Multiplier des fractions : la règle, le modèle d'aire et les nombres mixtes

Il reste trois quarts du plat de brownies, et le devoir de votre enfant demande ce que vaut la moitié de ce qui reste. Savoir multiplier des fractions règle la question en une ligne : on multiplie les numérateurs, on multiplie les dénominateurs, et on simplifie. Multiplier des fractions est plus simple que les additionner, car il n'y a pas de dénominateur commun à chercher, et les trois mêmes étapes valent aussi pour les nombres entiers et les nombres mixtes.

Que veut dire multiplier des fractions ?

Multiplier des fractions, c'est prendre une fraction d'une quantité : le signe × peut se lire « de ». La question 1/2 × 3/4 demande la moitié de trois quarts, et la réponse est 3/8.

Le standard américain Common Core 5.NF.B.4 demande aux élèves de grade 5, l'équivalent du CM2, d'« appliquer et étendre leur compréhension de la multiplication pour multiplier une fraction ou un nombre entier par une fraction ». Il donne la règle en une ligne : « (En général, (a/b) × (c/d) = ac/bd.) » En France, le programme de mathématiques du cycle 3 demande en 6e de « multiplier une fraction par un nombre entier », et le programme de mathématiques du cycle 4 place en 4e le fait de « calculer le produit de nombres rationnels » et de « calculer et représenter la fraction d'une fraction ».

Pourquoi le résultat peut devenir plus petit

Un produit de fractions devient plus petit quand on multiplie par une fraction inférieure à 1, car on ne prend qu'une partie de la quantité. Le standard 5.NF.B.5 demande aux élèves d'expliquer « pourquoi multiplier un nombre par une fraction inférieure à 1 donne un produit plus petit que ce nombre ».

Un modèle d'aire montre la règle en action. Dessinez un carré, partagez-le en 3 lignes et 4 colonnes, coloriez 3 colonnes sur 4 pour 3/4 et 2 lignes sur 3 pour 2/3. La zone commune couvre 2 × 3 = 6 des 3 × 4 = 12 petites cases, donc 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2.

Comment multiplier des fractions, étape par étape

Multiplier des fractions demande trois étapes (multiplier les numérateurs, multiplier les dénominateurs, simplifier) et une étape de préparation pour les nombres entiers et les nombres mixtes. Le chapitre d'OpenStax Prealgebra sur la multiplication des fractions le dit de la même façon : « Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs et on multiplie les dénominateurs. »

1. Écrivez chaque nombre sous forme de fraction. Un entier se met sur 1, donc 4 devient 4/1, et un nombre mixte devient une fraction supérieure à 1, donc 2 1/2 (deux et demi) devient 5/2.
2. Simplifiez d'abord les facteurs communs, si possible. Cherchez un numérateur et un dénominateur qui ont un facteur commun, et divisez les deux par ce facteur. Dans 4/9 × 3/8, 4 et 8 ont 4 en commun, et 3 et 9 ont 3 en commun.
3. Multipliez les numérateurs. Le produit des numérateurs donne le nouveau numérateur : dans 2/3 × 3/4, 2 × 3 = 6.
4. Multipliez les dénominateurs. Le produit des dénominateurs donne le nouveau dénominateur : 3 × 4 = 12, donc le produit vaut 6/12.
5. Simplifiez le résultat. Divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : 6/12 divisé par 6 donne 1/2.
6. Transformez une fraction supérieure à 1 en nombre mixte. Si le numérateur dépasse le dénominateur, divisez : 10 : 3 = 3, reste 1, donc 3 1/3.

Jouer gratuitement dans le navigateurTables de multiplicationCE2 et +

Simplifier d'abord : le raccourci de la simplification en croix

Simplifier en croix, c'est diviser un numérateur et le dénominateur opposé par le même facteur avant de multiplier, ce qui garde des nombres petits. OpenStax parle de « supprimer les facteurs communs plus tôt ».

