Breuken vermenigvuldigen: de regel, het rechthoekmodel en gemengde getallen

Er is nog drie kwart van de bakvorm brownies over, en het huiswerk van je kind in groep 7 vraagt hoeveel de helft van dat restje is. Als je weet hoe je breuken vermenigvuldigt, is dat één regel: teller keer teller, noemer keer noemer, en vereenvoudigen. Breuken vermenigvuldigen is makkelijker dan breuken optellen, want je hoeft niet gelijknamig te maken, en dezelfde drie stappen werken ook voor hele getallen en gemengde getallen.

Wat betekent breuken vermenigvuldigen?

Breuken vermenigvuldigen betekent een deel van een hoeveelheid nemen, dus het teken × mag je lezen als "van". De som 1/2 × 3/4 vraagt naar de helft van drie kwart, en het antwoord is 3/8.

In Nederland noemt de uitwerking van kerndoel 26 bij SLO voor groep 7 en 8 het "vermenigvuldigen van breuken met hele getallen"; het vermenigvuldigen van twee breuken staat er niet apart in. De Amerikaanse Common Core-standaard 5.NF.B.4 vraagt in het vijfde schooljaar, ongeveer groep 7, om "eerder begrip van vermenigvuldigen toe te passen en uit te breiden om een breuk of een heel getal met een breuk te vermenigvuldigen". De regel staat er in één regel: "(In het algemeen is (a/b) × (c/d) = ac/bd.)"

Waarom het antwoord kleiner kan worden

Een product van breuken wordt kleiner als je vermenigvuldigt met een breuk kleiner dan 1, want je neemt maar een deel van de hoeveelheid. Standaard 5.NF.B.5 vraagt leerlingen uit te leggen "waarom een getal vermenigvuldigen met een breuk kleiner dan 1 een product geeft dat kleiner is dan dat getal".

Een rechthoekmodel laat de regel aan het werk zien. Teken een vierkant, verdeel het in 3 rijen en 4 kolommen, kleur 3 van de 4 kolommen voor 3/4 en 2 van de 3 rijen voor 2/3. De overlap beslaat 2 × 3 = 6 van de 3 × 4 = 12 hokjes, dus 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2.

Breuken vermenigvuldigen, stap voor stap

Breuken vermenigvuldigen gaat in drie stappen (tellers vermenigvuldigen, noemers vermenigvuldigen, vereenvoudigen) plus een voorbereidende stap voor hele getallen en gemengde getallen. Het hoofdstuk over breuken vermenigvuldigen in OpenStax Prealgebra zegt het net zo: "Om breuken te vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we de tellers en vermenigvuldigen we de noemers."

1. Schrijf elk getal als breuk. Een heel getal krijgt noemer 1, dus 4 wordt 4/1, en een gemengd getal wordt een onechte breuk, dus 2 1/2 wordt 5/2.
2. Deel eerst gemeenschappelijke delers weg, als dat kan. Zoek een teller en een noemer met een gemeenschappelijke deler en deel ze er allebei door. In 4/9 × 3/8 delen 4 en 8 de deler 4, en 3 en 9 de deler 3.
3. Vermenigvuldig de tellers. Het product van de tellers is de nieuwe teller: in 2/3 × 3/4 is 2 × 3 = 6.
4. Vermenigvuldig de noemers. Het product van de noemers is de nieuwe noemer: 3 × 4 = 12, dus het product is 6/12.
5. Vereenvoudig het antwoord. Deel teller en noemer door hun grootste gemene deler: 6/12 gedeeld door 6 is 1/2.
6. Maak van een onecht antwoord een gemengd getal. Is de teller groter dan de noemer, deel dan: 10 : 3 = 3 rest 1, dus 3 1/3.

Gratis spelen in je browserTafelsGroep 5+

Eerst wegdelen: kruislings vereenvoudigen

Kruislings wegdelen betekent een teller en de schuin tegenoverliggende noemer door dezelfde deler delen voordat je vermenigvuldigt, zodat de getallen klein blijven. OpenStax noemt het "gemeenschappelijke factoren eerder verwijderen".

