Kesirlerde çarpma nasıl yapılır: kural, alan modeli ve tam sayılı kesirler

Tepsideki brownie'nin dörtte üçü kalmış ve çocuğunuzun ödevi bu kalan kısmın yarısının ne kadar olduğunu soruyor. Kesirlerde çarpmayı bilmek bu soruyu tek satıra indirir: payları çarpın, paydaları çarpın ve sadeleştirin. Kesirlerde çarpma toplamadan daha kolaydır, çünkü paydaları eşitlemek gerekmez; aynı üç adım doğal sayılarla ve tam sayılı kesirlerle çarpmayı da kapsar.

Kesirlerde çarpma ne demektir?

Kesirlerde çarpma, bir çokluğun bir kesir kadarını bulmak demektir; bu yüzden × işaretini "-in/-ın ... kadarı" diye okuyabilirsiniz. 1/2 × 3/4 sorusu dörtte üçün yarısını sorar ve cevap 3/8'dir.

ABD'de Common Core 5.NF.B.4 standardı beşinci sınıflardan, çarpmayla ilgili önceki bilgilerini bir kesri ya da doğal sayıyı bir kesirle çarpmaya uygulamalarını ve genişletmelerini ister. Kuralı tek satırda verir: genel olarak (a/b) × (c/d) = ac/bd.

Türkiye'de bu konu 6. sınıftadır. MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı, M.6.1.5.3 kazanımında bir doğal sayı ile bir kesrin, M.6.1.5.4 kazanımında da iki kesrin çarpılmasını ister ve 1/2 × 2/5 ifadesinin "2/5'in 1/2'si, yani yarısı" anlamına geldiğini vurgular.

Sonuç neden küçülebilir?

1'den küçük bir kesirle çarptığınızda çarpım küçülür, çünkü çokluğun yalnızca bir kısmını alırsınız. Common Core'un 5.NF.B.5 standardı, öğrencilerin bir sayıyı 1'den küçük bir kesirle çarpmanın neden o sayıdan küçük bir sonuç verdiğini açıklamasını ister; MEB programı da aynı fikri M.6.1.5.3'te işler.

Alan modeli kuralı iş başında gösterir. Bir kare çizin, onu 3 satır ve 4 sütuna bölün, 3/4 için 4 sütunun 3'ünü, 2/3 için 3 satırın 2'sini boyayın. Kesişen bölge 3 × 4 = 12 küçük kutunun 2 × 3 = 6'sını kaplar, dolayısıyla 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2'dir.

Kesirlerde çarpma adım adım

Kesirlerde çarpma üç adımdır (payları çarpın, paydaları çarpın, sadeleştirin); doğal sayılar ve tam sayılı kesirler için buna bir hazırlık adımı eklenir. OpenStax Prealgebra'nın kesirlerle çarpma bölümü de aynısını söyler: kesirleri çarpmak için payları çarpar, paydaları çarparız.

1. Her sayıyı kesir olarak yazın. Bir doğal sayı paydası 1 olan kesir olur, yani 4, 4/1'dir; tam sayılı bir kesir de bileşik kesre çevrilir, yani 2 1/2, 5/2 olur.
2. Yapabiliyorsanız önce ortak çarpanları sadeleştirin. Ortak böleni olan bir pay ve bir payda arayın ve ikisini de bu sayıya bölün. 4/9 × 3/8'de 4 ile 8'in ortak böleni 4, 3 ile 9'unki 3'tür.
3. Payları çarpın. Payların çarpımı yeni paydır: 2/3 × 3/4'te 2 × 3 = 6.
4. Paydaları çarpın. Paydaların çarpımı yeni paydadır: 3 × 4 = 12, dolayısıyla çarpım 6/12'dir.
5. Cevabı sadeleştirin. Payı ve paydayı en büyük ortak bölenlerine bölün: 6/12'yi 6'ya bölünce 1/2 olur.
6. Bileşik bir cevabı tam sayılı kesre çevirin. Pay paydadan büyükse bölün: 10/3, 3 kalan 1'dir, yani 3 1/3.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınÇarpım Tablosu3. sınıf+

Önce sadeleştirin: çapraz sadeleştirme kısa yolu

Çapraz sadeleştirme, çarpmadan önce bir payı ve karşısındaki paydayı aynı sayıya bölmektir; böylece sayılar küçük kalır. OpenStax buna ortak çarpanları daha erken yok etmek der.

