Så multiplicerar du bråk: regeln, areamodellen och blandad form

Tre fjärdedelar av kladdkakan är kvar, och ditt barns läxa i årskurs 5 frågar vad hälften av den kvarvarande biten är. När du kan multiplicera bråk blir frågan en enda rad: multiplicera täljarna, multiplicera nämnarna och förkorta. Att multiplicera bråk är enklare än att addera dem, eftersom det inte finns någon gemensam nämnare att leta fram, och samma tre steg gäller för heltal och tal i blandad form också.

Vad betyder det att multiplicera bråk?

Att multiplicera bråk betyder att hitta en andel av en mängd, så tecknet × kan läsas som ”av”. Frågan 1/2 × 3/4 frågar efter hälften av tre fjärdedelar, och svaret är 3/8.

Common Core-standarden 5.NF.B.4 ber elever i årskurs 5 i USA att använda och bygga vidare på sin förståelse av multiplikation för att multiplicera ett bråk eller ett heltal med ett bråk. Den formulerar regeln på en rad: ”(I allmänhet är (a/b) × (c/d) = ac/bd.)” I Sverige hör beräkningar med enkla tal i bråkform till Lgr22:s centrala innehåll för årskurs 4–6, och i årskurs 7–9 utvidgas det till lagar och regler för beräkningar med tal i bråk-, decimal- och potensform.

Varför svaret kan bli mindre

En produkt av bråk blir mindre när du multiplicerar med ett bråk som är mindre än 1, eftersom du bara tar en del av mängden. Standarden 5.NF.B.5 ber eleverna förklara varför en produkt blir mindre än det givna talet när talet multipliceras med ett bråk mindre än 1.

En areamodell visar regeln i arbete. Rita en kvadrat, dela den i 3 rader och 4 kolumner, skugga 3 av de 4 kolumnerna för 3/4 och 2 av de 3 raderna för 2/3. Överlappet täcker 2 × 3 = 6 av de 3 × 4 = 12 små rutorna, så 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2.

Så multiplicerar du bråk, steg för steg

Att multiplicera bråk tar tre steg (multiplicera täljarna, multiplicera nämnarna, förkorta) plus ett förberedande steg för heltal och tal i blandad form. Kapitlet om att multiplicera bråk i OpenStax Prealgebra säger samma sak: för att multiplicera bråk multiplicerar man täljarna och multiplicerar nämnarna.

1. Skriv varje tal som ett bråk. Ett heltal skrivs över 1, så 4 blir 4/1, och ett tal i blandad form blir ett bråk i bråkform, så 2 1/2 blir 5/2.
2. Förkorta gemensamma faktorer först, om det går. Leta efter en täljare och en nämnare som har en gemensam faktor, och dela båda med den. I 4/9 × 3/8 har 4 och 8 den gemensamma faktorn 4, och 3 och 9 har 3.
3. Multiplicera täljarna. Produkten av täljarna blir den nya täljaren: i 2/3 × 3/4 är 2 × 3 = 6.
4. Multiplicera nämnarna. Produkten av nämnarna blir den nya nämnaren: 3 × 4 = 12, så produkten är 6/12.
5. Förkorta svaret. Dela täljare och nämnare med deras största gemensamma delare: 6/12 delat med 6 blir 1/2.
6. Gör om ett svar i bråkform till blandad form. Om täljaren är större än nämnaren dividerar du: 10 : 3 är 3 med resten 1, alltså 3 1/3.

Spela gratis i webbläsarenMultiplikationstabellerÅk 3+

Förkorta först: genvägen med korsförkortning

Korsförkortning betyder att du delar en täljare och den motsatta nämnaren med samma faktor innan du multiplicerar, vilket håller talen små. OpenStax kallar det att ta bort gemensamma faktorer tidigare.

Ta 4/9 × 3/8. Dela 4 och 8 med 4 så får du 1 och 2, dela 3 och 9 med 3 så får du 1 och 3, och uppgiften blir 1/3 × 1/2 = 1/6. Att multiplicera först ger 12/72, som också förkortas till 1/6 men kräver en större gemensam faktor, och guiden om SGD och MGM visar hur du snabbt ser gemensamma faktorer.

Fyra sätt att multiplicera bråk jämförda

De fyra vanliga metoderna för att multiplicera bråk ger samma svar, och var och en passar ett eget tillfälle. Barn möter oftast upprepad addition och areamodellen först och går sedan vidare till regeln rakt över och förkortning.

Korsmultiplikation är ett annat verktyg

Korsmultiplikation jämför två bråk eller löser en proportion, och det är ett separat verktyg från att multiplicera bråk. För att jämföra 3/4 och 5/7 räknar du 3 × 7 = 21 och 4 × 5 = 20, så 3/4 är det större bråket.

För att lösa 2/3 = x/12 ger korsmultiplikation 3 × x = 2 × 12 = 24, så x = 8. Praktikguiden om bråkundervisning från What Works Clearinghouse rekommenderar att lärare hjälper eleverna att förstå varför procedurerna för beräkningar med bråk är rimliga, och det är just det areamodellen gör innan någon genväg.

Så multiplicerar du bråk med heltal och tal i blandad form

Ett bråk multipliceras med ett heltal genom att du skriver heltalet över 1 och multiplicerar rakt över. Standarden 4.NF.B.4 använder exemplet att se 3 × (2/5) som 6 × (1/5), vilket är 6/5, och ger regeln ”n × (a/b) = (n × a)/b”.

Heltalet multipliceras bara med täljaren. Standardens egen textuppgift frågar hur mycket rostbiff 5 personer behöver om var och en ska få 3/8 pound (ungefär 170 g): 5 × 3/8 = 15/8, vilket är 1 7/8 pound, alltså mellan 1 och 2.