Neem 4/9 × 3/8. Deel 4 en 8 door 4 en je krijgt 1 en 2, deel 3 en 9 door 3 en je krijgt 1 en 3, en de som wordt 1/3 × 1/2 = 1/6. Eerst vermenigvuldigen geeft 12/72, dat ook tot 1/6 vereenvoudigt maar een grotere deler nodig heeft; de gids over ggd en kgv laat zien hoe je gemeenschappelijke delers snel ziet.

Vier manieren om breuken te vermenigvuldigen vergeleken

De vier gangbare manieren om breuken te vermenigvuldigen geven hetzelfde antwoord, en elke manier past bij een ander moment. Kinderen leren meestal eerst herhaald optellen en het rechthoekmodel, en gaan daarna over op de regel recht door en het wegdelen.

Kruislings vermenigvuldigen is een ander gereedschap

Kruislings vermenigvuldigen vergelijkt twee breuken of lost een verhouding op, en het is iets anders dan breuken vermenigvuldigen. Om 3/4 en 5/7 te vergelijken reken je 3 × 7 = 21 en 4 × 5 = 20 uit, dus 3/4 is de grotere breuk.

Om 2/3 = x/12 op te lossen geeft kruislings vermenigvuldigen 3 × x = 2 × 12 = 24, dus x = 8. De praktijkgids over breukenonderwijs van de What Works Clearinghouse raadt leerkrachten aan "leerlingen te helpen begrijpen waarom rekenprocedures met breuken zinvol zijn", en dat is precies wat het rechthoekmodel doet vóór elke korte weg.

Breuken vermenigvuldigen met hele getallen en gemengde getallen

Je vermenigvuldigt een breuk met een heel getal door het hele getal als breuk met noemer 1 te schrijven en recht door te vermenigvuldigen. Standaard 4.NF.B.4 gebruikt het voorbeeld "3 × (2/5) als 6 × (1/5)", en dat is 6/5, met de regel "n × (a/b) = (n × a)/b".

Het hele getal vermenigvuldigt alleen de teller. Neem een recept waarbij elke persoon 3/8 kilo aardappelen krijgt: voor 5 mensen is dat 5 × 3/8 = 15/8, en dat is 1 7/8 kilo, tussen 1 en 2 kilo in.

Gemengde getallen vermenigvuldigen

Gemengde getallen vermenigvuldig je door ze eerst om te zetten in onechte breuken. Vermenigvuldig het hele getal met de noemer, tel de teller erbij op en houd de noemer: 2 1/2 wordt (2 × 2 + 1)/2 = 5/2, en 1 1/3 wordt (1 × 3 + 1)/3 = 4/3.

Vermenigvuldig daarna: 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3 = 3 1/3. Deel je eerst de 2 en de 4 weg, dan krijg je 5/1 × 2/3 = 10/3, hetzelfde antwoord met kleinere getallen.

Standaard 5.NF.B.6 vraagt leerlingen "problemen uit het dagelijks leven op te lossen waarin breuken en gemengde getallen worden vermenigvuldigd". Een recept is het bekende voorbeeld: de helft van een recept met 3/4 kopje suiker vraagt 1/2 × 3/4 = 3/8 kopje, en de uitleg over breuken voor ouders behandelt onechte breuken en gemengde getallen vanaf het begin.

Hoe je nagaat of breuken vermenigvuldigen is ingedaald

Vijf korte vragen laten zien of een kind of een volwassene breuken met begrip kan vermenigvuldigen.

• De betekenis "van": Vraag wat 1/2 × 3/4 in woorden betekent. "De helft van drie kwart" is het antwoord waar je naar luistert, en het product is 3/8.
• Wegdelen: Geef 3/5 × 10/21. De 5 met de 10 en de 3 met de 21 wegdelen geeft 1/1 × 2/7 = 2/7.
• Een heel getal: Vraag naar 4 × 5/6. Het antwoord is 20/6 = 10/3 = 3 1/3, en een antwoord van 20/24 betekent dat de 4 ook in de noemer terechtkwam.
• Een gemengd getal: Vraag naar 1 3/4 × 2/7. Het antwoord is 7/4 × 2/7 = 14/28 = 1/2.
• Gevoel voor grootte: Vraag zonder uit te rekenen of 7/8 × 15 meer of minder is dan 15. Het antwoord is minder, want 7/8 is kleiner dan 1.

