Como multiplicar frações: a regra, o modelo de área e os números mistos

Sobraram três quartos da assadeira de brownie, e a lição de casa do seu filho pergunta quanto é a metade dessa sobra. Saber multiplicar frações transforma a pergunta numa linha só: multiplique os numeradores, multiplique os denominadores e simplifique. A multiplicação de frações é mais fácil que a soma, porque não há denominador comum para achar, e os mesmos três passos valem também para números inteiros e números mistos.

O que quer dizer multiplicar frações?

Multiplicar frações é achar uma fração de uma quantidade, então o sinal × pode ser lido como "de". A conta 1/2 × 3/4 pede a metade de três quartos, e a resposta é 3/8.

No Brasil, a BNCC pede no 6º ano o "cálculo da fração de uma quantidade" (EF06MA09) e, no 7º ano, "compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais" (EF07MA11). O padrão 5.NF.B.4 do Common Core pede no 5º ano americano aplicar o que a criança já sabe de multiplicação para multiplicar uma fração ou um número inteiro por uma fração, e resume a regra numa linha: "(a/b) × (c/d) = ac/bd".

Por que o resultado pode ficar menor

Um produto de frações fica menor quando você multiplica por uma fração menor que 1, porque pega só uma parte da quantidade. O padrão 5.NF.B.5 pede que o aluno explique por que multiplicar um número por uma fração menor que 1 dá um produto menor que esse número.

O modelo de área mostra a regra funcionando. Desenhe um quadrado, divida em 3 linhas e 4 colunas, pinte 3 das 4 colunas para 3/4 e 2 das 3 linhas para 2/3. A sobreposição cobre 2 × 3 = 6 dos 3 × 4 = 12 quadradinhos, então 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2.

Como multiplicar frações, passo a passo

A multiplicação de frações tem três passos (multiplicar os numeradores, multiplicar os denominadores, simplificar), mais um passo de preparação para números inteiros e números mistos. O capítulo de multiplicação de frações do OpenStax Prealgebra diz o mesmo: para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores.

1. Escreva todo número como fração. Um número inteiro vai sobre 1, então 4 vira 4/1, e um número misto vira fração imprópria, então 2 1/2 vira 5/2.
2. Simplifique os fatores comuns antes, se der. Procure um numerador e um denominador que tenham um fator em comum e divida os dois por ele. Em 4/9 × 3/8, 4 e 8 têm o fator 4, e 3 e 9 têm o fator 3.
3. Multiplique os numeradores. O produto dos números de cima é o novo numerador: em 2/3 × 3/4, 2 × 3 = 6.
4. Multiplique os denominadores. O produto dos números de baixo é o novo denominador: 3 × 4 = 12, então o produto é 6/12.
5. Simplifique a resposta. Divida o numerador e o denominador pelo MDC: 6/12 dividido por 6 dá 1/2.
6. Transforme uma resposta imprópria em número misto. Se o numerador for maior que o denominador, divida: 10/3 dá 3 com resto 1, então 3 1/3.

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Simplifique antes: o atalho da simplificação cruzada

A simplificação cruzada é dividir um numerador e o denominador da outra fração pelo mesmo fator antes de multiplicar, o que mantém os números pequenos. O OpenStax chama isso de remover os fatores comuns mais cedo.

Pegue 4/9 × 3/8. Divida 4 e 8 por 4 para obter 1 e 2, divida 3 e 9 por 3 para obter 1 e 3, e a conta vira 1/3 × 1/2 = 1/6. Multiplicar primeiro dá 12/72, que também se simplifica em 1/6, mas pede um fator comum maior, e o guia de MMC e MDC mostra como achar fatores comuns rápido.

Quatro jeitos de multiplicar frações, comparados

Os quatro métodos comuns de multiplicar frações dão a mesma resposta, e cada um serve para um momento. As crianças costumam ver primeiro a adição de parcelas iguais e o modelo de área, e depois passam para a regra em linha reta e a simplificação.

A multiplicação cruzada é outra ferramenta

A multiplicação cruzada compara duas frações ou resolve uma proporção, e é uma ferramenta diferente da multiplicação de frações. Para comparar 3/4 e 5/7, calcule 3 × 7 = 21 e 4 × 5 = 20, então 3/4 é a fração maior.

Para resolver 2/3 = x/12, a multiplicação cruzada dá 3 × x = 2 × 12 = 24, então x = 8. O guia de práticas sobre frações do What Works Clearinghouse recomenda que o professor ajude o aluno a entender por que os procedimentos de cálculo com frações fazem sentido, que é o trabalho do modelo de área antes de qualquer atalho.

Como multiplicar frações por números inteiros e por números mistos

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, escreva o inteiro sobre 1 e multiplique em linha reta. O padrão 4.NF.B.4 usa o exemplo de 3 × (2/5) como 6 × (1/5), que é 6/5, e dá a regra "n × (a/b) = (n × a)/b".

O inteiro multiplica só o numerador. Num churrasco, se cada uma de 5 pessoas come 3/8 de quilo de carne, são 5 × 3/8 = 15/8 de quilo, que é 1 7/8 kg, entre 1 e 2 quilos.