Så multiplicerar du tal i blandad form

Tal i blandad form multipliceras genom att du först gör om vart och ett till bråkform. Multiplicera heltalet med nämnaren, addera täljaren och behåll nämnaren: 2 1/2 blir (2 × 2 + 1)/2 = 5/2, och 1 1/3 blir (1 × 3 + 1)/3 = 4/3.

Multiplicera sedan: 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3 = 3 1/3. Om du först korsförkortar 2 och 4 får du 5/1 × 2/3 = 10/3, samma svar med mindre tal.

Standarden 5.NF.B.6 ber eleverna lösa vardagsproblem med multiplikation av bråk och tal i blandad form. Ett recept är det vanliga fallet: en halv sats av ett recept som kräver 3/4 dl socker behöver 1/2 × 3/4 = 3/8 dl, och genomgången av bråk för föräldrar går igenom bråkform och blandad form från början.

Så kontrollerar du att multiplikationen av bråk har landat

Fem korta frågor visar om ett barn eller en vuxen kan multiplicera bråk med förståelse.

• Betydelsen ”av”: Fråga vad 1/2 × 3/4 betyder i ord. ”Hälften av tre fjärdedelar” är svaret att lyssna efter, och produkten är 3/8.
• Förkortning: Ge 3/5 × 10/21. Att förkorta 5 med 10 och 3 med 21 ger 1/1 × 2/7 = 2/7.
• Ett heltal: Be om 4 × 5/6. Svaret är 20/6 = 10/3 = 3 1/3, och svaret 20/24 betyder att 4:an hamnade i nämnaren också.
• Ett tal i blandad form: Be om 1 3/4 × 2/7. Svaret är 7/4 × 2/7 = 14/28 = 1/2.
• Känsla för storlek: Fråga, utan att räkna, om 7/8 × 15 är mer eller mindre än 15. Svaret är mindre, eftersom 7/8 är mindre än 1.

En veckokontroll på fem minuter

En kontroll på fem minuter en gång i veckan, med uträkningen nedskriven, visar mer än en lång sida med en enda sorts uppgift. Blanda en fråga av varje slag och titta på stegen, eftersom de flesta fel kommer från förberedelsen av heltal och tal i blandad form, inte från själva multiplikationen.

Den nationella kursplanen i England följer samma ordning. Kursplanen i matematik ber elever i Year 5 att multiplicera äkta bråk och tal i blandad form med heltal, med stöd av material och bilder, och elever i Year 6 att multiplicera enkla par av äkta bråk och skriva svaret i enklaste form.

Snabba multiplikationsfakta bär varje steg, och övningsbladet i multiplikation för årskurs 5 ger utskrivbar övning med facit. Spelet med den saknade faktorn tränar tänkandet ”vad gånger vad” som förkortning kräver.

Vanliga misstag när man multiplicerar bråk

Fyra misstag orsakar de flesta felsvaren när man multiplicerar bråk, och vart och ett har en fix på en rad.

• Att först leta fram en gemensam nämnare: Att göra om 1/2 × 1/3 till 3/6 × 2/6 ger 6/36, som blir 1/6 först efter en lång förkortning. Multiplicera nämnarna som de är: 1/2 × 1/3 = 1/6.
• Att addera nämnarna: Att skriva 1/2 × 1/3 = 1/5 blandar ihop reglerna för addition och multiplikation. Nämnarna multipliceras: 2 × 3 = 6, så svaret är 1/6.
• Att multiplicera heltalet med både täljare och nämnare: Att skriva 3 × 2/5 = 6/15 lämnar bråket oförändrat, eftersom 6/15 är 2/5. Skriv heltalet över 1 så att det bara når täljaren: 6/5.
• Att multiplicera tal i blandad form del för del: Att räkna 2 1/2 × 1 1/3 som 2 × 1 plus 1/2 × 1/3 ger 2 1/6, långt från det rätta svaret 3 1/3. Gör om båda till bråkform innan du multiplicerar.

Gränsfall: bråk med olika nämnare

Bråk med olika nämnare multipliceras på samma sätt som bråk med lika nämnare. Produkten 2/5 × 3/7 är 6/35, och 5/6 × 3/10 förkortas till 1/2 × 1/2 = 1/4, så en annan nämnare är aldrig ett skäl att byta metod.

Division med bråk är det räknesätt som lägger till ett steg: du vänder på det andra bråket och multiplicerar. Guiden om hur man dividerar bråk bygger vidare på samma regel.

Din checklista för att multiplicera bråk och nästa steg

• Läs × som ”av”: 1/2 × 3/4 är hälften av tre fjärdedelar.
• Förbered: skriv heltal över 1 och gör om tal i blandad form till bråkform.
• Förkorta: dela valfri täljare och valfri nämnare med en gemensam faktor.
• Multiplicera rakt över: täljare × täljare, nämnare × nämnare, ingen gemensam nämnare.
• Förenkla: förkorta svaret och gör om ett bråk i bråkform till blandad form.
• Uppskatta: en faktor mindre än 1 gör svaret mindre.

Föräldrar till barn i årskurs 5 hittar övning på rätt nivå på sidan med mattespel för årskurs 5, och vuxna som bygger upp sin taluppfattning igen kan börja med mattespelet för vuxna. Guiden om att lära ut multiplikation med uppställning hjälper när täljare och nämnare växer förbi multiplikationstabellen.

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad som matchar nivån till varje spelare, och daglig övning på 33 språk. Familjer kan tävla mot varandra i dueller i realtid för 2–5 spelare, och 22 av spelen går att spela gratis i webbläsaren utan konto.