Een controle van vijf minuten per week

Een controle van vijf minuten per week, met de uitwerking op papier, laat meer zien dan een lang blad met één soort som. Neem van elke soort één vraag en kijk naar de stappen, want de meeste fouten zitten in de voorbereiding van hele getallen en gemengde getallen, niet in het vermenigvuldigen zelf.

Het nationale curriculum van Engeland volgt dezelfde volgorde. De leerplannen wiskunde vragen leerlingen in Year 5, ongeveer groep 7, om "echte breuken en gemengde getallen met hele getallen te vermenigvuldigen, ondersteund door materialen en tekeningen", en in Year 6, ongeveer groep 8, om "eenvoudige paren echte breuken te vermenigvuldigen en het antwoord in de eenvoudigste vorm te schrijven".

Vlotte tafels dragen elke stap, en het werkblad vermenigvuldigen voor groep 7 geeft printbare oefening met een antwoordblad. Het spel met de ontbrekende factor traint het "wat keer wat"-denken dat wegdelen nodig heeft.

Veelgemaakte fouten bij breuken vermenigvuldigen

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden bij breuken vermenigvuldigen, en elke fout heeft een oplossing van één regel.

• Eerst gelijknamig maken: Van 1/2 × 1/3 eerst 3/6 × 2/6 maken geeft 6/36, en dat is pas na lang vereenvoudigen 1/6. Vermenigvuldig de noemers zoals ze staan: 1/2 × 1/3 = 1/6.
• De noemers optellen: 1/2 × 1/3 = 1/5 schrijven haalt de regels voor optellen en vermenigvuldigen door elkaar. De noemers worden vermenigvuldigd: 2 × 3 = 6, dus het antwoord is 1/6.
• Het hele getal in teller én noemer zetten: 3 × 2/5 = 6/15 laat de breuk gelijk, want 6/15 is 2/5. Zet het hele getal boven een 1, zodat het alleen de teller raakt: 6/5.
• Gemengde getallen deel voor deel vermenigvuldigen: 2 1/2 × 1 1/3 uitrekenen als 2 × 1 plus 1/2 × 1/3 geeft 2 1/6, ver van het goede antwoord 3 1/3. Zet beide eerst om in onechte breuken.

Randgeval: breuken met verschillende noemers

Breuken met verschillende noemers vermenigvuldig je op dezelfde manier als breuken met gelijke noemers. Het product 2/5 × 3/7 is 6/35, en 5/6 × 3/10 wordt na wegdelen 1/2 × 1/2 = 1/4, dus een andere noemer is nooit een reden om de methode te veranderen.

Breuken delen is de bewerking die een stap toevoegt: je draait de tweede breuk om en vermenigvuldigt. De gids over breuken delen bouwt voort op dezelfde regel.

Je checklist voor breuken vermenigvuldigen en de volgende stappen

• Lees × als "van": 1/2 × 3/4 is de helft van drie kwart.
• Voorbereiden: zet hele getallen boven een 1 en maak gemengde getallen onecht.
• Wegdelen: deel een teller en een noemer door een gemeenschappelijke deler.
• Recht door vermenigvuldigen: teller × teller, noemer × noemer, zonder gelijknamig maken.
• Vereenvoudigen: vereenvoudig het antwoord en maak van een onechte breuk een gemengd getal.
• Schatten: een factor kleiner dan 1 maakt het antwoord kleiner.

Ouders van kinderen in groep 7 vinden oefening op niveau op de pagina met het rekenspel voor groep 7, en volwassenen die hun getalgevoel weer opbouwen, kunnen beginnen met het rekenspel voor volwassenen. De gids over cijferend vermenigvuldigen uitleggen helpt als tellers en noemers groter worden dan de tafels.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast aan het niveau van elke speler, en dagelijkse oefening in 33 talen. Gezinnen kunnen het tegen elkaar opnemen in live wedstrijden met 2 tot 5 spelers, en 22 van de spellen spelen gratis in de browser, zonder account.