Schriftliche Multiplikation erklärt: die Reihenfolge, die hängen bleibt

Bei der schriftlichen Multiplikation hört die 4. Klasse auf, ein wackliges Einmaleins zu verzeihen. Ein Kind, das die 6er an einem guten Tag aufsagen kann, verliert 36 × 24 irgendwo in der zweiten Zeile, und die Zahl, die zurückkommt, sieht 864 nicht im Entferntesten ähnlich. Die Reparatur ist selten noch ein Arbeitsblatt derselben Art.

Was die schriftliche Multiplikation von einem Kind verlangt

Die schriftliche Multiplikation verlangt von einem Kind, drei Fähigkeiten gleichzeitig und in fester Reihenfolge abzurufen, und deshalb legt sie Lücken offen, die einstellige Aufgaben verbergen. Eine einzige Aufgabe wie 36 × 24 braucht vier abgerufene Malaufgaben, zwei Überträge, eine bewusste Verschiebung im Stellenwert und eine abschließende dreistellige Addition. Eine Schwäche in einem dieser Punkte sieht auf dem Papier aus wie ein Problem mit der schriftlichen Multiplikation.

Die drei Fähigkeiten, die sie stapelt

Drei Fähigkeiten tragen jede Aufgabe der schriftlichen Multiplikation, und jede versagt auf eine erkennbare Weise.

• Das Einmaleins. Das Kind beantwortet 6 × 4 und 3 × 4 ohne Pause. Langsamer Abruf erzeugt für sich genommen keine falsche Ziffer; er erzeugt drei Sekunden später einen vergessenen Übertrag.
• Der Stellenwert. Das Kind weiß, dass die 2 in 24 zwei Zehner bedeutet, die zweite Zeile der Rechnung also 720 wert ist und nicht 72.
• Der Übertrag. Das Kind multipliziert zuerst und addiert den Übertrag danach. Dreht man die Reihenfolge um, wird aus 36 × 4 die Zahl 204, und nichts danach rettet das noch.

Der bayerische LehrplanPLUS für Mathematik in der Grundschule legt diese Arbeit in die 4. Klasse: Kinder „wenden automatisiert die schriftlichen Verfahren der Addition, der Subtraktion (Abziehverfahren), der Multiplikation (ein- und zweistellige Multiplikatoren)“ an. Der Common-Core-Standard 4.NBT.B.5 in den USA setzt denselben Zeitpunkt: Kinder sollen „zwei zweistellige Zahlen mit Strategien multiplizieren, die auf dem Stellenwert und den Rechengesetzen beruhen“. Ein Viertklässler, der noch ein Modell zeichnet, liegt im Plan.

Warum die schriftliche Multiplikation scheitert, bevor sie beginnt

Die meisten falschen Ergebnisse entstehen unterhalb des Verfahrens, nämlich im Einmaleins. Ein Kind, das drei Sekunden bis zu 7 × 8 braucht, verbringt die ganze Aufgabe mit Abrufen, und fallen gelassen wird der Übertrag. Darauf ein neues Verfahren zu setzen kostet eine Woche und behebt nichts.

Die Einmaleins-Probe

Die Einmaleins-Probe dauert zwei Minuten und entscheidet, ob das Verfahren diesen oder erst nächsten Monat dran ist. Lesen Sie zwölf gemischte Aufgaben aus den 6ern, 7ern, 8ern und 9ern vor und messen Sie die Pause vor jeder Antwort. Zwei Sekunden sind die brauchbare Grenze.

Zwei oder mehr langsame Antworten heißen: Zuerst kommt die Arbeit am Abruf. Der Leitfaden des What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics: Intervention in the Elementary Grades empfiehlt Lehrkräften, „regelmäßig Übungen auf Zeit einzusetzen, um Geläufigkeit in Mathematik aufzubauen“. Der frühere Begleitband, der Leitfaden zur Förderung, setzt etwa zehn Minuten je Einheit für den sicheren Abruf der Grundaufgaben an.

Zehn Minuten sind klein genug, um eine Schulwoche zu überleben. Das Einmaleins-Training und das Spiel zum Verdoppeln decken die 6er, 8er und 9er ab, die den größten Teil der Last tragen, und das Spiel zu den Malreihen sammelt den Rest ein. Sind die Grundaufgaben die eigentliche Blockade, ist der Leitfaden dazu, wie Ihr Kind das Einmaleins schnell lernt, der bessere Anfang.

Die schriftliche Multiplikation Schritt für Schritt erklären

Die Reihenfolge, die funktioniert, läuft von einem Bild, das das Kind erklären kann, zu einem Verfahren, dem es trauen kann, und eine einzige Aufgabe trägt den ganzen Weg. Jeder Schritt unten benutzt 36 × 24.

