Durch einen Bruch teilen: die Kehrwert-Regel und warum sie funktioniert

In den Hausaufgaben Ihres Kindes steht 3 : 1⁄2, die Lösung sagt 6, und Ihr Kind hat 1 1⁄2 geschrieben. Brüche dividieren ist eine der wenigen Schulregeln, die die meisten Erwachsenen als Merksatz kennen, „mit dem Kehrwert malnehmen“, ohne den Grund dahinter. Das Verfahren hat vier Schritte, der Grund braucht ein einziges Bild, und so kann das Teilen durch Brüche Ihnen beiden an einem Abend einleuchten.

Was bedeutet es, Brüche zu dividieren?

Brüche dividieren heißt fragen, wie oft eine Menge in eine andere passt. Die Aufgabe 3 : 1⁄2 fragt: „Wie viele Halbe passen in 3?“ Jedes Ganze enthält zwei Halbe, drei Ganze enthalten sechs, also 3 : 1⁄2 = 6.

Das Kind, das 1 1⁄2 geschrieben hat, hat eine andere Frage beantwortet: Was ist die Hälfte von 3? Das ist 3 · 1⁄2, eine Multiplikation. Wer das Geteiltzeichen als „wie oft passt hinein“ liest, hält die beiden Fragen auseinander.

Dieselbe Lesart gilt für jede Division mit ganzen Zahlen, die Ihr Kind schon kennt: 12 : 3 fragt, wie oft die 3 in die 12 passt. Der Leitfaden zur schriftlichen Division baut dieses „wie oft passt hinein“ für größere Zahlen auf.

Warum das Ergebnis oft größer ist

Das Ergebnis einer Bruchdivision ist größer als die Ausgangszahl, sobald der Divisor kleiner als 1 ist. Ein kleines Stück passt öfter in eine Menge als ein Ganzes, also ergibt 3 : 1⁄2 die 6 und 3 : 1⁄4 die 12.

Kleiner wird das Ergebnis nur, wenn der Divisor größer als 1 ist. Diese Überraschung lohnt sich, vor jeder Regel laut auszusprechen, denn ein Kind, das erwartet, dass Teilen eine Zahl schrumpfen lässt, „verbessert“ sonst eine richtige Antwort.

Brüche dividieren Schritt für Schritt

Die Kehrwert-Regel teilt zwei beliebige Brüche in vier Schritten, dazu kommt ein Vorbereitungsschritt für ganze und gemischte Zahlen. Als Beispiel dient 2⁄3 : 3⁄4, die Aufgabe aus dem Common-Core-Standard 6.NS.A.1.

1. Jede Zahl als Bruch schreiben. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, also wird 4 zu 4⁄1, und eine gemischte Zahl wird zum unechten Bruch. In 2⁄3 : 3⁄4 sind beide Zahlen schon Brüche.
2. Den ersten Bruch stehen lassen. Die 2⁄3 bleibt genau, wie sie ist. Nur die zweite Zahl, der Divisor, ändert sich.
3. Aus dem Geteiltzeichen ein Malzeichen machen. Die Aufgabe lautet jetzt 2⁄3 · etwas.
4. Den zweiten Bruch umdrehen. Der Divisor 3⁄4 wird zu seinem Kehrwert 4⁄3. Die Aufgabe lautet jetzt 2⁄3 · 4⁄3.
5. Multiplizieren und kürzen. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner: 2 · 4 = 8 und 3 · 3 = 9, also 2⁄3 : 3⁄4 = 8⁄9. Dieser Bruch lässt sich nicht weiter kürzen.

Der Standard liefert die Probe gleich mit: 2⁄3 : 3⁄4 = 8⁄9, „weil 3⁄4 von 8⁄9 gleich 2⁄3 ist“. Rechnen Sie 3⁄4 · 8⁄9 = 24⁄36, und 24⁄36 gekürzt ergibt 2⁄3.

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Der Schritt, an dem es hakt

Beim Vorbereitungsschritt beginnen die meisten Fehler, denn eine gemischte Zahl muss zum unechten Bruch werden, bevor irgendetwas umgedreht wird. Bei 2 1⁄2 : 1 1⁄4 schreiben Sie 2 1⁄2 als 5⁄2 (zwei Ganze sind 4 Halbe, dazu 1 Halbes) und 1 1⁄4 als 5⁄4.

Dann folgen die Schritte: 5⁄2 · 4⁄5 = 20⁄10 = 2. Sie können auch vor dem Multiplizieren kürzen, denn die 5 oben und die 5 unten heben sich auf, und es bleibt 4⁄2 = 2. Das Spiel zum fehlenden Faktor trainiert das Denken „was mal das ergibt jenes“, auf dem jede Probe beruht.

