Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches: so finden Sie beide

Auf einem Arbeitsblatt zur Bruchrechnung steht die Frage nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 6 und 8, und in der nächsten Zeile die nach dem größten gemeinsamen Teiler von 12 und 18. Die beiden Begriffe klingen ähnlich, und Kinder verwechseln sie. Beide beruhen auf den Primfaktoren jeder Zahl, und drei kurze Verfahren finden sie.

Was sind der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache?

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide ohne Rest teilt, und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, die durch beide teilbar ist. Für 12 und 18 ist der ggT 6 und das kgV 36.

Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12, die Teiler von 18 sind 1, 2, 3, 6, 9 und 18. Gemeinsame Teiler sind 1, 2, 3 und 6, also ist der größte die 6.

Die Vielfachen von 12 sind 12, 24, 36, 48, die Vielfachen von 18 sind 18, 36, 54. Die erste Zahl auf beiden Listen ist 36, also ist das kleinste gemeinsame Vielfache 36.

Teiler und Vielfache: zwei Wörter, die sitzen müssen

Ein Teiler einer Zahl teilt sie ohne Rest, also sind die Teiler einer Zahl nie größer als die Zahl selbst. Ein Vielfaches ist die Zahl mal 1, 2, 3 und so weiter, also sind die Vielfachen nie kleiner als die Zahl, und die Liste endet nie.

Der Common-Core-Standard 4.OA.B.4 legt diesen Wortschatz in den USA in der 4. Klasse an: Kinder sollen alle Teilerpaare einer natürlichen Zahl von 1 bis 100 finden und erkennen, dass eine Zahl ein Vielfaches jedes ihrer Teiler ist. Die Teilerpaare von 18 sind 1 · 18, 2 · 9 und 3 · 6, und jede Zahl in diesen Paaren ist ein Teiler von 18.

Ein Kind, das „Teiler“ und „Vielfaches“ auseinanderhält, hat den größten Teil der Aufgabe zu ggT und kgV schon gelöst. Das Spiel zu den Teilerpaaren übt das erste Wort, das Spiel zu den Vielfachen das zweite.

Wozu ggT und kgV in der 5. und 6. Klasse gut sind

In Deutschland gehören Teiler, Vielfache und Primfaktorzerlegung meist in die 5. Klasse, und ggT und kgV werden spätestens mit der Bruchrechnung in der 6. Klasse gebraucht. Der bayerische LehrplanPLUS für die 6. Jahrgangsstufe am Gymnasium verlangt beim Hauptnenner, dass Kinder ihn „auch mithilfe eines algorithmischen (z. B. auf der Primfaktorzerlegung basierenden) Verfahrens“ ermitteln; der Lehrplan unterscheidet sich je nach Bundesland. In den USA verlangt der Common-Core-Standard 6.NS.B.4 in der 6. Klasse, den ggT zweier Zahlen bis 100 und das kgV zweier Zahlen bis 12 zu bestimmen.

Derselbe Standard verbindet den ggT mit dem Distributivgesetz, mit dem Beispiel, 36 + 8 als 4 (9 + 2) zu schreiben. Der ggT von 36 und 8 ist 4, also 36 + 8 = 4 · 9 + 4 · 2 = 4 · (9 + 2) = 44.

England verteilt die Fähigkeit auf mehrere Jahre. Der nationale Mathematiklehrplan für England verlangt in Year 6, gemeinsame Teiler, gemeinsame Vielfache und Primzahlen zu erkennen, und nennt ggT und kgV in der Key Stage 3 beim Namen.

Wann man den ggT braucht und wann das kgV

Der ggT beantwortet „wie viele gleiche Gruppen kann ich bilden“, das kgV beantwortet „wann treffen sich zwei Zählungen“. Ein Kind, das fragt, was eine Sachaufgabe verlangt, kann beide Fragen an ihr testen.

• Gleiche Gruppen (ggT): 18 Äpfel und 24 Orangen kommen in gleiche Tüten, ohne dass etwas übrig bleibt. Der ggT von 18 und 24 ist 6, also gibt es 6 Tüten mit je 3 Äpfeln und 4 Orangen.
• Brüche kürzen (ggT): Zähler und Nenner von 18/24 durch ihren ggT 6 teilen ergibt 3/4 in einem Schritt. Der Leitfaden Brüche erklären für Eltern behandelt das Erweitern und Kürzen ausführlicher.
• Sich wieder treffen (kgV): Ein Bus fährt alle 6 Minuten, ein anderer alle 8 Minuten, beide um 9:00 Uhr. Das kgV von 6 und 8 ist 24, also fahren sie um 9:24 Uhr wieder gleichzeitig ab.
• Hauptnenner (kgV): Für 5/6 + 3/8 nehmen Sie das kgV von 6 und 8 als Nenner: 5/6 = 20/24 und 3/8 = 9/24, also ist die Summe 29/24.

