Slik ganger du brøker: regelen, arealmodellen og blandede tall

Tre firedeler av brownieformen er igjen, og leksene til barnet ditt på mellomtrinnet spør hva halvparten av den resten er. Kan du gange brøk, blir spørsmålet én linje: gang tellerne, gang nevnerne og forkort. Å gange brøker er lettere enn å legge dem sammen, fordi du ikke trenger å finne noen fellesnevner, og de samme tre stegene dekker hele tall og blandede tall også.

Hva betyr det å gange brøker?

Å gange brøker betyr å finne en brøkdel av en mengde, så gangetegnet × kan leses som «av». Regnestykket 1/2 × 3/4 spør etter halvparten av tre firedeler, og svaret er 3/8.

Den amerikanske Common Core-standarden 5.NF.B.4 ber elever i femte skoleår «bruke og utvide det de vet om multiplikasjon, til å gange en brøk eller et helt tall med en brøk». Den sier regelen på én linje: «(Generelt er (a/b) × (c/d) = ac/bd.)» I Norge skal eleven etter 5. trinn kunne «utvikle og bruke ulike strategier for regning med positive tall og brøk», ifølge kompetansemålene etter 5. trinn i LK20, og etter 7. trinn «bruke hensiktsmessige strategier i hoderegning og skriftlig regning med brøk» (kompetansemålene etter 7. trinn).

Hvorfor svaret kan bli mindre

Et produkt av brøker blir mindre når du ganger med en brøk mindre enn 1, fordi du tar bare en del av mengden. Standard 5.NF.B.5 ber elevene forklare «hvorfor et tall ganget med en brøk mindre enn 1 gir et produkt som er mindre enn tallet».

En arealmodell viser regelen i praksis. Tegn et kvadrat, del det i 3 rader og 4 kolonner, skraver 3 av de 4 kolonnene for 3/4 og 2 av de 3 radene for 2/3. Overlappet dekker 2 × 3 = 6 av de 3 × 4 = 12 små rutene, så 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2.

Slik ganger du brøker, steg for steg

Å gange brøker tar tre steg (gang tellerne, gang nevnerne, forkort), pluss et forberedende steg for hele tall og blandede tall. Kapittelet om å gange brøker i OpenStax Prealgebra sier det på samme måte: «For å gange brøker ganger vi tellerne og ganger nevnerne.»

1. Skriv hvert tall som en brøk. Et helt tall får nevner 1, så 4 blir 4/1, og et blandet tall blir en uekte brøk, så 2 1/2 blir 5/2.
2. Forkort felles faktorer først, hvis du kan. Se etter en teller og en nevner som har en felles faktor, og del begge på den. I 4/9 × 3/8 har 4 og 8 den felles faktoren 4, og 3 og 9 har 3.
3. Gang tellerne. Produktet av tellerne er den nye telleren: i 2/3 × 3/4 er 2 × 3 = 6.
4. Gang nevnerne. Produktet av nevnerne er den nye nevneren: 3 × 4 = 12, så produktet er 6/12.
5. Forkort svaret. Del teller og nevner på deres største felles faktor: 6/12 delt på 6 er 1/2.
6. Gjør et uekte svar om til et blandet tall. Er telleren større enn nevneren, deler du: 10 : 3 er 3 med rest 1, så 3 1/3.

Spill gratis i nettleserenGangetabeller3. trinn+

Forkort først: snarveien med kryssforkorting

Kryssforkorting betyr å dele en teller og nevneren på motsatt side på den samme faktoren før du ganger, slik at tallene holder seg små. OpenStax kaller det å «fjerne felles faktorer tidligere».

Ta 4/9 × 3/8. Del 4 og 8 på 4 og få 1 og 2, del 3 og 9 på 3 og få 1 og 3, og regnestykket blir 1/3 × 1/2 = 1/6. Ganger du først, får du 12/72, som også forkortes til 1/6, men krever en større felles faktor, og guiden om største felles faktor og minste felles multiplum viser hvordan du raskt ser felles faktorer.

Fire måter å gange brøker på, sammenlignet

De fire vanlige metodene for å gange brøker gir det samme svaret, og hver passer til sitt øyeblikk. Barn møter som regel gjentatt addisjon og arealmodellen først, og går så over til regelen «rett over» og forkorting.

Kryssmultiplikasjon er et annet verktøy

Kryssmultiplikasjon sammenligner to brøker eller løser en proporsjon, og det er et annet verktøy enn å gange brøker. For å sammenligne 3/4 og 5/7 regner du 3 × 7 = 21 og 4 × 5 = 20, så 3/4 er den største brøken.

For å løse 2/3 = x/12 gir kryssmultiplikasjon 3 × x = 2 × 12 = 24, så x = 8. Veilederen om brøk fra What Works Clearinghouse anbefaler at lærere «hjelper elevene å forstå hvorfor framgangsmåtene for regning med brøk gir mening», og det er nettopp den jobben arealmodellen gjør før noen snarvei.

Slik ganger du brøker med hele tall og blandede tall

Du ganger en brøk med et helt tall ved å skrive det hele tallet med nevner 1 og gange rett over. Standard 4.NF.B.4 bruker eksemplet «3 × (2/5) som 6 × (1/5)», altså 6/5, og gir regelen «n × (a/b) = (n × a)/b».

Det hele tallet ganges bare med telleren. Standardens egen tekstoppgave spør hvor mye roastbiff 5 personer trenger når hver skal ha 3/8 pund: 5 × 3/8 = 15/8, som er 1 7/8 pund, mellom 1 og 2. Med norske mål blir det samme regnestykket for eksempel 5 glass med 3/8 l saft hver, til sammen 1 7/8 l.

