Multiplicar fracciones: la regla, el modelo de área y los números mixtos

Quedan tres cuartos de la bandeja de brownie, y los deberes de 5.º de primaria de tu hijo (10 a 11 años) preguntan cuánto es la mitad de ese trozo. Saber multiplicar fracciones convierte la pregunta en una línea: multiplica los de arriba, multiplica los de abajo y simplifica. Multiplicar fracciones es más fácil que sumarlas, porque no hay que buscar un denominador común, y los mismos tres pasos sirven también para números enteros y números mixtos.

¿Qué significa multiplicar fracciones?

Multiplicar fracciones significa calcular una fracción de una cantidad, así que el signo × se puede leer como «de». La pregunta 1/2 × 3/4 pide la mitad de tres cuartos, y la respuesta es 3/8.

En España, el currículo de Educación Primaria de la LOMLOE (Real Decreto 157/2022) pide en el tercer ciclo, es decir, en 5.º y 6.º de primaria (10 a 12 años), resolver operaciones aritméticas «con números naturales, decimales y fracciones» con flexibilidad y sentido. En Estados Unidos, el estándar Common Core 5.NF.B.4 pide a los alumnos de quinto grado «aplicar y ampliar lo que ya saben de la multiplicación para multiplicar una fracción o un número entero por una fracción», y resume la regla en una línea: «en general, (a/b) × (c/d) = ac/bd».

Por qué el resultado puede salir más pequeño

Un producto de fracciones sale más pequeño cuando multiplicas por una fracción menor que 1, porque solo tomas una parte de la cantidad. El estándar 5.NF.B.5 pide explicar «por qué multiplicar un número por una fracción menor que 1 da un producto menor que ese número».

Un modelo de área muestra la regla en acción. Dibuja un cuadrado, divídelo en 3 filas y 4 columnas, colorea 3 de las 4 columnas para 3/4 y 2 de las 3 filas para 2/3. La zona común cubre 2 × 3 = 6 de las 3 × 4 = 12 casillas, así que 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2.

Cómo multiplicar fracciones paso a paso

Multiplicar fracciones lleva tres pasos (multiplicar los numeradores, multiplicar los denominadores y simplificar) y un paso de preparación para números enteros y números mixtos. El capítulo de OpenStax Prealgebra sobre multiplicar fracciones lo dice igual: «Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores y multiplicamos los denominadores».

1. Escribe cada número como fracción. Un número entero va sobre 1, así que 4 pasa a 4/1, y un número mixto pasa a fracción impropia, así que 2 1/2 pasa a 5/2.
2. Simplifica antes, si puedes. Busca un numerador y un denominador que compartan un factor y divide los dos entre él. En 4/9 × 3/8, el 4 y el 8 comparten el 4, y el 3 y el 9 comparten el 3.
3. Multiplica los numeradores. El producto de los de arriba es el nuevo numerador: en 2/3 × 3/4, 2 × 3 = 6.
4. Multiplica los denominadores. El producto de los de abajo es el nuevo denominador: 3 × 4 = 12, así que el producto es 6/12.
5. Simplifica el resultado. Divide el numerador y el denominador entre su máximo común divisor: 6/12 dividido entre 6 es 1/2.
6. Pasa un resultado impropio a número mixto. Si el numerador es mayor que el denominador, divide: 10/3 es 3 y resto 1, así que 3 1/3.

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Simplifica primero: el atajo de simplificar en cruz

Simplificar en cruz significa dividir un numerador y el denominador de la otra fracción entre el mismo factor antes de multiplicar, lo que mantiene los números pequeños. OpenStax lo llama «eliminar antes los factores comunes».

Toma 4/9 × 3/8. Divide el 4 y el 8 entre 4 para obtener 1 y 2, divide el 3 y el 9 entre 3 para obtener 1 y 3, y el problema pasa a 1/3 × 1/2 = 1/6. Multiplicar primero da 12/72, que también se simplifica a 1/6 pero pide un factor común más grande, y la guía de MCD y mcm enseña a ver rápido los factores comunes.

Cuatro formas de multiplicar fracciones, comparadas

Los cuatro métodos habituales para multiplicar fracciones dan el mismo resultado, y cada uno encaja en un momento distinto. Los niños suelen conocer primero la suma repetida y el modelo de área, y después pasan a la regla en línea y a simplificar.

Multiplicar en cruz es otra herramienta

Multiplicar en cruz sirve para comparar dos fracciones o resolver una proporción, y es una herramienta distinta de multiplicar fracciones. Para comparar 3/4 y 5/7, calcula 3 × 7 = 21 y 4 × 5 = 20, así que 3/4 es la fracción mayor.

Para resolver 2/3 = x/12, multiplicar en cruz da 3 × x = 2 × 12 = 24, así que x = 8. La guía práctica del What Works Clearinghouse sobre fracciones recomienda a los docentes «ayudar al alumnado a entender por qué tienen sentido los procedimientos de cálculo con fracciones», que es justo lo que hace el modelo de área antes de cualquier atajo.

Cómo multiplicar fracciones por números enteros y números mixtos

Una fracción se multiplica por un número entero escribiendo el entero sobre 1 y multiplicando en línea. El estándar 4.NF.B.4 usa el ejemplo «3 × (2/5) como 6 × (1/5)», que es 6/5, y da la regla «n × (a/b) = (n × a)/b».