Prenez 4/9 × 3/8. Divisez 4 et 8 par 4 pour obtenir 1 et 2, divisez 3 et 9 par 3 pour obtenir 1 et 3, et le calcul devient 1/3 × 1/2 = 1/6. Multiplier d'abord donne 12/72, qui se simplifie aussi en 1/6 mais avec un plus grand facteur commun, et le guide sur le PGCD et le PPCM montre comment repérer vite les facteurs communs.

Quatre façons de multiplier des fractions comparées

Les quatre méthodes courantes pour multiplier des fractions donnent le même résultat, et chacune convient à un moment différent. Les enfants rencontrent en général d'abord l'addition répétée et le modèle d'aire, puis passent à la règle directe et à la simplification.

Le produit en croix est un autre outil

Le produit en croix sert à comparer deux fractions ou à résoudre une proportion, et c'est un outil différent de la multiplication de fractions. Pour comparer 3/4 et 5/7, calculez 3 × 7 = 21 et 4 × 5 = 20 : 3/4 est la plus grande fraction.

Pour résoudre 2/3 = x/12, le produit en croix donne 3 × x = 2 × 12 = 24, donc x = 8. Le guide du What Works Clearinghouse sur l'enseignement des fractions recommande aux enseignants d'« aider les élèves à comprendre pourquoi les procédures de calcul sur les fractions ont du sens », et c'est le rôle du modèle d'aire avant tout raccourci.

Multiplier une fraction par un nombre entier ou un nombre mixte

On multiplie une fraction par un nombre entier en écrivant l'entier sur 1, puis en appliquant la règle directe. Le standard 4.NF.B.4 prend l'exemple de « 3 × (2/5) comme 6 × (1/5) », soit 6/5, et donne la règle « n × (a/b) = (n × a)/b ».

L'entier ne multiplie que le numérateur. Le problème du standard demande combien de rosbif il faut pour 5 personnes qui en mangent chacune 3/8 de livre (la livre américaine pèse environ 450 g) : 5 × 3/8 = 15/8, soit 1 7/8 livre, entre 1 et 2.

Comment multiplier des nombres mixtes

On multiplie des nombres mixtes en transformant d'abord chacun en fraction. Multipliez la partie entière par le dénominateur, ajoutez le numérateur et gardez le dénominateur : 2 1/2 devient (2 × 2 + 1)/2 = 5/2, et 1 1/3 devient (1 × 3 + 1)/3 = 4/3.

Puis multipliez : 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3 = 3 1/3. Simplifier d'abord le 2 et le 4 donne 5/1 × 2/3 = 10/3, le même résultat avec de plus petits nombres.

Le standard 5.NF.B.6 demande de « résoudre des problèmes de la vie courante faisant intervenir la multiplication de fractions et de nombres mixtes ». La recette est le cas classique : une demi-recette qui demande 3/4 de verre de sucre en prend 1/2 × 3/4 = 3/8 de verre, et le guide pour expliquer les fractions à votre enfant reprend depuis le début les fractions supérieures à 1 et les nombres mixtes.

Comment vérifier que la multiplication de fractions est acquise

Cinq questions courtes montrent si un enfant ou un adulte sait multiplier des fractions en comprenant ce qu'il fait.

• Le sens de « de » : demandez ce que veut dire 1/2 × 3/4 en mots. « La moitié de trois quarts » est la réponse à attendre, et le produit vaut 3/8.
• La simplification : donnez 3/5 × 10/21. Simplifier 5 avec 10 et 3 avec 21 donne 1/1 × 2/7 = 2/7.
• Un nombre entier : demandez 4 × 5/6. La réponse est 20/6 = 10/3 = 3 1/3, et une réponse de 20/24 veut dire que le 4 est aussi allé au dénominateur.
• Un nombre mixte : demandez 1 3/4 × 2/7. La réponse est 7/4 × 2/7 = 14/28 = 1/2.
• Le sens des grandeurs : demandez, sans calculer, si 7/8 × 15 est plus grand ou plus petit que 15. C'est plus petit, car 7/8 est inférieur à 1.

