Mnożenie ułamków zwykłych: zasada, model prostokąta i liczby mieszane

Z blachy ciasta zostały trzy czwarte, a zadanie domowe twojego dziecka pyta, ile to jest połowa tej reszty. Gdy znasz mnożenie ułamków, pytanie mieści się w jednej linijce: pomnóż liczniki, pomnóż mianowniki i skróć. Mnożenie ułamków jest łatwiejsze niż dodawanie, bo nie trzeba szukać wspólnego mianownika, a te same trzy kroki obejmują też liczby naturalne i liczby mieszane.

Co znaczy mnożenie ułamków?

Mnożenie ułamków to szukanie ułamka danej wielkości, więc znak × można czytać jako „z”. Pytanie 1/2 × 3/4 brzmi: ile to jest połowa z trzech czwartych, a odpowiedź to 3/8.

Amerykański standard Common Core 5.NF.B.4 prosi piątoklasistów, żeby rozszerzyli wcześniejsze rozumienie mnożenia na mnożenie ułamka lub liczby naturalnej przez ułamek. Zasadę podaje w jednej linijce: (a/b) × (c/d) = ac/bd. W Polsce podstawa programowa matematyki umieszcza to w klasach 4–6: uczeń „dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki zwykłe o mianownikach jedno- lub dwucyfrowych, a także liczby mieszane”.

Dlaczego wynik może być mniejszy

Iloczyn ułamków jest mniejszy, gdy mnożysz przez ułamek mniejszy od 1, bo bierzesz tylko część wielkości. Standard 5.NF.B.5 prosi uczniów, żeby wyjaśnili, dlaczego pomnożenie liczby przez ułamek mniejszy od 1 daje iloczyn mniejszy od tej liczby.

Model prostokąta pokazuje zasadę w działaniu. Narysuj kwadrat, podziel go na 3 wiersze i 4 kolumny, zamaluj 3 z 4 kolumn dla 3/4 i 2 z 3 wierszy dla 2/3. Część wspólna obejmuje 2 × 3 = 6 z 3 × 4 = 12 małych pól, więc 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2.

Mnożenie ułamków krok po kroku

Mnożenie ułamków to trzy kroki (pomnóż liczniki, pomnóż mianowniki, skróć) plus krok przygotowania dla liczb naturalnych i mieszanych. Rozdział podręcznika OpenStax Prealgebra o mnożeniu ułamków ujmuje to tak samo: żeby pomnożyć ułamki, mnożymy liczniki i mnożymy mianowniki.

1. Zapisz każdą liczbę jako ułamek. Liczba naturalna dostaje mianownik 1, więc 4 to 4/1, a liczba mieszana staje się ułamkiem niewłaściwym, więc 2 1/2 to 5/2.
2. Najpierw skróć wspólne dzielniki, jeśli możesz. Poszukaj licznika i mianownika, które mają wspólny dzielnik, i podziel oba przez niego. W 4/9 × 3/8 liczby 4 i 8 dzielą się przez 4, a 3 i 9 przez 3.
3. Pomnóż liczniki. Iloczyn liczników to nowy licznik: w 2/3 × 3/4 mamy 2 × 3 = 6.
4. Pomnóż mianowniki. Iloczyn mianowników to nowy mianownik: 3 × 4 = 12, więc iloczyn to 6/12.
5. Skróć wynik. Podziel licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik: 6/12 po podzieleniu przez 6 to 1/2.
6. Zamień ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną. Jeśli licznik jest większy od mianownika, podziel: 10 : 3 to 3 reszty 1, czyli 3 1/3.

Zagraj za darmo w przeglądarceTabliczka mnożeniaKlasa 3+

Najpierw skracaj: skracanie na krzyż

Skracanie na krzyż to podzielenie licznika i przeciwległego mianownika przez tę samą liczbę przed mnożeniem, dzięki czemu liczby zostają małe. OpenStax nazywa to wcześniejszym usuwaniem wspólnych czynników.

