Bruchrechnung für Eltern: was die Schule heute lehrt und wie Sie zu Hause helfen

Was ist ein Bruch, in Worten, die ein Kind versteht?

Ein Bruch ist eine Zahl, die sagt, wie viele gleich große Teile eines Ganzen Sie haben. Schneiden Sie ein Brot in 4 gleiche Stücke und essen 3 davon, dann haben Sie 3⁄4 gegessen. Das entscheidende Wort ist gleich: 4 unterschiedlich große Stücke sind keine Viertel.

Jeder Bruch hat zwei Zahlen, und Kinder verwechseln sie anfangs:

• Der Nenner (unten) sagt, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt ist. Er benennt die Größe des Stücks.
• Der Zähler (oben) sagt, wie viele dieser Teile Sie haben. Er zählt die Stücke.

Ein Bruch mit einer 1 oben heißt Stammbruch: 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4, 1⁄8. Aus diesen Brüchen baut die Schule alle anderen auf. Die amerikanischen Common-Core-Standards beschreiben 3⁄4 als drei Teile der Größe 1⁄4 (3.NF.A.1), und mit derselben Idee wird Ihr Kind später Brüche addieren: 3⁄4 ist 1⁄4 + 1⁄4 + 1⁄4.

Der Einstieg in die Brüche ist für die meisten Kinder das Teilen. Der Praxisleitfaden Developing Effective Fractions Instruction for Kindergarten Through 8th Grade des What Works Clearinghouse empfiehlt Lehrkräften, beim alltäglichen Teilen anzusetzen, das Kinder schon kennen. Zwei Kinder und ein Keks sind eine Lektion über Hälften, bevor irgendjemand eine Zahl aufschreibt.

Warum zeigt die Schule Brüche auf dem Zahlenstrahl?

Die Schule zeigt Brüche auf dem Zahlenstrahl, weil ein Bruch eine Zahl mit einer Größe ist und der Zahlenstrahl diese Größe sichtbar macht. Viele Eltern haben Brüche nur als Pizzastücke gelernt, und dieses Bild verdeckt etwas Wichtiges: 3⁄4 ist eine Zahl zwischen 0 und 1, so wie die 7 zwischen 6 und 8 liegt.

Der US-Standard für die 3. Klasse verlangt, einen Bruch als Zahl auf dem Zahlenstrahl zu verstehen (3.NF.A.2). So sieht das zu Hause aus:

1. Zeichnen Sie eine Linie und markieren Sie 0 am einen Ende und 1 am anderen.
2. Teilen Sie den Abstand dazwischen in 4 gleiche Sprünge.
3. Die erste Markierung ist 1⁄4. Zwei Sprünge von der 0 sind 2⁄4. Drei Sprünge sind 3⁄4.
4. Vier Sprünge landen auf der 1, also ist 4⁄4 = 1.

Der Leitfaden des What Works Clearinghouse empfiehlt den Zahlenstrahl als zentrales Darstellungsmittel von den ersten Schuljahren an. Das amerikanische National Mathematics Advisory Panel kam 2008 zu einem ähnlichen Schluss: Es nannte Schwierigkeiten mit Brüchen weit verbreitet und ein großes Hindernis auf dem Weg zur Algebra, und es sah im Einordnen von Brüchen auf dem Zahlenstrahl ein Bindeglied zwischen dem Verstehen von Brüchen und dem Rechnen mit ihnen.

Wie erklärt man das Erweitern und Kürzen von Brüchen?

Erweitern und Kürzen liefert verschiedene Namen für dieselbe Menge, zum Beispiel 1⁄2 = 2⁄4 = 4⁄8. Am schnellsten zeigen Sie das mit einem Papierstreifen.

1. Falten Sie einen Streifen in der Mitte und malen Sie eine Hälfte an. Das ist 1⁄2.
2. Falten Sie ihn noch einmal und öffnen Sie ihn. Der angemalte Teil bedeckt jetzt 2 von 4 gleichen Teilen: 2⁄4.
3. Falten Sie ein drittes Mal. Der angemalte Teil bedeckt 4 von 8 Teilen: 4⁄8.