Kehrwert, gleicher Nenner oder Messmodell

Drei Verfahren dividieren Brüche richtig: Das Multiplizieren mit dem Kehrwert ist am schnellsten, das Gleichnamig-Machen zeigt, warum das Ergebnis stimmt, und das Messmodell zeichnet die Bedeutung.

Welches Verfahren wann passt

Das Messmodell kommt zuerst, wenn ein Kind der Bruchdivision zum ersten Mal begegnet, denn Stücke auf einem Streifen zu zählen macht das Ergebnis sichtbar. Nehmen Sie freundliche Zahlen wie 3 : 1⁄2 oder 2 : 1⁄3.

Das Kehrwert-Verfahren kommt zuletzt, wenn das Kind sagen kann, was die Division fragt. Das Gleichnamig-Machen ist die Brücke dazwischen, und zu ihm greifen Sie, wenn Ihr Kind fragt: „Aber warum dreht man um?“

Warum die Kehrwert-Regel funktioniert

Die Kehrwert-Regel funktioniert, weil Teilen durch einen Bruch dasselbe ergibt wie Malnehmen mit seinem Kehrwert. Teilen durch 1⁄2 zählt Halbe, jedes Ganze enthält 2 Halbe, und deshalb ist Teilen durch 1⁄2 dasselbe wie Malnehmen mit 2.

Dasselbe gilt für 1⁄8: Jedes Ganze enthält 8 Achtel, also ist Teilen durch 1⁄8 Malnehmen mit 8. Bei einem Divisor wie 3⁄4 enthält jedes Ganze 4 Viertel, und je 3 dieser Viertel bilden ein 3⁄4-Stück, also ist Teilen durch 3⁄4 erst Malnehmen mit 4 und dann Teilen durch 3, und das ist Malnehmen mit 4⁄3.

In Deutschland steht die Bruchdivision in der 6. Klasse. Der bayerische LehrplanPLUS für die 6. Jahrgangsstufe am Gymnasium verlangt, Produkte und Quotienten rationaler Zahlen „auf der Grundlage tragfähiger inhaltlicher Vorstellungen zu den Operationen (z. B. Anteilsbildung, Verteilen, Aufteilen)“ zu berechnen. Der Praxisleitfaden des What Works Clearinghouse zu Brüchen macht dasselbe zu seiner dritten Empfehlung: Lernenden helfen zu verstehen, warum Rechenverfahren mit Brüchen sinnvoll sind. Ein Kind, das den Grund kennt, kann die Regel wieder herleiten, wenn der Merksatz vergessen ist.

Der Beweis über den gleichen Nenner

Das Gleichnamig-Machen beweist die Regel mit gleich großen Stücken. Erweitern Sie 3⁄4 zu 6⁄8, und aus 3⁄4 : 1⁄8 wird 6⁄8 : 1⁄8, also die Frage, wie viele Achtel in sechs Achteln stecken. Die Antwort ist 6.

Das Kehrwert-Verfahren kommt auf dieselbe Zahl: 3⁄4 · 8⁄1 = 24⁄4 = 6. Beide Rechenketten nebeneinander an einem Streifen zu zeigen ist meist der Moment, in dem das Umdrehen nicht mehr wie ein Trick wirkt.

Das Verfahren klappt auch mit schwierigeren Zahlen. Bei 2⁄3 : 3⁄4 bringen Sie beide auf den Nenner 12: 8⁄12 : 9⁄12 = 8⁄9, dasselbe Ergebnis wie mit dem Kehrwert. Der Leitfaden Brüche erklären für Eltern behandelt das Erweitern, auf dem dieser Schritt beruht.

Brüche durch ganze Zahlen teilen und ganze Zahlen durch Brüche

Ein Bruch geteilt durch eine ganze Zahl wird kleiner, und eine ganze Zahl geteilt durch einen Bruch kleiner als 1 wird größer. Beide Fälle laufen nach derselben Regel, sobald die ganze Zahl den Nenner 1 bekommt.

• Bruch : ganze Zahl: 2⁄3 : 4 = 2⁄3 · 1⁄4 = 2⁄12 = 1⁄6. Teilen sich 4 Personen 2⁄3 eines Kuchens, bekommt jede 1⁄6 des Kuchens.
• Ganze Zahl : Bruch: 6 : 2⁄3 = 6⁄1 · 3⁄2 = 18⁄2 = 9. Neun Stücke der Größe 2⁄3 passen in 6.
• Gemischte Zahl : gemischte Zahl: 2 1⁄2 : 1 1⁄4 = 5⁄2 : 5⁄4 = 5⁄2 · 4⁄5 = 2. Zwei Stücke der Größe 1 1⁄4 ergeben 2 1⁄2.
• Bruch : Bruch: 3⁄4 : 1⁄2 = 3⁄4 · 2⁄1 = 6⁄4 = 1 1⁄2. Anderthalb Halbe passen in 3⁄4.