1. Schätzen, bevor irgendetwas geschrieben wird. Runden Sie 36 auf 40 und 24 auf 25. Weil 40 × 25 = 1.000 ist, landet die Antwort in der Nähe von tausend, und erst die notierte Schätzung macht ein falsches Ergebnis zehn Minuten später sichtbar.
2. 36 × 24 als Rechteck zeichnen. Zerlegen Sie die Seiten nach Stellenwert: 30 und 6 an der einen Seite, 20 und 4 an der anderen. Die vier Teile sind 30 × 20 = 600, 30 × 4 = 120, 6 × 20 = 120 und 6 × 4 = 24.
3. Die vier Teile addieren. 600 + 120 + 120 + 24 = 864. Halten Sie das gegen die Schätzung von 1.000, und die Antwort besteht ihre erste Probe.
4. Die vier Teile als Spalte schreiben. Stapeln Sie 600, 120, 120 und 24 untereinander und addieren Sie. Nichts Neues ist passiert; dieselben vier Produkte stehen jetzt in einer senkrechten Liste statt in einer Zeichnung.
5. Mit der Einerziffer multiplizieren. 36 × 4 = 144, laut gesprochen, während das Kind schreibt: 6 × 4 = 24, die 4 hinschreiben und die 2 übertragen; 3 × 4 = 12, plus der übertragenen 2 ergibt 14.
6. Die zweite Zeile verschieben, dann mit der Zehnerziffer multiplizieren. Setzen Sie die zweite Zeile eine Stelle weiter nach links, weil dort mit 20 multipliziert wird und nicht mit 2. Dann füllt 36 × 2 = 72 die Zeile, und sie bedeutet 720. Wer die Zeile lieber bündig schreibt, hängt stattdessen eine 0 an.
7. Die beiden Teilprodukte addieren und zur Schätzung zurückkehren. 144 + 720 = 864, und das liegt bequem unter den 1.000, die das Kind in Schritt 1 vorhergesagt hat.

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Wo Familien eine Stufe überspringen

Familien überspringen die Schritte 2 bis 4, weil sich das kompakte Verfahren schneller vorführen lässt, und dann bleibt dem Kind kein Weg, 864 von 216 zu unterscheiden. Die Zeichnung mit vier Teilen kostet zwei Übungseinheiten und zahlt sich beim ersten verlorenen Teilprodukt aus. Üben Sie die Zeichnung, bis das Kind sie aus dem Kopf herstellt, und legen Sie sie dann beiseite.

Vier Wege, zwei zweistellige Zahlen zu multiplizieren

Vier schriftliche Verfahren tauchen im Unterricht auf, und alle vier liefern für 36 × 24 das Ergebnis 864. Der Unterschied liegt darin, wie viel Stellenwert jedes davon auf dem Papier sichtbar lässt.

Welches Verfahren zu Hause

Zu Hause gewinnt das Verfahren aus dem Unterricht, welches der vier es auch ist. Ein zweites Verfahren parallel gelehrt spaltet die Aufmerksamkeit genau in dem Moment, in dem das erste noch zerbrechlich ist, fragen Sie also die Lehrkraft nach der Schreibweise der Klasse und übernehmen Sie sie. Zeigen Sie eine Alternative erst, wenn das Verfahren der Klasse dreimal hintereinander richtig herauskommt.

Die Zeichnung ist es wert, für sich geschützt zu werden. Der Leitfaden Improving Mathematical Problem Solving in Grades 4 Through 8 bewertet „Kindern beizubringen, wie sie bildliche Darstellungen nutzen“ als Empfehlung mit starker Evidenz.

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Vom Rechteckmodell zum schriftlichen Verfahren

Das schriftliche Verfahren ist das Rechteckmodell ohne Zeichnung und mit zwei bereits zusammengefassten Produktpaaren. Dieser Satz ist der ganze Übergang, und ein Kind, das ihn hört, hört auf, die beiden Verfahren für Rivalen zu halten.

Schauen Sie, wohin die vier Teile wandern. Die beiden Produkte mit der 20 sind 30 × 20 = 600 und 6 × 20 = 120, und 600 + 120 = 720, also die zweite Zeile. Die beiden Produkte mit der 4 sind 30 × 4 = 120 und 6 × 4 = 24, und 120 + 24 = 144, also die erste Zeile.

Sobald ein Kind auf diese Paare zeigen kann, ist die kompakte Schreibweise eine Kurzform und keine neue Regel. Der NRICH-Artikel Developing Number Fluency: What, Why and How hält fest, dass „Geläufigkeit von Kindern mehr verlangt, als ein einzelnes Verfahren auswendig zu lernen“, und genau die Paarbildung oben macht aus dem Verfahren etwas, das ein Kind nach dem Vergessen wieder aufbauen kann.