Die angemalte Menge hat sich nie verändert. Die Stücke wurden kleiner, und es wurden mehr. Das ist schon die ganze Regel, und der US-Standard für die 4. Klasse fasst sie in einer Zeile: Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit derselben Zahl, erhalten Sie einen gleichwertigen Bruch (4.NF.A.1). In deutschen Schulbüchern heißt das Erweitern, der Rückweg heißt Kürzen: 4⁄8 = (4 ÷ 4)⁄(8 ÷ 4) = 1⁄2.

• 1⁄2 = (1 × 2)⁄(2 × 2) = 2⁄4
• 2⁄3 = (2 × 2)⁄(3 × 2) = 4⁄6
• 3⁄4 = (3 × 3)⁄(4 × 3) = 9⁄12

Jeder dieser Schritte ist eine Aufgabe aus dem Einmaleins, deshalb fällt einem Kind, das beim Einmaleins langsam ist, das Erweitern und Kürzen schwer. Ein paar Minuten Einmaleins-Training bringen hier mehr als zusätzliche Arbeitsblätter zu Brüchen.

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Wie vergleicht man Brüche?

Kinder vergleichen Brüche, indem sie fragen, was beide Brüche gemeinsam haben: denselben Nenner, denselben Zähler oder keines von beiden. Für jeden Fall gibt es einen schnellen Test.

Der häufigste Fehler ist der Gedanke, 1⁄8 sei größer als 1⁄4, weil 8 größer ist als 4. Der Leitfaden des What Works Clearinghouse beschreibt genau dieses Muster: Schülerinnen und Schüler halten Brüche mit größerem Nenner für größer. Die Abhilfe ist eine Frage über Menschen: Teilst du eine Pizza lieber mit 3 Freunden oder mit 7? Ihr Kind weiß die Antwort sofort, und die Antwort ist die Regel.

Ein weiterer Punkt aus den Standards verdient es, laut ausgesprochen zu werden: Ein Vergleich funktioniert nur, wenn sich beide Brüche auf dasselbe Ganze beziehen. Die Hälfte einer kleinen Pizza ist nicht dieselbe Menge wie die Hälfte einer großen. Größen vergleichen üben Kinder schon mit ganzen Zahlen, und eine Runde Zahlen vergleichen ist ein gutes Aufwärmen für die Zeichen größer als und kleiner als.

Wie addiert man Brüche mit verschiedenen Nennern?

Brüche mit verschiedenen Nennern lassen sich erst addieren, wenn beide in gleich große Stücke geteilt sind. Der US-Standard für die 5. Klasse nennt das, gegebene Brüche durch gleichwertige Brüche mit gleichem Nenner zu ersetzen (5.NF.A.1). Im deutschen Unterricht heißt dieser Schritt „gleichnamig machen“.

Beispiel zum Mitrechnen: 1⁄3 + 1⁄4.

1. Eine Zahl finden, in der beide Nenner aufgehen. Zählen Sie die 3er und die 4er hoch: Die 12 steht in beiden Reihen.
2. Jeden Bruch erweitern. 1⁄3 = 4⁄12 (oben und unten mal 4). 1⁄4 = 3⁄12 (oben und unten mal 3).
3. Die Zähler addieren, den Nenner behalten. 4⁄12 + 3⁄12 = 7⁄12.
4. Die Größe prüfen. Beide Brüche sind etwas kleiner als 1⁄2, also sollte das Ergebnis etwas größer als 1⁄2 sein. 7⁄12 ist etwas mehr als 6⁄12. Das passt.

Die klassische falsche Antwort ist 1⁄3 + 1⁄4 = 2⁄7, entstanden durch getrenntes Addieren von Zählern und Nennern. Der Leitfaden des WWC führt diesen Fehler darauf zurück, dass Kinder Brüche nicht als Zahlen mit einer Größe sehen, und schlägt eine Schätzung vor, um ihn zu erkennen. Die Schätzung funktioniert hier: 2⁄7 ist kleiner als 1⁄3, und wer 1⁄4 zu 1⁄3 addiert, kann nicht weniger haben als am Anfang. Der Standard für die 5. Klasse nutzt dieselbe Probe und erkennt 2⁄5 + 1⁄2 = 3⁄7 als falsch, weil 3⁄7 kleiner als 1⁄2 ist.