El entero multiplica solo al numerador. El problema del propio estándar pregunta cuánta carne asada necesitan 5 personas si cada una come 3/8 de libra (unos 170 g): 5 × 3/8 = 15/8, que es 1 7/8 libras, entre 1 y 2.

Cómo multiplicar números mixtos

Los números mixtos se multiplican pasando antes cada uno a fracción impropia. Multiplica el entero por el denominador, suma el numerador y deja el denominador: 2 1/2 pasa a (2 × 2 + 1)/2 = 5/2, y 1 1/3 pasa a (1 × 3 + 1)/3 = 4/3.

Después multiplica: 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3 = 3 1/3. Si simplificas antes el 2 con el 4, obtienes 5/1 × 2/3 = 10/3, el mismo resultado con números más pequeños.

El estándar 5.NF.B.6 pide «resolver problemas de la vida real con multiplicación de fracciones y números mixtos». Una receta es el caso típico: media receta que lleva 3/4 de taza de azúcar necesita 1/2 × 3/4 = 3/8 de taza, y la explicación de las fracciones para padres cubre las fracciones impropias y los números mixtos desde el principio.

Cómo comprobar que la multiplicación de fracciones se ha entendido

Cinco preguntas cortas muestran si un niño o un adulto multiplica fracciones entendiendo lo que hace.

• El significado de «de»: Pregunta qué significa 1/2 × 3/4 con palabras. «La mitad de tres cuartos» es la respuesta que hay que oír, y el producto es 3/8.
• Simplificar: Propón 3/5 × 10/21. Simplificar el 5 con el 10 y el 3 con el 21 da 1/1 × 2/7 = 2/7.
• Un número entero: Pide 4 × 5/6. La respuesta es 20/6 = 10/3 = 3 1/3, y una respuesta de 20/24 significa que el 4 también se fue al denominador.
• Un número mixto: Pide 1 3/4 × 2/7. La respuesta es 7/4 × 2/7 = 14/28 = 1/2.
• Sentido del tamaño: Pregunta, sin hacer la cuenta, si 7/8 × 15 es más o menos que 15. Es menos, porque 7/8 es menor que 1.

Una prueba semanal de cinco minutos

Una prueba de cinco minutos una vez por semana, con el razonamiento por escrito, dice más que una ficha larga de un solo tipo de problema. Mezcla una pregunta de cada clase y mira los pasos, porque la mayoría de los errores vienen de preparar los enteros y los números mixtos, no de la multiplicación.

El currículo nacional de Inglaterra sigue el mismo orden. Sus programas de matemáticas piden en Year 5 (9 a 10 años) «multiplicar fracciones propias y números mixtos por números enteros, con ayuda de materiales y diagramas», y en Year 6 (10 a 11 años) «multiplicar parejas sencillas de fracciones propias, escribiendo el resultado en su forma más simple».

Las tablas de multiplicar rápidas sostienen cada paso, y la ficha de multiplicación para quinto ofrece práctica imprimible con solucionario. El juego del factor que falta entrena el «qué por qué» que necesita la simplificación.

Errores frecuentes al multiplicar fracciones

Cuatro errores explican la mayoría de los fallos al multiplicar fracciones, y cada uno tiene un remedio de una línea.

• Buscar primero un denominador común: Convertir 1/2 × 1/3 en 3/6 × 2/6 da 6/36, que es 1/6 solo después de una simplificación larga. Multiplica los denominadores tal como están: 1/2 × 1/3 = 1/6.
• Sumar los denominadores: Escribir 1/2 × 1/3 = 1/5 mezcla las reglas de la suma y de la multiplicación. Los denominadores se multiplican: 2 × 3 = 6, así que el resultado es 1/6.
• Multiplicar el entero arriba y abajo: Escribir 3 × 2/5 = 6/15 deja la fracción igual, porque 6/15 es 2/5. Pon el entero sobre 1 para que solo llegue al numerador: 6/5.
• Multiplicar los números mixtos por partes: Resolver 2 1/2 × 1 1/3 como 2 × 1 más 1/2 × 1/3 da 2 1/6, lejos del resultado correcto, 3 1/3. Pasa los dos a fracciones impropias antes de multiplicar.

Caso límite: fracciones con distinto denominador

Las fracciones con distinto denominador se multiplican igual que las que tienen el mismo. El producto 2/5 × 3/7 es 6/35, y 5/6 × 3/10 se simplifica a 1/2 × 1/2 = 1/4, así que un denominador distinto nunca es motivo para cambiar de método.

Dividir fracciones es la operación que añade un paso: le das la vuelta a la segunda fracción y multiplicas. La guía sobre cómo dividir fracciones se apoya en la misma regla.

Tu lista de comprobación para multiplicar fracciones y siguientes pasos

• Lee × como «de»: 1/2 × 3/4 es la mitad de tres cuartos.
• Prepara: pon los enteros sobre 1 y pasa los números mixtos a fracciones impropias.
• Simplifica antes: divide cualquier numerador y cualquier denominador entre un factor común.
• Multiplica en línea: arriba × arriba, abajo × abajo, sin denominador común.
• Simplifica: reduce el resultado y pasa una fracción impropia a número mixto.
• Estima: un factor menor que 1 da un resultado más pequeño.

Los padres de niños de 10 a 11 años encontrarán práctica para su curso en la página de juegos de matemáticas para quinto, y los adultos que quieren recuperar el sentido numérico pueden empezar con el juego de matemáticas para adultos. La guía sobre cómo enseñar la multiplicación por varias cifras ayuda cuando los numeradores y los denominadores se salen de las tablas.

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