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kgV und ggT Schritt für Schritt berechnen

Die Primfaktorzerlegung findet kgV und ggT in einem Durchgang und funktioniert für jedes Zahlenpaar. Die Schritte unten nutzen 24 und 36.

1. Jede Zahl in Primfaktoren zerlegen. Bauen Sie einen Faktorbaum oder teilen Sie durch die kleinste passende Primzahl: 24 = 2 · 2 · 2 · 3 und 36 = 2 · 2 · 3 · 3. Der Beitrag zu den Primzahlen zeigt Faktorbäume Schritt für Schritt.
2. Die Faktoren als Potenzen schreiben. Fassen Sie Wiederholungen zusammen: 24 = 2³ · 3 und 36 = 2² · 3². Mit den Hochzahlen werden die nächsten beiden Schritte zum Vergleich kleiner Zahlen.
3. Den ggT aus den gemeinsamen Primfaktoren bilden. Nehmen Sie nur die Primfaktoren, die beide Zahlen haben, jeweils mit der kleineren Hochzahl: 2² · 3 = 4 · 3 = 12.
4. Das kgV aus allen Primfaktoren bilden. Nehmen Sie jeden Primfaktor, der in einer der Zahlen vorkommt, jeweils mit der größeren Hochzahl: 2³ · 3² = 8 · 9 = 72.
5. Beide Ergebnisse prüfen. Der ggT muss beide Zahlen teilen (24 : 12 = 2, 36 : 12 = 3), und beide Zahlen müssen das kgV teilen (72 : 24 = 3, 72 : 36 = 2).

Das Kapitel zu Primfaktorzerlegung und kgV im Lehrbuch Prealgebra von OpenStax beschreibt dasselbe Verfahren, bei dem gemeinsame Primfaktoren einmal gezählt werden.

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Woran es hakt: kleinste oder größte Hochzahl

Die Regel für die Hochzahlen ist der Schritt, den Kinder am häufigsten vertauschen. Der ggT nimmt die kleinste Hochzahl jedes gemeinsamen Primfaktors, denn ein gemeinsamer Teiler kann nicht mehr Zweien enthalten als die Zahl mit den wenigeren Zweien.

Das kgV nimmt die größte Hochzahl jedes Primfaktors, denn ein gemeinsames Vielfaches muss alle Zweien der Zahl mit den meisten Zweien enthalten. Bei 24 und 36 hat 24 drei Zweien, also braucht jedes Vielfache von 24 den Faktor 2³, und 36 hat zwei Dreien, also braucht jedes Vielfache von 36 den Faktor 3².

Auflisten, Primfaktorzerlegung oder Leiterverfahren

Auflisten, Primfaktorzerlegung und Leiterverfahren liefern denselben ggT und dasselbe kgV und unterscheiden sich im Tempo.

Das Leiterverfahren, vorgerechnet

Das Leiterverfahren teilt beide Zahlen durch eine gemeinsame Primzahl, schreibt die Ergebnisse darunter und wiederholt das, bis das unterste Paar außer 1 keinen gemeinsamen Teiler mehr hat. In deutschen Schulbüchern ist es seltener als die Primfaktorzerlegung, aber es spart Schreibarbeit. Für 24 und 36: durch 2 ergibt 12 und 18, noch einmal durch 2 ergibt 6 und 9, durch 3 ergibt 2 und 3.

Die Teiler am linken Rand ergeben multipliziert den ggT: 2 · 2 · 3 = 12. Das kgV ist der ggT mal die Zahlen in der untersten Zeile: 12 · 2 · 3 = 72.

Die Abkürzung ggT · kgV

Das Produkt aus größtem gemeinsamem Teiler und kleinstem gemeinsamem Vielfachen zweier Zahlen ist immer gleich dem Produkt der beiden Zahlen. Für 12 und 18 ist der ggT 6 und das kgV 36, und 6 · 36 = 216 = 12 · 18.

Mit der Abkürzung wird aus einem Ergebnis das andere. Kennen Sie den ggT, ist das kgV gleich a · b : ggT: Für 6 und 8 ist der ggT 2, also ist das kgV 48 : 2 = 24.

Bei kleinen Zahlen zählen Sie die Vielfachen der größeren Zahl auf, bis die kleinere sie teilt: 8, 16, 24, und 6 teilt 24. Der Leitfaden, wie Sie das Einmaleins schnell lernen, baut den Abruf auf, den das braucht.