Un test de cinq minutes par semaine

Un test de cinq minutes une fois par semaine, avec les calculs écrits, en dit plus qu'une longue fiche d'un seul type d'exercice. Mélangez une question de chaque sorte et regardez les étapes, car la plupart des erreurs viennent de la préparation des entiers et des nombres mixtes, pas de la multiplication.

Le programme anglais suit le même ordre. Les programmes de mathématiques anglais demandent en Year 5 de « multiplier des fractions et des nombres mixtes par des nombres entiers, avec l'appui de matériel et de schémas », et en Year 6 de « multiplier des paires simples de fractions, en écrivant la réponse sous sa forme la plus simple ».

Des tables de multiplication rapides portent chaque étape, et la fiche de multiplication pour le CM2 propose un entraînement à imprimer avec son corrigé. Le jeu du facteur manquant entraîne le réflexe « combien fois combien » dont la simplification a besoin.

Les erreurs fréquentes quand on multiplie des fractions

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses quand on multiplie des fractions, et chacune a une correction en une ligne.

• Chercher d'abord un dénominateur commun : transformer 1/2 × 1/3 en 3/6 × 2/6 donne 6/36, qui ne vaut 1/6 qu'après une longue simplification. Multipliez les dénominateurs tels quels : 1/2 × 1/3 = 1/6.
• Additionner les dénominateurs : écrire 1/2 × 1/3 = 1/5 mélange les règles de l'addition et de la multiplication. Les dénominateurs se multiplient : 2 × 3 = 6, donc la réponse est 1/6.
• Multiplier l'entier en haut et en bas : écrire 3 × 2/5 = 6/15 laisse la fraction inchangée, car 6/15 vaut 2/5. Mettez l'entier sur 1 pour qu'il n'atteigne que le numérateur : 6/5.
• Multiplier les nombres mixtes morceau par morceau : calculer 2 1/2 × 1 1/3 comme 2 × 1 plus 1/2 × 1/3 donne 2 1/6, loin de la bonne réponse, 3 1/3. Transformez les deux en fractions avant de multiplier.

Cas limite : des fractions de dénominateurs différents

Des fractions de dénominateurs différents se multiplient de la même façon que des fractions de même dénominateur. Le produit 2/5 × 3/7 vaut 6/35, et 5/6 × 3/10 se simplifie en 1/2 × 1/2 = 1/4 : un dénominateur différent n'est jamais une raison de changer de méthode.

C'est la division de fractions qui ajoute une étape : on retourne la seconde fraction et on multiplie. Le guide sur la division de fractions s'appuie sur la même règle.

Votre pense-bête pour multiplier des fractions et la suite

• Lire × comme « de » : 1/2 × 3/4, c'est la moitié de trois quarts.
• Préparer : mettez les entiers sur 1 et transformez les nombres mixtes en fractions.
• Simplifier : divisez un numérateur et un dénominateur par un facteur commun.
• Multiplier directement : numérateur × numérateur, dénominateur × dénominateur, sans dénominateur commun.
• Simplifier le résultat : réduisez la fraction et transformez une fraction supérieure à 1 en nombre mixte.
• Estimer : un facteur inférieur à 1 rend le résultat plus petit.

Les parents d'élèves de CM2 trouveront un entraînement adapté au niveau sur la page jeu de maths pour le CM2, et les adultes qui reconstruisent leur sens des nombres peuvent commencer par le jeu de maths pour adultes. Le guide pour enseigner la multiplication posée aide quand les numérateurs et les dénominateurs dépassent les tables.

MathIt est une application gratuite pour iOS et Android, avec environ 90 types de jeux, une difficulté adaptative qui ajuste le niveau à chaque joueur, et un entraînement quotidien en 33 langues. Les familles peuvent s'affronter en duels en temps réel de 2 à 5 joueurs, et 22 des jeux se jouent gratuitement dans le navigateur, sans inscription.