Die verschobene Zehnerzeile

Die Verschiebung hält die Einerspalte frei, damit die zweite Zeile zu den Zehnern passt, die sie darstellt. Ohne sie wird 36 × 20 als 72 geschrieben, und die Summe fällt auf 216 zusammen. Manche Lehrkräfte schreiben ein paar Wochen lang ein kleines „× 20“ neben die Zeile, damit die Verschiebung einen sichtbaren Grund hat.

So prüfen Sie, ob Ihr Kind es kann

Vier beobachtbare Signale sagen Ihnen, ob die schriftliche Multiplikation angekommen ist, und keines davon ist eine Note auf einem Arbeitsblatt.

• Schreibt ungefragt eine Schätzung auf. Das Kind rundet 36 × 24 auf 40 × 25 = 1.000, bevor es anfängt, ohne dazu aufgefordert zu werden.
• Erklärt die Verschiebung. Gefragt, warum die zweite Zeile weiter links beginnt, sagt das Kind, dass diese Zeile mit 20 multipliziert und nicht mit 2.
• Findet den kaputten Schritt allein. Bei einem falschen Ergebnis von 216 findet das Kind die fehlende Stelle, statt die Aufgabe neu zu beginnen.
• Überträgt auf eine neue Form. Das Kind bewältigt 36 × 240 und eine Aufgabe mit fehlendem Faktor wie 36 × ? = 864 mit derselben Überlegung. Das Training mit fehlendem Faktor macht daraus zwei Minuten Übung.

Eine Selbstkontrolle in zwei Minuten

Die Selbstkontrolle läuft über eine Aufgabe und drei Fragen. Geben Sie dem Kind 36 × 24 auf leerem Papier und fragen Sie dann: Wie lautet deine Schätzung, wo sitzt die Verschiebung, und woher weißt du, dass das Ergebnis stimmt? Ein Kind, das alle drei beantwortet, beherrscht das Verfahren.

Typische Fehler und Sonderfälle

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Ergebnisse bei der schriftlichen Multiplikation, und eine notierte Schätzung fängt drei davon sofort ab.

• Die fehlende Verschiebung. Das Kind schreibt 144 und darunter bündig 72, addiert zu 216 und geht weiter. Die Schätzung von 1.000 macht den Fehler offensichtlich, denn 216 liegt nirgends in der Nähe. Die richtige zweite Zeile ist 720.
• Den Übertrag in die falsche Spalte schreiben. Eine übertragene Ziffer über der falschen Spalte schließt sich der falschen Multiplikation an. Kariertes Papier mit einer Ziffer pro Kästchen räumt das Problem schneller weg als jede Erklärung.
• Den Übertrag nach der letzten Ziffer vergessen. Bei 36 × 4 schreibt das Kind die 4, überträgt die 2, rechnet 3 × 4 = 12 und notiert 124 statt 144. „Zwölf plus die zwei, die ich übertragen habe“ laut zu sagen behebt das innerhalb einer Woche.
• Eine Null in der Zahl, die multipliziert wird. Bei 306 × 24 lautet die erste Zeile 306 × 4 = 1.224, wobei 0 × 4 = 0 trotzdem den Übertrag 2 aufnehmen muss. Die zweite Zeile ist 306 × 20 = 6.120, und zusammen ergibt das 7.344. Ein Kind, das die 0 ganz fallen lässt, rechnet 36 × 24 und landet bei 864 statt bei 7.344.

Ihre Checkliste zur schriftlichen Multiplikation

Eine kurze Checkliste hält die Reihenfolge über die Wochen ehrlich, die das Verfahren zum Sitzen braucht.

• Grundaufgaben vor dem Verfahren. Zwölf gemischte Aufgaben unter je zwei Sekunden, sonst kommt zuerst die Übung am Abruf.
• Eine Aufgabe, gezeichnet und geschrieben. Dieselbe 36 × 24 erscheint als Rechteck, als vier Teilprodukte und in der kompakten Schreibweise.
• Die Schätzung steht zuerst da. Jede Aufgabe beginnt mit einer gerundeten Vorhersage auf dem Papier, nie nur im Kopf.
• Die Verschiebung wird erklärt, nie nur abgeschrieben. Das Kind sagt, warum die zweite Zeile weiter links beginnt, bevor es sie schreibt.
• Fehler werden gefunden, nicht für das Kind korrigiert. Zeigen Sie auf die Zeile, benennen Sie nichts, und lassen Sie das Kind den Schritt finden.
• Danach die Division. Sitzt 36 × 24 = 864, benutzt der Leitfaden zur schriftlichen Division dieselben Zahlen rückwärts, und das Arbeitsblatt zum Multiplizieren für die 4. Klasse liefert den Übungssatz samt Lösungen.

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