Brüche multiplizieren: die Regel, das Flächenmodell und gemischte Zahlen

Drei Viertel des Blechkuchens sind noch übrig, und die Hausaufgabe Ihres Kindes in der 6. Klasse fragt, wie viel die Hälfte dieses Rests ist. Wer weiß, wie man Brüche multipliziert, löst die Frage in einer Zeile: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, dann kürzen. Brüche zu multiplizieren ist leichter, als sie zu addieren, weil man keinen gemeinsamen Nenner suchen muss, und dieselben drei Schritte gelten auch für ganze Zahlen und gemischte Zahlen.

Was bedeutet es, Brüche zu multiplizieren?

Brüche zu multiplizieren heißt, einen Bruchteil einer Menge zu finden, und das Malzeichen lässt sich als „von“ lesen. Die Aufgabe 1/2 · 3/4 fragt nach der Hälfte von drei Vierteln, und das Ergebnis ist 3/8.

Der Common-Core-Standard 5.NF.B.4 verlangt in den USA von Fünftklässlern, ihr Verständnis der Multiplikation zu erweitern, um einen Bruch oder eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren. Er fasst die Regel in einer Zeile zusammen: (a/b) · (c/d) = (a · c)/(b · d). In Bayern steht das Thema im LehrplanPLUS für die 6. Klasse am Gymnasium: Die Schülerinnen und Schüler berechnen dort Produkte und Quotienten von Brüchen, gemischten Zahlen und Dezimalbrüchen.

Warum das Ergebnis kleiner werden kann

Ein Produkt von Brüchen wird kleiner, wenn man mit einem Bruch kleiner als 1 multipliziert, weil man nur einen Teil der Menge nimmt. Standard 5.NF.B.5 verlangt, dass die Kinder erklären, warum das Multiplizieren einer Zahl mit einem Bruch kleiner als 1 ein Produkt ergibt, das kleiner ist als die Zahl selbst.

Ein Flächenmodell zeigt die Regel bei der Arbeit. Zeichnen Sie ein Quadrat, teilen Sie es in 3 Zeilen und 4 Spalten, schraffieren Sie 3 der 4 Spalten für 3/4 und 2 der 3 Zeilen für 2/3. Die Überschneidung bedeckt 2 · 3 = 6 der 3 · 4 = 12 kleinen Kästchen, also 2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2.

Brüche multiplizieren: Schritt für Schritt

Brüche multipliziert man in drei Schritten (Zähler multiplizieren, Nenner multiplizieren, kürzen) plus einem Vorbereitungsschritt für ganze Zahlen und gemischte Zahlen. Das Kapitel zum Multiplizieren von Brüchen in OpenStax Prealgebra sagt es genauso: Um Brüche zu multiplizieren, multipliziert man die Zähler und multipliziert die Nenner.

1. Jede Zahl als Bruch schreiben. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, also wird 4 zu 4/1, und eine gemischte Zahl wird ein unechter Bruch, also wird 2 1/2 zu 5/2.
2. Wenn möglich, zuerst kürzen. Suchen Sie einen Zähler und einen Nenner mit einem gemeinsamen Teiler und teilen Sie beide dadurch. Bei 4/9 · 3/8 haben 4 und 8 den Teiler 4, und 3 und 9 den Teiler 3.
3. Die Zähler multiplizieren. Das Produkt der Zähler ist der neue Zähler: Bei 2/3 · 3/4 ist 2 · 3 = 6.
4. Die Nenner multiplizieren. Das Produkt der Nenner ist der neue Nenner: 3 · 4 = 12, also ist das Produkt 6/12.
5. Das Ergebnis kürzen. Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler: 6/12 gekürzt durch 6 ist 1/2.
6. Einen unechten Bruch als gemischte Zahl schreiben. Ist der Zähler größer als der Nenner, teilen Sie: 10 : 3 = 3 Rest 1, also 3 1/3.

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Zuerst kürzen: Kürzen über Kreuz

Kürzen über Kreuz bedeutet, einen Zähler und den gegenüberliegenden Nenner vor dem Multiplizieren durch dieselbe Zahl zu teilen, damit die Zahlen klein bleiben. OpenStax nennt es, gemeinsame Faktoren früher zu entfernen.