Como multiplicar números mistos

Para multiplicar números mistos, transforme cada um em fração imprópria primeiro. Multiplique a parte inteira pelo denominador, some o numerador e mantenha o denominador: 2 1/2 vira (2 × 2 + 1)/2 = 5/2, e 1 1/3 vira (1 × 3 + 1)/3 = 4/3.

Depois multiplique: 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3 = 3 1/3. Simplificar o 2 com o 4 antes dá 5/1 × 2/3 = 10/3, a mesma resposta com números menores.

O padrão 5.NF.B.6 pede resolver problemas do dia a dia com multiplicação de frações e números mistos. A receita é o caso típico: meia receita que leva 3/4 de xícara de açúcar pede 1/2 × 3/4 = 3/8 de xícara, e o guia de frações para pais explica frações impróprias e números mistos desde o começo.

Como saber se a multiplicação de frações foi entendida

Cinco perguntas curtas mostram se uma criança ou um adulto sabe multiplicar frações com compreensão.

• O sentido de "de": Pergunte o que 1/2 × 3/4 quer dizer em palavras. "Metade de três quartos" é a resposta a ouvir, e o produto é 3/8.
• Simplificação: Dê 3/5 × 10/21. Simplificar 5 com 10 e 3 com 21 dá 1/1 × 2/7 = 2/7.
• Um número inteiro: Peça 4 × 5/6. A resposta é 20/6 = 10/3 = 3 1/3, e uma resposta de 20/24 quer dizer que o 4 foi para o denominador também.
• Um número misto: Peça 1 3/4 × 2/7. A resposta é 7/4 × 2/7 = 14/28 = 1/2.
• Noção de tamanho: Pergunte, sem fazer a conta, se 7/8 × 15 é mais ou menos que 15. A resposta é menos, porque 7/8 é menor que 1.

Um teste semanal de cinco minutos

Um teste de cinco minutos por semana, com as contas escritas, mostra mais do que uma folha longa de um tipo só. Misture uma pergunta de cada tipo e olhe os passos, porque a maioria dos erros vem da preparação dos inteiros e dos números mistos, não da multiplicação.

O currículo nacional da Inglaterra segue a mesma ordem. Os programas de estudo de matemática pedem no Year 5 multiplicar frações próprias e números mistos por inteiros, com apoio de materiais e desenhos, e no Year 6 multiplicar pares simples de frações próprias, escrevendo a resposta na forma mais simples.

A tabuada rápida sustenta cada passo, e a folha de multiplicação para o 5º ano traz treino para imprimir, com gabarito. O jogo do fator que falta treina o raciocínio de "quanto vezes quanto" que a simplificação pede.

Erros comuns na multiplicação de frações

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas na multiplicação de frações, e cada um tem um conserto de uma linha.

• Achar um denominador comum antes: Transformar 1/2 × 1/3 em 3/6 × 2/6 dá 6/36, que só vira 1/6 depois de uma simplificação longa. Multiplique os denominadores como estão: 1/2 × 1/3 = 1/6.
• Somar os denominadores: Escrever 1/2 × 1/3 = 1/5 mistura as regras da soma e da multiplicação. Os denominadores se multiplicam: 2 × 3 = 6, então a resposta é 1/6.
• Multiplicar o inteiro em cima e embaixo: Escrever 3 × 2/5 = 6/15 deixa a fração igual, porque 6/15 é 2/5. Ponha o inteiro sobre 1 para que ele chegue só ao numerador: 6/5.
• Multiplicar números mistos parte por parte: Fazer 2 1/2 × 1 1/3 como 2 × 1 mais 1/2 × 1/3 dá 2 1/6, longe da resposta certa de 3 1/3. Transforme os dois em frações impróprias antes de multiplicar.

Caso especial: frações com denominadores diferentes

Frações com denominadores diferentes se multiplicam do mesmo jeito que frações com denominadores iguais. O produto 2/5 × 3/7 é 6/35, e 5/6 × 3/10 se simplifica em 1/2 × 1/2 = 1/4, então um denominador diferente nunca é motivo para mudar o método.

A divisão de frações é a operação que acrescenta um passo: você inverte a segunda fração e multiplica. O guia de divisão de frações parte da mesma regra.

Sua lista de conferência da multiplicação de frações e os próximos passos

• Leia × como "de": 1/2 × 3/4 é metade de três quartos.
• Prepare: inteiros sobre 1 e números mistos em frações impróprias.
• Simplifique antes: divida qualquer numerador e qualquer denominador por um fator comum.
• Multiplique em linha reta: numerador × numerador, denominador × denominador, sem denominador comum.
• Simplifique: reduza a resposta e transforme fração imprópria em número misto.
• Estime: um fator menor que 1 deixa o resultado menor.

Pais de alunos do 5º ano encontram treino do ano na página do jogo de matemática para o 5º ano, e adultos que estão reconstruindo o senso numérico podem começar pelo jogo de matemática para adultos. O guia de multiplicação com dois algarismos ajuda quando numeradores e denominadores passam da tabuada.

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