Warum die Abkürzung funktioniert

Die Abkürzung funktioniert, weil ggT und kgV die Primfaktoren der beiden Zahlen unter sich aufteilen. Bei 12 = 2 · 2 · 3 und 18 = 2 · 3 · 3 nimmt der ggT die gemeinsame 2 und 3, und das kgV nimmt die gemeinsame 2 und 3 noch einmal plus die zusätzliche 2 und 3.

Die Primfaktoren von 6 · 36 sind 2, 3 und 2, 2, 3, 3, dieselben sechs Primfaktoren wie in 12 · 18.

Die Regel gilt nur für zwei Zahlen. Für drei Zahlen wie 4, 6 und 8 ist der ggT 2 und das kgV 24, und 2 · 24 = 48 ist weit entfernt von 4 · 6 · 8 = 192.

Typische Fehler bei ggT und kgV

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten auf einem Arbeitsblatt zu ggT und kgV, und jeder hat eine Korrektur in einer Zeile.

• Die beiden verwechseln: Ein ggT kann nie größer sein als die kleinere Zahl, ein kgV nie kleiner als die größere. Eine 36 als ggT von 12 und 18 fällt bei dieser Probe sofort durch.
• Annehmen, das kgV sei immer a · b: Das Produkt ist ein gemeinsames Vielfaches, aber nur dann das kleinste, wenn der ggT 1 ist, wie bei 4 und 9 (kgV 36). Für 6 und 8 ist 6 · 8 = 48, das kgV aber 24.
• Die Liste zu früh abbrechen: 9, 18, 27 und 12, 24 zeigen keine Übereinstimmung, und das verleitet zur Antwort 9 · 12 = 108. Ein Schritt mehr auf jeder Liste erreicht 36, das kgV.
• Die 1 als Primzahl behandeln: Die 1 ist keine Primzahl, also taucht sie in keinem Faktorbaum auf. 12 = 1 · 12 bringt den Baum nicht weiter, 12 = 2 · 6 bringt ihn in Gang.

Zwei Sonderfälle tauchen in der 6. Klasse auf. Teilt eine Zahl die andere, wie bei 4 und 12, ist der ggT die kleinere Zahl (4) und das kgV die größere (12). Haben zwei Zahlen keinen gemeinsamen Primfaktor, wie 8 und 15, ist der ggT 1 und das kgV 8 · 15 = 120.

So prüfen Sie, ob Ihr Kind es kann

Fünf kurze Fragen zeigen, ob ggT und kgV angekommen sind, und jede dauert unter einer Minute.

• Die Definitionen: Fragen Sie ohne Beispiel, was ggT und kgV zweier Zahlen sind. Beide Antworten brauchen das Wort „beide“.
• Das bekannte Paar: Fragen Sie nach dem kgV von 6 und 8. Die Antwort ist 24, und eine 48 zeigt die Gewohnheit a · b.
• Eine Sachaufgabe zugeordnet: Fragen Sie, ob „18 Äpfel und 24 Orangen in gleiche Tüten“ den ggT oder das kgV braucht. Die Antwort ist der ggT, 6 Tüten.
• Primfaktorzerlegung: Fragen Sie nach ggT und kgV von 24 und 36 mit Faktorbaum oder Leiterverfahren. Die Antworten sind 12 und 72.
• Die Probe: Lassen Sie Ihr Kind die Ergebnisse durch Teilen beweisen: 12 teilt 24 und 36, und 24 und 36 teilen beide 72.

Das Spiel zum fehlenden Faktor baut den Divisionsabruf auf, auf dem jede dieser Proben beruht.

Ihre Checkliste zu ggT und kgV

• Die Definitionen sagen: Der ggT teilt beide Zahlen, und beide Zahlen teilen das kgV.
• Die Größe prüfen: Der ggT ist höchstens die kleinere Zahl, das kgV mindestens die größere.
• Das Verfahren nach Größe wählen: Auflisten unter 20, darüber Primfaktorzerlegung oder Leiterverfahren.
• Die Abkürzung nutzen: kgV = a · b : ggT für zwei Zahlen.
• Die Sachaufgabe zuordnen: Gleiche Gruppen und Kürzen brauchen den ggT; Treffpunkte und Hauptnenner das kgV.

Dieselben Fähigkeiten finden sich auf den Klassenseiten mit dem Mathespiel für die 4. Klasse und dem Mathespiel für die 6. Klasse, die die Spiele zu Teilern und Vielfachen nach Klassenstufe auflisten.

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