Nehmen Sie 4/9 · 3/8. Teilen Sie 4 und 8 durch 4, das gibt 1 und 2, teilen Sie 3 und 9 durch 3, das gibt 1 und 3, und die Aufgabe wird zu 1/3 · 1/2 = 1/6. Wer zuerst multipliziert, erhält 12/72, das sich ebenfalls auf 1/6 kürzen lässt, aber einen größeren Teiler braucht. Der Leitfaden zu ggT und kgV zeigt, wie man gemeinsame Teiler schnell erkennt.

Vier Wege, Brüche zu multiplizieren, im Vergleich

Die vier üblichen Wege, Brüche zu multiplizieren, führen zum selben Ergebnis, und jeder passt zu einem anderen Moment. Kinder lernen meist zuerst die wiederholte Addition und das Flächenmodell kennen und gehen dann zur Regel und zum Kürzen über.

Über Kreuz multiplizieren ist ein anderes Werkzeug

Über Kreuz multipliziert man, um zwei Brüche zu vergleichen oder eine Verhältnisgleichung zu lösen, und das ist ein anderes Werkzeug als das Multiplizieren von Brüchen. Um 3/4 und 5/7 zu vergleichen, rechnen Sie 3 · 7 = 21 und 4 · 5 = 20, also ist 3/4 der größere Bruch.

Um 2/3 = x/12 zu lösen, ergibt das Multiplizieren über Kreuz 3 · x = 2 · 12 = 24, also x = 8. Der Praxisleitfaden des What Works Clearinghouse zu Brüchen empfiehlt Lehrkräften, den Kindern verständlich zu machen, warum die Rechenverfahren mit Brüchen sinnvoll sind, und genau das leistet das Flächenmodell vor jeder Abkürzung.

Brüche mit ganzen Zahlen und gemischten Zahlen multiplizieren

Einen Bruch multipliziert man mit einer ganzen Zahl, indem man die ganze Zahl mit dem Nenner 1 schreibt und Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner rechnet. Der Standard 4.NF.B.4 nutzt das Beispiel 3 · (2/5) als 6 · (1/5), also 6/5, und nennt die Regel n · (a/b) = (n · a)/b.

Die ganze Zahl multipliziert nur den Zähler. Die Sachaufgabe des Standards fragt, wie viel Braten 5 Personen brauchen, wenn jede 3/8 Pfund bekommt: 5 · 3/8 = 15/8, also 1 7/8 Pfund, zwischen 1 und 2.

Gemischte Zahlen multiplizieren

Gemischte Zahlen multipliziert man, indem man jede zuerst in einen unechten Bruch umwandelt. Multiplizieren Sie die ganze Zahl mit dem Nenner, addieren Sie den Zähler und behalten Sie den Nenner: 2 1/2 wird zu (2 · 2 + 1)/2 = 5/2, und 1 1/3 wird zu (1 · 3 + 1)/3 = 4/3.

Dann multiplizieren Sie: 5/2 · 4/3 = 20/6 = 10/3 = 3 1/3. Wer vorher die 2 und die 4 über Kreuz kürzt, erhält 5/1 · 2/3 = 10/3, dasselbe Ergebnis mit kleineren Zahlen.

Standard 5.NF.B.6 verlangt, Sachaufgaben mit Brüchen und gemischten Zahlen zu lösen. Ein Rezept ist der typische Fall: Die Hälfte eines Rezepts mit 3/4 kg Mehl braucht 1/2 · 3/4 = 3/8 kg Mehl, also 375 g. Der Leitfaden zu Brüchen für Eltern erklärt unechte Brüche und gemischte Zahlen von Anfang an.

So prüfen Sie, ob das Multiplizieren von Brüchen sitzt

Fünf kurze Fragen zeigen, ob ein Kind oder ein Erwachsener Brüche mit Verständnis multiplizieren kann.

• Die Bedeutung „von“: Fragen Sie, was 1/2 · 3/4 in Worten bedeutet. „Die Hälfte von drei Vierteln“ ist die Antwort, auf die Sie hören, und das Produkt ist 3/8.
• Kürzen: Geben Sie 3/5 · 10/21. Kürzen von 5 mit 10 und von 3 mit 21 ergibt 1/1 · 2/7 = 2/7.
• Eine ganze Zahl: Fragen Sie nach 4 · 5/6. Die Antwort ist 20/6 = 10/3 = 3 1/3, und die Antwort 20/24 bedeutet, dass die 4 auch in den Nenner gewandert ist.
• Eine gemischte Zahl: Fragen Sie nach 1 3/4 · 2/7. Die Antwort ist 7/4 · 2/7 = 14/28 = 1/2.
• Größengefühl: Fragen Sie ohne Rechnen, ob 7/8 · 15 mehr oder weniger als 15 ist. Die Antwort ist weniger, weil 7/8 kleiner als 1 ist.

