begegnen Gleichungen mit zwei Schritten im Alltag öfter, als sie merken. Ein Taxi kostet 3 € Grundgebühr plus 2 € pro Kilometer, und die Fahrt kostete 19 €: 2k + 3 = 19, also 2k = 16 und k = 8 Kilometer.

Ein Handyvertrag kostet 25 € im Monat plus 40 € Anschlussgebühr, und Sie haben insgesamt 190 € bezahlt: 25m + 40 = 190, also 25m = 150 und m = 6 Monate. Einen Satz in eine Gleichung zu übersetzen ist eine eigene Fähigkeit, und der Leitfaden zu Textaufgaben in Mathe zeigt, wie es geht.

So prüfen Sie Ihre Fortschritte beim Gleichungslösen

Fortschritte beim Gleichungslösen zeigen sich an fünf Signalen, die Sie in wenigen Minuten testen können, ob Sie als Eltern Hausaufgaben prüfen oder als Erwachsener Algebra neu lernen.

Einsetzen: Macht der Lernende bei jeder Lösung die Probe, ohne dass man es sagt? Der Common-Core-Standard 6.EE.B.5 verlangt, durch Einsetzen zu prüfen, ob eine Zahl eine Gleichung oder Ungleichung wahr macht.
Erster Schritt: Kann er bei 6x + 4 = 40 „4 abziehen“ sagen, bevor er etwas schreibt? Die Lösung ist x = 6.
Beide Seiten: Zeigt jede Zeile dieselbe Umformung auf beiden Seiten?
Klammern: Kann er 3(x + 2) = 21 auf zwei Wegen lösen? Zuerst teilen ergibt x + 2 = 7, Klammer auflösen ergibt 3x + 6 = 21, und beide enden bei x = 5.
Vom Text zur Gleichung: Kann er „5 Hefte und ein Stift für 4 € kosten 29 €“ aufstellen und lösen? Die Gleichung ist 5h + 4 = 29, also h = 5 €.

Ein Fünf-Minuten-Test

Ein Fünf-Minuten-Test mit je einer Gleichung aus jeder Zeile der Tabelle zeigt, welche Art geübt werden muss. Wer die Zeilen mit einem Schritt löst, aber 5x − 2 = 3x + 10 verfehlt, braucht Schritt 2, das Sammeln der x auf einer Seite. Wer bei 4x = 28 hängen bleibt, braucht das Einmaleins rückwärts, und das Spiel zum fehlenden Faktor trainiert das schnell.

Gratis im Browser spielenFehlender FaktorKlasse 3–4

Typische Fehler und Sonderfälle

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten beim Auflösen nach x, und jeder hat eine schnelle Korrektur.

Nur das erste Glied ausmultiplizieren: 2(x − 4) ist 2x − 8, nicht 2x − 4. Zeichnen Sie einen Pfeil von der 2 zu jedem Glied in der Klammer.
Teilen vor dem Abziehen: Wer bei 3x + 5 = 41 zuerst teilt, muss jedes Glied teilen, auch die 5, und bekommt Brüche. Machen Sie zuerst Plus und Minus rückgängig.
Eine negative Lösung verwerfen: 4x + 20 = 8 ergibt 4x = −12 und x = −3. Eine negative Lösung ist in Ordnung, und die Probe 4 · (−3) + 20 = 8 bestätigt sie.
Beim Teilen ein Zeichen umdrehen: −3x = 15 ergibt x = −5, weil 15 : (−3) = −5. Das Umdrehen, an das Sie sich vielleicht erinnern, gehört zu Ungleichungen, nicht zu Gleichungen.

Wenn x verschwindet: keine Lösung oder unendlich viele

Manche Gleichungen verlieren ihr x ganz, und die Zeile, die übrig bleibt, verrät die Antwort. Der Common-Core-Standard 8.EE.C.7a verlangt zu zeigen, welcher Fall vorliegt, indem man die Gleichung schrittweise in einfachere Formen umwandelt, bis eine Gleichung der Form x = a, a = a oder a = b entsteht.

Bei 2x + 1 = 2x + 3 bleibt nach dem Abziehen von 2x auf beiden Seiten 1 = 3, und das ist falsch, also hat die Gleichung keine Lösung. Bei 2(x + 1) = 2x + 2 ergibt das Auflösen der Klammer 2x + 2 = 2x + 2, und nach dem Abziehen von 2x bleibt 2 = 2, was immer wahr ist, also ist jede Zahl eine Lösung.

Ihre Checkliste zum Auflösen nach x und die nächsten Schritte

Vereinfachen: Klammern auflösen und gleichartige Glieder auf jeder Seite zusammenfassen.
Sammeln: jedes x-Glied auf eine Seite bringen, am besten auf die mit dem größeren Koeffizienten.
Plus und Minus aufheben: auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder abziehen.
Mal und Geteilt aufheben: beide Seiten durch die Zahl vor dem x teilen oder mit ihr multiplizieren.
Probe: in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und beide Seiten vergleichen.
Sonderfälle: eine falsche Zeile wie 1 = 3 heißt keine Lösung, eine wahre Zeile wie 2 = 2 heißt unendlich viele.

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