Was in der 5. und 6. Klasse erwartet wird

In Deutschland beginnt die Bruchrechnung je nach Bundesland in der 5. oder 6. Klasse, und das Dividieren durch einen Bruch kommt meist in der 6. Klasse, nach dem Erweitern, Kürzen und Multiplizieren. In den USA deckt die 5. Klasse nur die einfachsten Fälle ab: Der Common-Core-Standard 5.NF.B.7 verlangt, Stammbrüche durch ganze Zahlen und ganze Zahlen durch Stammbrüche zu teilen, mit Beispielen wie 1⁄3 : 4 = 1⁄12 und 4 : 1⁄5 = 20, und eine Fußnote stellt klar, dass Bruch durch Bruch in dieser Klasse nicht verlangt ist.

Die 6. Klasse nimmt dort mit Standard 6.NS.A.1 Bruch durch Bruch dazu, einschließlich der allgemeinen Regel (a⁄b) : (c⁄d) = ad⁄bc. England setzt den ersten Schritt in Year 6: Der nationale Mathematiklehrplan für England verlangt, echte Brüche durch ganze Zahlen zu teilen, mit dem Beispiel 1⁄3 : 2 = 1⁄6.

Ein Kind in der 5. Klasse, das 2⁄3 : 3⁄4 rechnet, ist meist ein Jahr voraus. Was jede Klassenstufe erwartet, steht auf der Seite mit dem Mathespiel für die 5. Klasse und der Seite mit dem Mathespiel für die 6. Klasse.

Typische Fehler beim Dividieren von Brüchen

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten bei der Bruchdivision, und jeder hat eine schnelle Korrektur.

• Den ersten Bruch umdrehen: 2⁄3 : 3⁄4 gerechnet als 3⁄2 · 3⁄4 ergibt 9⁄8. Nur der Divisor wird umgedreht, und die richtige Antwort ist 8⁄9.
• Vor dem Umwandeln einer gemischten Zahl umdrehen: Ein Kind, das aus 1 1⁄4 eine 4 macht, indem es das 1⁄4 umdreht und das Ganze weglässt, kommt auf 2 1⁄2 · 4 = 10. Erst in 5⁄4 umwandeln, dann lautet die Antwort 2.
• Nicht kürzen: 20⁄10 ist richtig, aber nicht fertig. Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler 10 teilen ergibt 2.
• Ein kleineres Ergebnis erwarten: Ein Kind, das erwartet, dass Teilen eine Zahl schrumpfen lässt, misstraut 3 : 1⁄2 = 6. Fragen Sie, wie viele Halbe in 3 passen, und die 6 ergibt Sinn.

Durch null teilen liegt außerhalb der Regel: Ein Bruch mit 0 im Zähler, etwa 0⁄5, ist gleich 0 und hat keinen Kehrwert, also kann man durch ihn nicht teilen.

Das Ergebnis durch Zurückrechnen prüfen

Ergebnis mal Divisor muss die Ausgangszahl ergeben, und diese eine Zeile erwischt jeden der Fehler oben. Bei 3⁄4 : 1⁄8 = 6 prüfen Sie 6 · 1⁄8 = 6⁄8 = 3⁄4.

Beim Fehler mit dem umgedrehten ersten Bruch scheitert die Probe sofort: 9⁄8 · 3⁄4 = 27⁄32, und das ist nicht 2⁄3. Dieselbe Gewohnheit, mit der Umkehroperation zu prüfen, taucht in der Prozentrechnung und beim Teilen von Dezimalzahlen auf, beschrieben im Leitfaden Dezimalzahlen erklärt für Eltern.

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Ihre Checkliste zum Dividieren von Brüchen

• Sagen, was die Division fragt: wie oft die zweite Menge in die erste passt.
• Erst umwandeln: ganze Zahlen mit Nenner 1, gemischte Zahlen in unechte Brüche.
• Stehen lassen, umwandeln, umdrehen: den ersten Bruch stehen lassen, aus : ein · machen, nur den zweiten umdrehen.
• Multiplizieren und kürzen: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, dann vollständig kürzen.
• Durch Zurückrechnen prüfen: Ergebnis mal Divisor muss die Ausgangszahl ergeben.

Sichere Division und ein sicheres Einmaleins machen jeden dieser Schritte schneller, denn jedes Kürzen ist eine Divisionsfrage. Das Spiel zu den Divisionsaufgaben läuft kostenlos im Browser ohne Anmeldung, und das druckbare Arbeitsblatt zur Division für die 6. Klasse hat einen Lösungsschlüssel.

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