Ein wöchentlicher Fünf-Minuten-Test

Ein Fünf-Minuten-Test einmal pro Woche mit aufgeschriebenem Rechenweg zeigt mehr als eine lange Seite mit nur einer Aufgabensorte. Mischen Sie je eine Frage jeder Art und schauen Sie auf die Schritte, denn die meisten Fehler entstehen beim Vorbereiten von ganzen und gemischten Zahlen, nicht beim Multiplizieren.

Der nationale Lehrplan in England folgt derselben Reihenfolge. Die Mathematiklehrpläne für England verlangen in Year 5, echte Brüche und gemischte Zahlen mit Hilfe von Material und Skizzen mit ganzen Zahlen zu multiplizieren, und in Year 6, einfache Paare echter Brüche zu multiplizieren und das Ergebnis vollständig gekürzt anzugeben.

Ein sicheres Einmaleins trägt jeden Schritt, und das Arbeitsblatt zum Multiplizieren für die 5. Klasse bietet druckbare Übungen mit Lösungen. Das Spiel zum fehlenden Faktor trainiert das Denken „was mal was“, das man zum Kürzen braucht.

Typische Fehler beim Multiplizieren von Brüchen

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten beim Multiplizieren von Brüchen, und jeder hat eine Korrektur in einer Zeile.

• Zuerst gleichnamig machen: Wer 1/2 · 1/3 in 3/6 · 2/6 umwandelt, erhält 6/36, und das ist erst nach langem Kürzen 1/6. Multiplizieren Sie die Nenner, wie sie sind: 1/2 · 1/3 = 1/6.
• Die Nenner addieren: Wer 1/2 · 1/3 = 1/5 schreibt, verwechselt die Regeln für Addieren und Multiplizieren. Die Nenner werden multipliziert: 2 · 3 = 6, also ist das Ergebnis 1/6.
• Die ganze Zahl in Zähler und Nenner multiplizieren: Wer 3 · 2/5 = 6/15 schreibt, hat den Bruch nicht verändert, denn 6/15 ist 2/5. Schreiben Sie die ganze Zahl mit dem Nenner 1, damit sie nur den Zähler trifft: 6/5.
• Gemischte Zahlen teilweise multiplizieren: Wer 2 1/2 · 1 1/3 als 2 · 1 plus 1/2 · 1/3 rechnet, erhält 2 1/6, weit weg von der richtigen Antwort 3 1/3. Wandeln Sie beide vor dem Multiplizieren in unechte Brüche um.

Sonderfall: Brüche mit verschiedenen Nennern

Brüche mit verschiedenen Nennern multipliziert man genauso wie Brüche mit gleichen Nennern. Das Produkt 2/5 · 3/7 ist 6/35, und 5/6 · 3/10 lässt sich zu 1/2 · 1/2 = 1/4 kürzen, also ist ein anderer Nenner nie ein Grund, den Weg zu ändern.

Das Dividieren von Brüchen ist die Rechenart mit einem zusätzlichen Schritt: Man nimmt den Kehrwert des zweiten Bruchs und multipliziert. Der Leitfaden Brüche dividieren baut auf derselben Regel auf.

Ihre Checkliste zum Multiplizieren von Brüchen und die nächsten Schritte

• Mal als „von“ lesen: 1/2 · 3/4 ist die Hälfte von drei Vierteln.
• Vorbereiten: ganze Zahlen mit dem Nenner 1 schreiben, gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln.
• Kürzen: jeden Zähler und jeden Nenner durch einen gemeinsamen Teiler teilen.
• Multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, kein gemeinsamer Nenner.
• Vereinfachen: das Ergebnis kürzen und einen unechten Bruch als gemischte Zahl schreiben.
• Schätzen: ein Faktor kleiner als 1 macht das Ergebnis kleiner.

Eltern von Kindern in der 5. Klasse finden Übungen auf Klassenniveau auf der Seite mit dem Mathespiel für die 5. Klasse, und Erwachsene, die ihr Zahlengefühl wieder aufbauen, können mit dem Mathespiel für Erwachsene beginnen. Der Leitfaden zum Unterrichten der schriftlichen Multiplikation hilft, wenn Zähler und Nenner über das Einmaleins hinauswachsen.

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