Eine Tafel Schokolade mit 12 Stücken macht das Beispiel greifbar. Ein Drittel der Tafel sind 4 Stücke, ein Viertel sind 3 Stücke, und zusammen sind es 7 der 12 Stücke.

Welche Brüche lernt Ihr Kind in welcher Klasse?

Die Bruchrechnung läuft in den USA nach den Common-Core-Standards von der 3. bis zur 5. Klasse, mit festen Nennern in jedem Schritt. Die Tabelle zeigt diese amerikanische Abfolge; die deutsche folgt darunter. Was Kinder in jeder Klasse in Mathe können sollten behandelt die anderen Bereiche für jede Klasse.

Deutsche Kinder begegnen Brüchen in der Grundschule nur im Alltag: Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz verlangen bis zum Ende der 4. Klasse, im Alltag gebräuchliche einfache Brüche im Zusammenhang mit Größen zu kennen, etwa eine Dreiviertelstunde oder einen Viertelliter. Die eigentliche Bruchrechnung folgt meist in der 6. Klasse, in manchen Bundesländern schon in der 5. Der bayerische Lehrplan für das Gymnasium, Klasse 6 fasst in einem Schuljahr zusammen, was in den USA drei Jahre dauert: Brüche als Zahlen deuten, am Zahlenstrahl darstellen, erweitern und kürzen, vergleichen, addieren, subtrahieren und in Dezimalbrüche umwandeln. Der Lehrplan unterscheidet sich je nach Bundesland und Schulform.

In der 5. Klasse lernen amerikanische Kinder auch, dass 3⁄4 dasselbe bedeutet wie 3 ÷ 4. Durch diese Verbindung zahlen sich auch Divisionsaufgaben aus: eine schnelle Runde Geteiltaufgaben oder ein Arbeitsblatt zur Division für die 3. Klasse hält sie frisch. Übungen auf dem Niveau der 4. Klasse finden Sie auf der Seite Mathespiel für die 4. Klasse.

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Aktivitäten am Küchentisch, die Brüche lehren

Kurze Aktivitäten zum Anfassen lehren Brüche zu Hause besser als ein Stapel Arbeitsblätter, weil Ihr Kind die gleichen Teile sehen und bewegen kann.

• Messbecher. Fragen Sie, wie viele Viertelliter in einen halben Liter passen. Es sind zwei, also 2⁄4 = 1⁄2, direkt vor Ihren Augen eingegossen. Probieren Sie dann, wie viele 1⁄8-Liter-Gläser einen Viertelliter füllen.
• Papier falten. Falten Sie ein Blatt in Hälften, Viertel und Achtel und malen Sie jedes Mal dieselbe Menge an. Legen Sie die Streifen nebeneinander und benennen Sie die gleichwertigen Brüche.
• Eine Tafel Schokolade teilen. Nehmen Sie eine Tafel mit 12 Stücken. Fragen Sie nach 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4 und 1⁄6 der Tafel in Stücken: 6, 4, 3 und 2.
• Einen Kuchen oder eine Pizza schneiden. Schneiden Sie sie in 8 gleiche Stücke. Fragen Sie, ob 3⁄8 oder 1⁄2 mehr ist, und lassen Sie Ihr Kind zum Prüfen zählen.
• Ein Zahlenstrahl am Kühlschrank. Kleben Sie einen Papierstreifen von 0 bis 1 an und tragen Sie jeden Abend einen neuen Bruch ein.

Bleiben Sie bei zehn Minuten und hören Sie auf, solange es sich noch leicht anfühlt. Weitere Ideen für gemeinsames Rechnen finden Sie auf der Seite Mathespiele für Eltern und Kinder.