Weź 4/9 × 3/8. Podziel 4 i 8 przez 4, żeby dostać 1 i 2, podziel 3 i 9 przez 3, żeby dostać 1 i 3, a zadanie zmienia się w 1/3 × 1/2 = 1/6. Mnożenie bez skracania daje 12/72, co też skraca się do 1/6, ale wymaga większego dzielnika, a poradnik o NWD i NWW pokazuje, jak szybko wypatrzyć wspólne dzielniki.

Cztery sposoby mnożenia ułamków w porównaniu

Cztery popularne sposoby mnożenia ułamków dają ten sam wynik, a każdy pasuje do innej chwili. Dzieci zwykle zaczynają od dodawania wielokrotnego i modelu prostokąta, a potem przechodzą do mnożenia wprost i skracania.

Mnożenie na krzyż to inne narzędzie

Mnożenie na krzyż porównuje dwa ułamki albo rozwiązuje proporcję i jest osobnym narzędziem niż mnożenie ułamków. Żeby porównać 3/4 i 5/7, policz 3 × 7 = 21 i 4 × 5 = 20, więc 3/4 jest większym ułamkiem.

Żeby rozwiązać 2/3 = x/12, mnożenie na krzyż daje 3 × x = 2 × 12 = 24, więc x = 8. Poradnik What Works Clearinghouse o nauczaniu ułamków zaleca, żeby nauczyciele pomagali uczniom zrozumieć, dlaczego procedury obliczeń na ułamkach mają sens, a to właśnie robi model prostokąta, zanim pojawi się jakikolwiek skrót.

Mnożenie ułamków przez liczby naturalne i liczby mieszane

Ułamek mnoży się przez liczbę naturalną, zapisując ją z mianownikiem 1 i mnożąc wprost. Standard 4.NF.B.4 podaje przykład 3 × (2/5) jako 6 × (1/5), czyli 6/5, i zasadę n × (a/b) = (n × a)/b.

Liczba naturalna mnoży tylko licznik. Weź zadanie z życia: 5 osób, każda zje 3/8 kg pieczeni, więc potrzeba 5 × 3/8 = 15/8 kg, czyli 1 7/8 kg, między 1 a 2 kilogramami.

Jak mnożyć liczby mieszane

Liczby mieszane mnoży się, najpierw zamieniając każdą na ułamek niewłaściwy. Pomnóż całości przez mianownik, dodaj licznik i zachowaj mianownik: 2 1/2 to (2 × 2 + 1)/2 = 5/2, a 1 1/3 to (1 × 3 + 1)/3 = 4/3.

Potem pomnóż: 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3 = 3 1/3. Skrócenie 2 i 4 na początku daje 5/1 × 2/3 = 10/3, ten sam wynik na mniejszych liczbach.

Standard 5.NF.B.6 prosi uczniów o rozwiązywanie zadań z życia z mnożeniem ułamków i liczb mieszanych. Typowy przypadek to przepis: połowa porcji, która wymaga 3/4 szklanki cukru, potrzebuje 1/2 × 3/4 = 3/8 szklanki, a artykuł ułamki wyjaśnione dla rodziców omawia ułamki niewłaściwe i liczby mieszane od podstaw.

Jak sprawdzić, czy mnożenie ułamków zostało zrozumiane

Pięć krótkich pytań pokazuje, czy dziecko albo dorosły mnoży ułamki ze zrozumieniem.

• Znaczenie „z”: Zapytaj, co znaczy 1/2 × 3/4 w słowach. Odpowiedź, na którą czekasz, to „połowa z trzech czwartych”, a iloczyn to 3/8.
• Skracanie: Daj 3/5 × 10/21. Skrócenie 5 z 10 oraz 3 z 21 daje 1/1 × 2/7 = 2/7.
• Liczba naturalna: Poproś o 4 × 5/6. Wynik to 20/6 = 10/3 = 3 1/3, a odpowiedź 20/24 znaczy, że 4 trafiło też do mianownika.
• Liczba mieszana: Poproś o 1 3/4 × 2/7. Wynik to 7/4 × 2/7 = 14/28 = 1/2.
• Wyczucie wielkości: Zapytaj, bez liczenia, czy 7/8 × 15 to więcej, czy mniej niż 15. Odpowiedź: mniej, bo 7/8 jest mniejsze od 1.

