Was besagt das Kommutativgesetz?

Das Kommutativgesetz, auch Vertauschungsgesetz, besagt, dass die Reihenfolge zweier Zahlen das Ergebnis nicht ändert: a · b = b · a bei der Multiplikation und a + b = b + a bei der Addition. Zum Beispiel ist 6 · 4 = 4 · 6 = 24. Für Subtraktion und Division gilt es nicht, denn 7 − 3 = 4, aber 3 − 7 = −4.

Was besagt das Assoziativgesetz?

Das Assoziativgesetz, auch Verbindungsgesetz, besagt, dass die Klammerung von drei Zahlen das Ergebnis nicht ändert, wenn alle multipliziert oder alle addiert werden: (a · b) · c = a · (b · c). Zum Beispiel ist (2 · 3) · 4 = 6 · 4 = 24 und 2 · (3 · 4) = 2 · 12 = 24. Sie können die Klammern verschieben, um zuerst einen Zehner oder Hunderter zu bilden.

Wie wendet man das Distributivgesetz an?

Das Distributivgesetz wendet man an, indem man einen Faktor in zwei leichtere Teile zerlegt, jeden Teil mit dem anderen Faktor multipliziert und die beiden Produkte addiert. Bei 6 · 14 zerlegen Sie 14 in 10 + 4, rechnen 6 · 10 = 60 und 6 · 4 = 24 und addieren zu 84. Beide Teile müssen multipliziert werden.

Was bedeutet das Distributivgesetz?

Das Distributivgesetz, auch Verteilungsgesetz, bedeutet, dass eine Zahl mal eine Summe dasselbe ergibt wie die Zahl mal jeden Summanden, danach addiert: a · (b + c) = a · b + a · c. Die Multiplikation wird auf jedes Glied in der Klammer verteilt, also 3 · (2 + 5) = 6 + 15 = 21.

Was besagt das Kommutativgesetz der Addition?

Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass man zwei Zahlen in beliebiger Reihenfolge addieren kann und dieselbe Summe erhält: a + b = b + a. Zum Beispiel ist 3 + 9 = 9 + 3 = 12, also darf ein Kind von der größeren Zahl aus weiterzählen. Die Subtraktion ist nicht kommutativ, denn 9 − 3 = 6, aber 3 − 9 = −6.

Rechengesetze der Multiplikation mit Beispielen

Q: Welche Rechengesetze gelten für die Multiplikation?

Für die Multiplikation gelten fünf Regeln, die für jede Zahl stimmen: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz sowie die Regeln für 1 und 0. Reihenfolge und Klammern ändern ein Produkt nie, also ist 3 · 5 = 5 · 3. Das Distributivgesetz zerlegt einen Faktor, also 7 · 8 = 7 · 5 + 7 · 3 = 56. Mal 1 bleibt die Zahl gleich, mal 0 ergibt 0.

Ihr Kind weiß 7 · 5 = 35 auswendig, stockt aber bei 7 · 8, und auf dem Arbeitsblatt steht „Nutze das Distributivgesetz“. Die Rechengesetze der Multiplikation sind die fünf Regeln, mit denen eine bekannte Aufgabe eine unbekannte löst: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz und die Regeln für 1 und 0. Sobald ein Kind sieht, dass 7 · 8 dasselbe ist wie 7 · 5 plus 7 · 3, ist das Einmaleins nicht mehr 100 einzelne Aufgaben zum Auswendiglernen.

Welche Rechengesetze gelten für die Multiplikation?

Die Rechengesetze der Multiplikation gelten für jede Zahl, egal wie groß sie ist. Das Kommutativgesetz erlaubt, die Reihenfolge zu tauschen, das Assoziativgesetz erlaubt, neu zu gruppieren, das Distributivgesetz erlaubt, einen Faktor zu zerlegen, und die Regeln für 1 und 0 sagen, was diese beiden Zahlen bewirken.

In Bayern beginnt die Arbeit damit in der 1. und 2. Klasse. Der LehrplanPLUS Grundschule Mathematik 1/2 verlangt, dass die Kinder Tauschaufgaben und Nachbaraufgaben als Rechenstrategien nutzen und die Kernaufgaben des kleinen Einmaleins zur Lösung weiterer Aufgaben verwenden, mit dem Beispiel 9 · 8 = 10 · 8 − 1 · 8 = 80 − 8 = 72. Die Namen der Gesetze kommen später: Der LehrplanPLUS für die 5. Klasse am Gymnasium nennt Rechenvorteile durch Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz und zeigt, dass manche Kopfrechenstrategien aus der Grundschule Anwendungen des Distributivgesetzes sind. In den USA steht dasselbe im Common-Core-Standard 3.OA.B.5 für die 3. Klasse.