Slik ganger du blandede tall

Du ganger blandede tall ved å gjøre hvert av dem om til en uekte brøk først. Gang det hele tallet med nevneren, legg til telleren og behold nevneren: 2 1/2 blir (2 × 2 + 1)/2 = 5/2, og 1 1/3 blir (1 × 3 + 1)/3 = 4/3.

Så ganger du: 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3 = 3 1/3. Kryssforkorter du 2 og 4 først, får du 5/1 × 2/3 = 10/3, det samme svaret med mindre tall.

Standard 5.NF.B.6 ber elevene «løse problemer fra virkeligheten med multiplikasjon av brøker og blandede tall». En oppskrift er det vanlige eksemplet: en halv porsjon av en oppskrift som trenger 3/4 l melk, tar 1/2 × 3/4 = 3/8 l, og guiden om brøk forklart for foreldre dekker uekte brøker og blandede tall fra starten av.

Slik sjekker du at brøkganging sitter

Fem korte spørsmål viser om et barn eller en voksen kan gange brøker med forståelse.

• Betydningen «av»: Spør hva 1/2 × 3/4 betyr med ord. «Halvparten av tre firedeler» er svaret du lytter etter, og produktet er 3/8.
• Forkorting: Gi 3/5 × 10/21. Forkort 5 mot 10 og 3 mot 21, og du får 1/1 × 2/7 = 2/7.
• Et helt tall: Spør etter 4 × 5/6. Svaret er 20/6 = 10/3 = 3 1/3, og svaret 20/24 betyr at 4 ble ganget med nevneren også.
• Et blandet tall: Spør etter 1 3/4 × 2/7. Svaret er 7/4 × 2/7 = 14/28 = 1/2.
• Tallforståelse: Spør, uten å regne det ut, om 7/8 × 15 er mer eller mindre enn 15. Svaret er mindre, fordi 7/8 er mindre enn 1.

En ukentlig sjekk på fem minutter

En sjekk på fem minutter én gang i uka, med utregningen skrevet ned, viser mer enn en lang side med én type oppgave. Bland ett spørsmål av hver type og se på stegene, fordi de fleste feilene kommer fra oppsettet av hele tall og blandede tall, ikke fra selve gangingen.

Den nasjonale læreplanen i England følger den samme rekkefølgen. Den engelske læreplanen i matematikk ber elevene i Year 5 «gange ekte brøker og blandede tall med hele tall, med støtte i konkreter og tegninger», og elevene i Year 6 «gange enkle par av ekte brøker og skrive svaret på enklest mulig form».

Raske gangefakta bærer hvert steg, og oppgavearket i multiplikasjon for 5. trinn gir utskrivbar øving med fasit. Spillet med den manglende faktoren trener tenkningen «hva ganger hva» som forkorting krever.

Vanlige feil når du ganger brøker

Fire feil står bak de fleste gale svarene når du ganger brøker, og hver av dem har en løsning på én linje.

• Å finne fellesnevner først: Gjør du 1/2 × 1/3 om til 3/6 × 2/6, får du 6/36, som blir 1/6 først etter en lang forkorting. Gang nevnerne slik de står: 1/2 × 1/3 = 1/6.
• Å legge sammen nevnerne: Å skrive 1/2 × 1/3 = 1/5 blander reglene for addisjon og multiplikasjon. Nevnerne ganges: 2 × 3 = 6, så svaret er 1/6.
• Å gange det hele tallet med både teller og nevner: Skriver du 3 × 2/5 = 6/15, er brøken uendret, fordi 6/15 er 2/5. Skriv det hele tallet med nevner 1, så det bare når telleren: 6/5.
• Å gange blandede tall del for del: Regner du 2 1/2 × 1 1/3 som 2 × 1 pluss 1/2 × 1/3, får du 2 1/6, langt fra det riktige svaret 3 1/3. Gjør begge om til uekte brøker før du ganger.

Spesialtilfelle: brøker med ulike nevnere

Brøker med ulike nevnere ganges på samme måte som brøker med like nevnere. Produktet 2/5 × 3/7 er 6/35, og 5/6 × 3/10 forkortes til 1/2 × 1/2 = 1/4, så ulike nevnere er aldri en grunn til å endre metoden.

Divisjon med brøk er regnearten som legger til et steg: du snur den andre brøken og ganger. Guiden om hvordan du deler brøker bygger på den samme regelen.

Sjekklisten din for å gange brøker, og neste steg

• Les × som «av»: 1/2 × 3/4 er halvparten av tre firedeler.
• Sett opp: skriv hele tall med nevner 1 og gjør blandede tall om til uekte brøker.
• Forkort: del en teller og en nevner på en felles faktor.
• Gang rett over: teller × teller, nevner × nevner, ingen fellesnevner.
• Forkort svaret: forkort så langt det går og gjør en uekte brøk om til et blandet tall.
• Gjør et overslag: en faktor mindre enn 1 gjør svaret mindre.

Foreldre til barn på 5. trinn finner øving på riktig nivå på siden med mattespill for 5. trinn, og voksne som vil bygge opp tallforståelsen igjen, kan starte med mattespill for voksne. Guiden om hvordan du lærer bort skriftlig multiplikasjon hjelper når tellere og nevnere vokser forbi gangetabellen.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad som tilpasser nivået til hver spiller, og daglig øving på 33 språk. Familier kan konkurrere mot hverandre i sanntidsdueller for 2–5 spillere, og 22 av spillene kan spilles gratis i nettleseren uten innlogging.