分数乘法讲解：计算法则、面积模型和带分数乘法

一盘布朗尼还剩 3/4，孩子六年级的作业问：剩下部分的一半是整盘的几分之几？会算分数乘法，这道题一行就能写完：分子乘分子，分母乘分母，再约分。分数乘法其实比分数加法简单，因为不用通分；同样三步，也能用在分数乘整数和带分数乘法上。

分数乘法是什么意思？

分数乘法的意思是求一个数的几分之几是多少，所以乘号可以读成“的”。1/2 × 3/4 问的是 3/4 的一半是多少，答案是 3/8。

教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求第三学段（五、六年级）的学生能进行简单的小数、分数四则运算，国内常见教材把分数乘法放在六年级上学期。美国的共同核心州立数学标准 5.NF.B.4 放在五年级，要求学生把对乘法的已有理解运用和推广到分数乘分数、整数乘分数上，并用一行写出了法则：一般地，(a/b) × (c/d) = ac/bd。

为什么积会变小

乘一个小于 1 的分数，积会变小，因为你只取了这个量的一部分。美国标准 5.NF.B.5 要求学生解释：为什么一个数乘小于 1 的分数，积比这个数小。

面积模型能让法则看得见。画一个正方形，分成 3 行 4 列，涂 4 列中的 3 列表示 3/4，再涂 3 行中的 2 行表示 2/3。重叠的部分占了 3 × 4 = 12 个小格中的 2 × 3 = 6 个，所以 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2。

分数乘法怎么算：一步一步来

分数乘法只有三步（分子相乘、分母相乘、约分），遇到整数和带分数时再加一步准备。OpenStax《Prealgebra》里讲分数乘法的一章也是这么说的：分数相乘，就是分子乘分子，分母乘分母。

1. 把每个数都写成分数。 整数的分母写 1，所以 4 变成 4/1；带分数化成假分数，所以 2又1/2 变成 5/2。
2. 能约分的先约分。 找一个分子和一个分母有没有公因数，有就同时除以它。在 4/9 × 3/8 里，4 和 8 有公因数 4，3 和 9 有公因数 3。
3. 分子相乘。 分子的积就是新的分子：2/3 × 3/4 中，2 × 3 = 6。
4. 分母相乘。 分母的积就是新的分母：3 × 4 = 12，所以积是 6/12。
5. 把结果约成最简分数。 分子和分母同时除以它们的最大公因数：6/12 同时除以 6，得 1/2。
6. 假分数化成带分数。 分子比分母大时，用分子除以分母：10/3 是 3 余 1，所以等于 3又1/3。

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先约分：交叉约分的简便方法

交叉约分，就是在相乘之前，把一个分子和另一个分数的分母同时除以相同的因数，这样数一直比较小。OpenStax 把它叫作“提前去掉公因数”。

以 4/9 × 3/8 为例。4 和 8 同时除以 4，得 1 和 2；3 和 9 同时除以 3，得 1 和 3，题目就变成 1/3 × 1/2 = 1/6。如果先乘，得到 12/72，约分后也是 1/6，但要找更大的公因数。最大公因数和最小公倍数这篇讲了怎么很快找出公因数。

分数乘法的四种算法对比

分数乘法常见的四种算法，得到的答案都一样，只是各有适合的时候。孩子一般先接触连加和面积模型，再学直接相乘的法则和约分。

交叉相乘是另一种工具

交叉相乘用来比较两个分数的大小或者解比例，和分数乘法不是一回事。比较 3/4 和 5/7，算 3 × 7 = 21，4 × 5 = 20，所以 3/4 更大。

解 2/3 = x/12，交叉相乘得 3 × x = 2 × 12 = 24，所以 x = 8。What Works Clearinghouse 的分数教学实践指南建议教师帮助学生理解分数计算的步骤为什么讲得通，面积模型做的正是这件事，而且要放在任何简便方法之前。

分数乘整数和带分数乘法

分数乘整数，就把整数写成分母是 1 的分数，再直接相乘。美国的标准 4.NF.B.4 举的例子是把 3 × (2/5) 看成 6 × (1/5)，也就是 6/5，并给出法则：n × (a/b) = (n × a)/b。

