分数のかけ算：計算のきまり、面積図、帯分数のかけ算

ブラウニーの型に3/4が残っていて、お子さんの算数の宿題は「その半分はどれだけ？」と聞いています。分数のかけ算のやり方を知っていれば、この問題は1行で終わります。分子どうしをかけ、分母どうしをかけ、約分する。分数のかけ算は通分がいらないぶん、たし算よりかんたんで、同じ3つの手順で整数や帯分数とのかけ算もできます。

分数のかけ算とはどういう意味？

分数のかけ算は、ある量の「何分のいくつ」かを求める計算で、×の記号は「〜の」と読みかえられます。1/2 × 3/4は「3/4の半分」を聞いていて、答えは3/8です。

日本では分数のかけ算を、整数をかける場合も含めて小6で学びます。小学校学習指導要領は第6学年で「乗数や除数が整数や分数である場合も含めて，分数の乗法及び除法の意味について理解すること」を求めています。アメリカでは州共通基礎スタンダード 5.NF.B.4が5年生に、かけ算の考えを広げて「分数や整数に分数をかける」ことを求め、きまりを1行で示しています。「一般に (a/b) × (c/d) = ac/bd」です。

答えが小さくなることがある理由

1より小さい分数をかけると、もとの量の一部だけを取るので、積は小さくなります。アメリカのスタンダード5.NF.B.5は、「ある数に1より小さい分数をかけると、積がもとの数より小さくなるのはなぜか」を説明することを求めています。

面積図をかくと、きまりの働きが見えます。正方形を3行4列に分け、3/4として4列のうち3列に、2/3として3行のうち2行に色をぬります。重なった部分は3 × 4 = 12個の小さな箱のうち2 × 3 = 6個なので、2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2です。

分数のかけ算のやり方を順番に

分数のかけ算は3つの手順（分子どうしをかける、分母どうしをかける、約分する）に、整数や帯分数のときの準備の手順を足すだけです。OpenStaxの初等代数の分数のかけ算の章も同じように「分数をかけるには、分子どうしをかけ、分母どうしをかける」と書いています。

1. すべての数を分数で書く。 整数は分母を1にして4は4/1、帯分数は仮分数にして2と1/2は5/2にします。
2. できるなら先に約分する。 共通の約数をもつ分子と分母を探し、両方をその数でわります。4/9 × 3/8なら、4と8は4で、3と9は3でわれます。
3. 分子どうしをかける。 分子の積が新しい分子です。2/3 × 3/4なら2 × 3 = 6です。
4. 分母どうしをかける。 分母の積が新しい分母です。3 × 4 = 12なので、積は6/12です。
5. 答えを約分する。 分子と分母を最大公約数でわります。6/12を6でわると1/2です。
6. 仮分数の答えは帯分数に直す。 分子が分母より大きければわり算をします。10/3は3あまり1なので、3と1/3です。

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先に約分する：かける前の近道

かける前に、分子と反対側の分母を同じ数でわっておくと、数が小さいまま計算できます。OpenStaxはこれを「共通な因数を早めに取りのぞく」と呼んでいます。

4/9 × 3/8で試します。4と8を4でわって1と2、3と9を3でわって1と3にすると、1/3 × 1/2 = 1/6になります。先にかけると12/72で、これも約分すれば1/6ですが、大きな公約数を見つけなければなりません。共通の約数をすばやく見つけるこつは最大公約数と最小公倍数の解説にあります。

分数のかけ算、4つの方法をくらべる

分数のかけ算でよく使う4つの方法は、どれも同じ答えになり、それぞれ向いている場面がちがいます。子どもはたいてい、同じ数をくり返したす方法と面積図に先に出会い、そのあとで分子どうし・分母どうしをかけるきまりと約分に進みます。

たすきがけは別の道具

たすきがけは、2つの分数の大きさを比べたり比例式を解いたりする方法で、分数のかけ算とは別の道具です。3/4と5/7を比べるなら、3 × 7 = 21、4 × 5 = 20なので、3/4のほうが大きい分数です。

2/3 = x/12を解くなら、たすきがけで3 × x = 2 × 12 = 24、つまりx = 8です。アメリカのWhat Works Clearinghouseの分数の実践ガイドは、教師が「分数の計算の手順がなぜ筋が通っているのかを理解させる」ようすすめていて、近道を教える前にその役目を果たすのが面積図です。

分数×整数と帯分数のかけ算

分数に整数をかけるときは、整数を分母が1の分数にして、そのまま横にかけます。アメリカのスタンダード 4.NF.B.4は「3 × (2/5)を6 × (1/5)とみる」例をあげていて、これは6/5です。きまりは「n × (a/b) = (n × a)/b」です。