Pięciominutowy test co tydzień

Pięciominutowy test raz w tygodniu, z zapisanymi obliczeniami, pokazuje więcej niż długa karta zadań jednego typu. Wymieszaj po jednym pytaniu z każdego rodzaju i patrz na kroki, bo większość błędów bierze się z przygotowania liczb naturalnych i mieszanych, a nie z samego mnożenia.

Angielski program idzie w tej samej kolejności. Program nauczania matematyki w Anglii prosi uczniów Year 5 o mnożenie ułamków właściwych i liczb mieszanych przez liczby naturalne z pomocą materiałów i rysunków, a uczniów Year 6 o mnożenie prostych par ułamków właściwych z wynikiem w najprostszej postaci.

Szybka tabliczka mnożenia niesie każdy krok, a karta pracy z mnożenia dla 5 klasy daje ćwiczenia do wydruku z kluczem odpowiedzi. Gra z brakującym czynnikiem ćwiczy myślenie „co razy co”, którego wymaga skracanie.

Najczęstsze błędy przy mnożeniu ułamków

Cztery błędy odpowiadają za większość złych wyników przy mnożeniu ułamków, a każdy ma jednozdaniowe lekarstwo.

• Szukanie wspólnego mianownika: Zamiana 1/2 × 1/3 na 3/6 × 2/6 daje 6/36, co jest równe 1/6 dopiero po długim skracaniu. Pomnóż mianowniki takie, jakie są: 1/2 × 1/3 = 1/6.
• Dodawanie mianowników: Zapis 1/2 × 1/3 = 1/5 miesza zasady dodawania i mnożenia. Mianowniki się mnoży: 2 × 3 = 6, więc wynik to 1/6.
• Mnożenie liczby naturalnej przez licznik i mianownik: Zapis 3 × 2/5 = 6/15 zostawia ułamek bez zmian, bo 6/15 to 2/5. Zapisz liczbę naturalną z mianownikiem 1, żeby trafiła tylko do licznika: 6/5.
• Mnożenie liczb mieszanych po kawałku: Liczenie 2 1/2 × 1 1/3 jako 2 × 1 plus 1/2 × 1/3 daje 2 1/6, daleko od poprawnego 3 1/3. Zamień obie liczby na ułamki niewłaściwe przed mnożeniem.

Przypadek szczególny: ułamki o różnych mianownikach

Ułamki o różnych mianownikach mnoży się tak samo jak ułamki o równych. Iloczyn 2/5 × 3/7 to 6/35, a 5/6 × 3/10 skraca się do 1/2 × 1/2 = 1/4, więc inny mianownik nigdy nie jest powodem do zmiany sposobu.

Dodatkowy krok ma dopiero dzielenie ułamków: odwracasz drugi ułamek i mnożysz. Poradnik jak dzielić ułamki buduje na tej samej zasadzie.

Twoja lista kontrolna mnożenia ułamków i następne kroki

• Czytaj × jako „z”: 1/2 × 3/4 to połowa z trzech czwartych.
• Przygotuj: liczbom naturalnym daj mianownik 1, a liczby mieszane zamień na ułamki niewłaściwe.
• Skróć: podziel dowolny licznik i dowolny mianownik przez wspólny dzielnik.
• Mnóż wprost: licznik × licznik, mianownik × mianownik, bez wspólnego mianownika.
• Uprość: skróć wynik i zamień ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną.
• Oszacuj: czynnik mniejszy od 1 zmniejsza wynik.

Rodzice piątoklasistów znajdą ćwiczenia dla swojej klasy na stronie gra matematyczna dla 5 klasy, a dorośli, którzy odbudowują wyczucie liczb, mogą zacząć od gry matematycznej dla dorosłych. Poradnik jak uczyć mnożenia pisemnego pomaga, gdy liczniki i mianowniki wychodzą poza tabliczkę mnożenia.

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier, adaptacyjnym poziomem trudności, który dopasowuje poziom do każdego gracza, i codziennymi ćwiczeniami w 33 językach. Rodziny mogą ścigać się w pojedynkach na żywo dla 2–5 graczy, a 22 gry działają za darmo w przeglądarce, bez rejestracji.