Warum das Kommutativgesetz das Einmaleins auf 55 Aufgaben verkürzt

Das Kommutativgesetz bedeutet, dass das kleine Einmaleins bis 10 · 10 nur 55 verschiedene Aufgaben enthält statt 100. Die Tafel hat 100 Felder, und 10 davon sind Quadrataufgaben wie 7 · 7. Die übrigen 90 Felder bilden Paare von Tauschaufgaben wie 3 · 8 und 8 · 3, das sind 45 Paare, und 45 + 10 = 55.

Ein Punktefeld zeigt, warum die Reihenfolge egal ist. Drei Reihen mit 5 Punkten und fünf Reihen mit 3 Punkten sind dieselben 15 Punkte, nur um eine Vierteldrehung gedreht.

Zwei Punktefelder nebeneinander: 3 Reihen mit 5 blauen Punkten und 5 Reihen mit 3 orangen Punkten, jeweils mit dem Produkt beschriftet, also 3 · 5 = 5 · 3 = 15.

Das Distributivgesetz anwenden: Schritt für Schritt

Das Distributivgesetz besagt, dass eine Zahl mal eine Summe dasselbe ergibt wie die Zahl mal jeden Teil, danach addiert. Der Abschnitt zum Distributivgesetz in OpenStax Prealgebra schreibt es für reelle Zahlen a, b, c als a(b + c) = ab + ac. In der Praxis macht es aus einer schweren Aufgabe zwei leichte.

Den schwereren Faktor wählen. Bei 7 · 8 zerlegen Sie die 8, weil 7 · 5 und 7 · 3 leichter sind als 7 · 8.
In bequeme Teile zerlegen. Wählen Sie Teile, die das Kind schon kennt: 8 = 5 + 3 oder 14 = 10 + 4. Fünfer und Zehner sind die üblichen Anker.
Jeden Teil mit dem anderen Faktor multiplizieren. Rechnen Sie 7 · 5 = 35 und 7 · 3 = 21. Schreiben Sie beide Produkte auf, bevor Sie addieren.
Die Teilprodukte addieren. 35 + 21 = 56, also ist 7 · 8 = 56. Bei einer größeren Zahl: 6 · 14 = 6 · 10 + 6 · 4 = 60 + 24 = 84.
Mit einer zweiten Zerlegung prüfen. Zerlegen Sie anders: 7 · 8 = 7 · 4 + 7 · 4 = 28 + 28 = 56. Zwei Wege mit demselben Ergebnis machen die Aufgabe sicher.

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Der häufigste Fehler: nur den ersten Teil multiplizieren

Der häufigste Fehler beim Distributivgesetz ist, den ersten Teil der Summe zu multiplizieren und den zweiten zu vergessen. Ein Kind schreibt 6 · (10 + 4) = 60 + 4 = 64 statt 60 + 24 = 84. Die Lösung: einen Pfeil von der 6 zu jeder Zahl in der Klammer zeichnen und die Produkte zählen, denn zwei Teile bedeuten zwei Multiplikationen.

Dieselbe Zerlegung steckt hinter der schriftlichen Multiplikation. Die Teilprodukte bei 23 · 4 sind 20 · 4 = 80 und 3 · 4 = 12, zusammen 92, und der Leitfaden zum Unterrichten der schriftlichen Multiplikation baut das ganze Verfahren auf diesem Schritt auf.

Die fünf Regeln der Multiplikation im Vergleich

Die fünf Regeln der Multiplikation passen in eine Tabelle: Jede hat eine Regel mit Buchstaben, ein Zahlenbeispiel und eine Aufgabe beim Einmaleins. Die Buchstabenregeln folgen Tabelle 3 im Glossar der Common Core und dem OpenStax-Abschnitt zu neutralem Element, Inversen und Null, der festhält, dass das Produkt jeder Zahl mit 0 gleich 0 ist.