整数只乘分子。举个生活里的例子：5 个人每人吃 3/8 斤牛肉，一共要 5 × 3/8 = 15/8 斤，也就是 1又7/8 斤，在 1 斤和 2 斤之间。

带分数乘法怎么算

带分数相乘，先把每个带分数化成假分数。用整数部分乘分母，加上分子，分母不变：2又1/2 变成 (2 × 2 + 1)/2 = 5/2，1又1/3 变成 (1 × 3 + 1)/3 = 4/3。

然后相乘：5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3 = 3又1/3。先把 2 和 4 交叉约分，得 5/1 × 2/3 = 10/3，答案一样，数更小。

美国标准 5.NF.B.6 要求学生解决涉及分数和带分数乘法的实际问题。菜谱是最常见的情况：一份要用 3/4 杯糖，做半份就要 1/2 × 3/4 = 3/8 杯。写给家长的分数讲解从头讲了假分数和带分数。

怎么确认分数乘法真的学会了

五个小问题，就能看出孩子（或者大人）是不是真懂分数乘法。

• “的”的意思： 问 1/2 × 3/4 用话怎么说。要听到的答案是“3/4 的一半”，积是 3/8。
• 约分： 给出 3/5 × 10/21。5 和 10 约分、3 和 21 约分，得 1/1 × 2/7 = 2/7。
• 分数乘整数： 问 4 × 5/6。答案是 20/6 = 10/3 = 3又1/3；如果答 20/24，说明 4 也乘到分母上去了。
• 带分数： 问 1又3/4 × 2/7。答案是 7/4 × 2/7 = 14/28 = 1/2。
• 估算： 不算，问 7/8 × 15 比 15 大还是小。答案是小，因为 7/8 小于 1。

每周五分钟小测

每周一次五分钟小测，要求写出过程，比一长张同类题的练习单更能看出问题。每种题各出一道混在一起，重点看步骤，因为大多数错误出在整数和带分数的准备上，而不是乘法本身。

英格兰的国家课程也按同样的顺序安排。数学学习计划要求五年级学生借助学具和图，用真分数和带分数乘整数；六年级学生把两个简单的真分数相乘，并把答案写成最简形式。

每一步都靠熟练的乘法口诀撑着，五年级乘法练习页提供可打印的练习，附答案。求未知因数游戏练的是“几乘几等于多少”的思路，约分正需要它。

分数乘法的常见错误

分数乘法的错答大多出自四种错误，每一种都有一句话的纠正。

• 先通分： 把 1/2 × 1/3 变成 3/6 × 2/6，得 6/36，要约分很久才得 1/6。分母直接相乘就行：1/2 × 1/3 = 1/6。
• 分母相加： 写成 1/2 × 1/3 = 1/5，是把加法和乘法的法则搞混了。分母要相乘：2 × 3 = 6，所以答案是 1/6。
• 整数同时乘分子和分母： 写成 3 × 2/5 = 6/15，分数的大小根本没变，因为 6/15 就是 2/5。把整数写成分母是 1 的分数，它就只乘分子：6/5。
• 带分数拆开相乘： 把 2又1/2 × 1又1/3 算成 2 × 1 加 1/2 × 1/3，得 2又1/6，离正确答案 3又1/3 差得很远。两个带分数都先化成假分数，再相乘。

特殊情况：异分母分数相乘

分母不同的分数相乘，和分母相同的分数相乘方法一样。2/5 × 3/7 = 6/35，5/6 × 3/10 约分后是 1/2 × 1/2 = 1/4，所以分母不同，从来不是换方法的理由。

分数除法才多出一步：把除数的分子和分母颠倒，再相乘。分数除法怎么算就是在同一条法则上往前走的。

分数乘法检查清单和下一步

• 把 × 读成“的”： 1/2 × 3/4 就是 3/4 的一半。
• 准备： 整数写成分母是 1 的分数，带分数化成假分数。
• 约分： 任何一个分子和任何一个分母有公因数，就同时除以它。
• 直接相乘： 分子乘分子，分母乘分母，不用通分。
• 化简： 结果约成最简分数，假分数化成带分数。
• 估算： 乘一个小于 1 的数，积会变小。

五年级孩子的家长可以在五年级数学游戏页面找到对应年级的练习，想重建数感的成年人可以从成人数学游戏开始。分子和分母超出乘法口诀的范围时，怎么教多位数乘法能帮上忙。

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