整数がかかるのは分子だけです。たとえば1人3/8 kgずつのお肉を5人分買うなら、5 × 3/8 = 15/8で、1と7/8 kg、つまり1 kgと2 kgの間です。

帯分数のかけ算のやり方

帯分数のかけ算は、まずそれぞれを仮分数に直します。整数部分に分母をかけて分子をたし、分母はそのままにします。2と1/2は(2 × 2 + 1)/2 = 5/2、1と1/3は(1 × 3 + 1)/3 = 4/3です。

それからかけます。5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3 = 3と1/3です。先に2と4を約分すると5/1 × 2/3 = 10/3となり、小さい数で同じ答えが出ます。

アメリカのスタンダード5.NF.B.6は「分数や帯分数のかけ算を使う身のまわりの問題を解く」ことを求めています。よくあるのはレシピで、砂糖3/4カップのレシピを半分にするなら1/2 × 3/4 = 3/8カップです。仮分数と帯分数を最初から知りたいときは保護者のための分数の解説が役に立ちます。

分数のかけ算が身についたかを確かめるには

分数のかけ算を意味まで分かってできているかは、5つの短い問いで分かります。

• 「〜の」の意味： 1/2 × 3/4を言葉で言うと何かを聞きます。「3/4の半分」という答えが聞きたいところで、積は3/8です。
• 約分： 3/5 × 10/21を出します。5と10、3と21を約分して1/1 × 2/7 = 2/7です。
• 整数： 4 × 5/6を聞きます。答えは20/6 = 10/3 = 3と1/3で、20/24と答えたら4を分母にもかけています。
• 帯分数： 1と3/4 × 2/7を聞きます。答えは7/4 × 2/7 = 14/28 = 1/2です。
• 大きさの感覚： 計算せずに、7/8 × 15は15より大きいか小さいかを聞きます。7/8は1より小さいので、答えは「小さい」です。

週に1回、5分の確認

途中の式を書いてもらいながら週に1回5分確認するほうが、1種類の問題が並んだ長いプリントより多くのことが分かります。種類ごとに1問ずつ混ぜて、手順を見ます。間違いの多くはかけ算そのものではなく、整数や帯分数の準備の段階で起きるからです。

イングランドのナショナルカリキュラムも同じ順番です。算数・数学の学習プログラムは5年目に「教具や図を使いながら、真分数や帯分数に整数をかける」こと、6年目に「簡単な真分数どうしをかけ、答えをいちばん簡単な形で書く」ことを求めています。

どの手順も九九の速さに支えられていて、5年生向けのかけ算プリントは答えつきで印刷して練習できます。かける数を当てるゲームは、約分に必要な「何かける何」の考え方をきたえます。

分数のかけ算でよくある間違い

分数のかけ算の誤答のほとんどは4つの間違いから来ていて、どれも一言で直せます。

• 先に通分する： 1/2 × 1/3を3/6 × 2/6にすると6/36になり、長い約分をしてやっと1/6です。分母はそのままかけます。1/2 × 1/3 = 1/6です。
• 分母をたす： 1/2 × 1/3 = 1/5と書くのは、たし算とかけ算のきまりを混ぜています。分母はかけて2 × 3 = 6、答えは1/6です。
• 整数を分子にも分母にもかける： 3 × 2/5 = 6/15と書くと、6/15は2/5なので、分数が変わっていません。整数を分母1の分数にすれば分子にだけかかり、6/5になります。
• 帯分数を部分ごとにかける： 2と1/2 × 1と1/3を2 × 1と1/2 × 1/3に分けると2と1/6になり、正しい答えの3と1/3から遠くはなれます。かける前に両方を仮分数に直します。

まぎらわしい場合：分母がちがう分数

分母がちがう分数も、分母が同じ分数と同じやり方でかけます。2/5 × 3/7は6/35、5/6 × 3/10は約分して1/2 × 1/2 = 1/4です。分母がちがうことは、やり方を変える理由になりません。

ひと手間増えるのは分数のわり算で、わる数の分子と分母を入れかえてかけます。分数のわり算のやり方の解説は、同じきまりの上に積み上がっています。

分数のかけ算のチェックリストと次の一歩

• ×を「〜の」と読む： 1/2 × 3/4は3/4の半分。
• 準備： 整数は分母を1に、帯分数は仮分数にする。
• 約分： 分子と分母を共通の約数でわる。
• そのままかける： 分子×分子、分母×分母。通分はしない。
• 仕上げ： 答えを約分し、仮分数は帯分数に直す。
• 見積もり： 1より小さい数をかけると答えは小さくなる。

小5のお子さんの保護者は5年生向けの算数ゲームのページで学年に合った練習が見つかり、数の感覚を取り戻したい大人は大人向けの算数ゲームから始められます。分子や分母が九九をこえて大きくなったときは、筆算のかけ算の教え方が役に立ちます。

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