Regel	Formel	Zahlenbeispiel	Wobei es hilft
Kommutativgesetz	a · b = b · a	3 · 5 = 5 · 3 = 15	Verkürzt das Einmaleins von 100 auf 55 Aufgaben
Assoziativgesetz	(a · b) · c = a · (b · c)	(2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24	Neu gruppieren, um zuerst 10 oder 100 zu bilden
Distributivgesetz	a · (b + c) = a · b + a · c	7 · 8 = 7 · 5 + 7 · 3 = 56	Schwere Aufgaben aus leichten bauen; schriftliche Multiplikation
Mal 1 (neutrales Element)	a · 1 = 1 · a = a	9 · 1 = 9	Die ganze Einerreihe, und Erweitern von Brüchen
Mal 0	a · 0 = 0 · a = 0	0 · 8 = 0	Die ganze Nullerreihe, und einen Faktor 0 erkennen

Welches Rechengesetz man zuerst üben sollte

Das Kommutativgesetz übt man zuerst, weil es sich sofort auszahlt. Auch der nationale Lehrplan in England verlangt in Year 2, zu zeigen, dass man zwei Zahlen in beliebiger Reihenfolge multiplizieren kann (kommutativ), eine Zahl durch eine andere aber nicht in beliebiger Reihenfolge teilen kann (Mathematiklehrpläne für England).

Danach kommen die Regeln für 1 und 0, weil sie zwei ganze Reihen der Tafel erledigen. Derselbe Lehrplan nennt in Year 4 das Multiplizieren mit 0 und 1 und das Distributivgesetz für zweistellige mal einstellige Zahlen, mit dem Beispiel 39 · 7 = 30 · 7 + 9 · 7, also 210 + 63 = 273. Die Schritte in Einmaleins schnell lernen folgen derselben Reihenfolge.

Kopfrechnen mit den Rechengesetzen

Die Rechengesetze der Multiplikation sind der Motor hinter den meisten Kopfrechentricks. Kommutativ- und Assoziativgesetz zusammen erlauben, jede Kette von Faktoren umzuordnen und neu zu gruppieren, um einen Zehner oder Hunderter zu finden.

Nehmen Sie 4 · 7 · 25. Tauschen und gruppieren Sie zu 7 · (4 · 25) = 7 · 100 = 700. Genauso ist 5 · 18 = 5 · (2 · 9) = (5 · 2) · 9 = 10 · 9 = 90.

Das Beispiel der Common Core zeigt beide Reihenfolgen: 3 · 5 · 2 rechnet man als 3 · 5 = 15, dann 15 · 2 = 30, oder als 5 · 2 = 10, dann 3 · 10 = 30.

Das Distributivgesetz hilft auch bei Preisen und Dezimalzahlen. Drei Kinokarten zu je 9,25 € kosten 3 · (9 + 0,25) = 27 + 0,75 = 27,75 €. Weitere Abkürzungen dieser Art stehen in Kopfrechentricks, die funktionieren.

Eine Übungsregel: das Flächenmodell zeichnen

Ein Flächenmodell macht das Distributivgesetz sichtbar, und das hilft Kindern, die die Teile aus den Augen verlieren. Zeichnen Sie ein Rechteck aus 7 Kästchen Höhe und 8 Kästchen Breite, trennen Sie es nach der fünften Spalte und zählen Sie jeden Teil: 7 · 5 = 35 Kästchen und 7 · 3 = 21 Kästchen. Der Common-Core-Standard 3.MD.C.7c verlangt, das Distributivgesetz mit Flächenmodellen darzustellen.

Ein Flächenmodell für 7 · 8: ein Raster aus 7 mal 8 Kästchen, durch eine gestrichelte Linie geteilt in einen blauen Teil 7 mal 5 mit der Zahl 35 und einen orangen Teil 7 mal 3 mit der Zahl 21, also 7 · 8 = 7 · 5 + 7 · 3 = 35 + 21 = 56.

Eine Zahl in Faktoren zu zerlegen ist dieselbe Fähigkeit wie das Finden des größten gemeinsamen Teilers, und der Leitfaden zu ggT und kgV zeigt, wie aus 36 + 8 die Rechnung 4 · (9 + 2) = 44 wird.

So prüfen Sie, ob die Rechengesetze sitzen

Fünf kurze Fragen zeigen, ob ein Kind oder ein Erwachsener die Rechengesetze nutzt oder nur Ergebnisse aufsagt.

Tauschaufgabe: Fragen Sie: „Wenn 6 · 9 = 54 ist, was ist dann 9 · 6?“ Ein schnelles „54“ ohne Rechnen heißt, dass das Kommutativgesetz angekommen ist.
Zerlegen: Fragen Sie nach 8 · 7 mit Hilfe von 8 · 5. Die Antwort, auf die Sie hören, ist 40 + 16 = 56.
Neu gruppieren: Geben Sie 2 · 13 · 5. Ein Kind, das 10 · 13 = 130 sieht, nutzt das Assoziativgesetz.
Null und Eins: Fragen Sie nach 0 · 12 und 1 · 12. Die Antworten sind 0 und 12; sie zu verwechseln ist häufig.
Erklären: Fragen Sie, warum 4 · 6 = 4 · 3 + 4 · 3 ist. „Weil 6 gleich 3 + 3 ist“ genügt.

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Ein Zwei-Minuten-Test pro Woche

Ein Zwei-Minuten-Test einmal pro Woche, bei dem das Kind laut rechnet, zeigt mehr als eine Seite Drill. Mischen Sie je eine Frage jeder Art und notieren Sie, zu welcher Regel das Kind greift. Kinder, die jede Antwort durch Weiterzählen in Schritten finden, schließen die Lücke mit den Mustern aus Zählen in Schritten erklärt.

Typische Fehler und Sonderfälle

Fünf Fehler verursachen die meisten falschen Antworten bei den Rechengesetzen, und jeder hat eine kurze Korrektur.

Subtraktion oder Division vertauschen: OpenStax zeigt, dass 12 : 4 = 3, aber 4 : 12 = 1/3, und dass 7 − 3 = 4, aber 3 − 7 = −4. Nur Addition und Multiplikation sind kommutativ.
Division neu gruppieren: (24 : 4) : 2 = 3, aber 24 : (4 : 2) = 12. Division und Subtraktion sind nicht assoziativ, also bleiben die Klammern, wo sie sind.
0 und 1 verwechseln: 8 · 0 = 0 und 8 · 1 = 8. Ein Kind, das 8 · 0 = 8 schreibt, wendet die Regel der Addition 8 + 0 = 8 an.
Über ein Produkt verteilen: 2 · (3 · 4) ist 24, aber 2 · 3 · 2 · 4 ist 48. Das Distributivgesetz gilt über eine Summe oder Differenz, nie über ein Produkt.
Vor dem Multiplizieren addieren: 7 · 5 + 7 · 3 bedeutet, dass zuerst die beiden Produkte berechnet werden. Der Leitfaden zu Punkt vor Strich erklärt, warum: Wer (7 · 5 + 7) · 3 rechnet, erhält 126 statt 56.

Sonderfall: das Distributivgesetz bei der Subtraktion

Das Distributivgesetz gilt auch bei der Subtraktion: a · (b − c) = a · b − a · c, eine der weiteren Formen, die OpenStax aufführt. Es macht die Neunerreihe leicht: 8 · 9 = 8 · 10 − 8 · 1 = 80 − 8 = 72, und 6 · 99 = 600 − 6 = 594.

Bei der Division darf man nur verteilen, wenn die Summe geteilt wird. (20 + 8) : 4 = 5 + 2 = 7 stimmt, aber 24 : (4 + 2) ist 24 : 6 = 4, während 24 : 4 + 24 : 2 = 6 + 12 = 18 ergibt.

Ihre Checkliste zu den Rechengesetzen und die nächsten Schritte

Kommutativgesetz: eine Aufgabe lernen, die Tauschaufgabe gibt es gratis.
Mal 1 und mal 0: die Einer- und die Nullerreihe sind erledigt.
Distributivgesetz: den schweren Faktor in Fünfer oder Zehner zerlegen und beide Teile multiplizieren.
Assoziativgesetz: drei Faktoren so gruppieren, dass zuerst 10 oder 100 entsteht.
Prüfen: Subtraktion und Division behalten ihre Reihenfolge und ihre Klammern.

Übungen für die 3. und 4. Klasse finden Sie auf der Seite mit dem Einmaleins-Spiel, wo die Aufgaben, die die Rechengesetze erschließen, zu schnellem Abrufen werden.

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