4/9 × 3/8'i alın. 4 ile 8'i 4'e bölünce 1 ve 2, 3 ile 9'u 3'e bölünce 1 ve 3 kalır ve işlem 1/3 × 1/2 = 1/6 olur. Önce çarparsanız 12/72 bulursunuz; bu da 1/6'ya sadeleşir ama daha büyük bir ortak bölen ister. EBOB ve EKOK rehberi ortak bölenleri hızlıca görmeyi anlatır.

Kesirlerde çarpmanın dört yolu karşılaştırmalı

Kesirlerde çarpmanın dört yaygın yöntemi aynı cevabı verir ve her biri farklı bir ana uyar. Çocuklar genellikle önce tekrarlı toplama ve alan modeliyle tanışır, sonra düz çarpma kuralına ve sadeleştirmeye geçer.

İçler dışlar çarpımı başka bir araçtır

İçler dışlar çarpımı iki kesri karşılaştırır ya da bir orantıyı çözer ve kesirlerde çarpmadan ayrı bir araçtır. 3/4 ile 5/7'yi karşılaştırmak için 3 × 7 = 21 ve 4 × 5 = 20 hesaplanır; dolayısıyla 3/4 daha büyük kesirdir.

2/3 = x/12'yi çözmek için içler dışlar çarpımı 3 × x = 2 × 12 = 24 verir, yani x = 8'dir. What Works Clearinghouse'un kesir öğretimi uygulama kılavuzu, öğretmenlerin öğrencilere kesirlerle işlem yöntemlerinin neden anlamlı olduğunu kavratmasını önerir; alan modeli de herhangi bir kısa yoldan önce tam bu işi görür.

Kesirler doğal sayılarla ve tam sayılı kesirlerle nasıl çarpılır?

Bir kesir bir doğal sayıyla, doğal sayıyı paydası 1 olan kesir olarak yazıp düz çarparak çarpılır. Common Core 4.NF.B.4 standardı 3 × (2/5) işlemini 6 × (1/5) olarak gösterir, yani 6/5; kuralı da n × (a/b) = (n × a)/b diye verir. MEB programı da her doğal sayının paydası 1 olan bir kesir olarak yazılabileceğini 5. sınıfta vurgular (M.5.1.3.3) ve 6 × 2/3'ün "6 tane 2/3'ün toplamı" anlamına geldiğini söyler.

Doğal sayı yalnızca payı çarpar. Bir sofrada kişi başı 3/8 kg et düşüyorsa 5 kişi için 5 × 3/8 = 15/8 kg gerekir; bu da 1 ile 2 arasında, 1 7/8 kg'dır.

Tam sayılı kesirler nasıl çarpılır?

Tam sayılı kesirler, önce her biri bileşik kesre çevrilerek çarpılır. Tam kısmı paydayla çarpın, payı ekleyin ve paydayı koruyun: 2 1/2, (2 × 2 + 1)/2 = 5/2; 1 1/3 de (1 × 3 + 1)/3 = 4/3 olur.

Sonra çarpın: 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3 = 3 1/3. Önce 2 ile 4'ü çapraz sadeleştirirseniz 5/1 × 2/3 = 10/3 bulursunuz; cevap aynı, sayılar daha küçüktür.

MEB programı M.6.1.5.8'de kesirlerle işlem gerektiren problemleri çözmeyi ister. Tarif bunun en bilinen örneğidir: 3/4 su bardağı şeker isteyen bir tarifin yarısı için 1/2 × 3/4 = 3/8 su bardağı gerekir. Veliler için kesirler yazısı bileşik ve tam sayılı kesirleri en baştan anlatır.

Kesirlerde çarpmanın oturduğunu nasıl anlarsınız?

Beş kısa soru, bir çocuğun ya da yetişkinin kesirlerde çarpmayı anlayarak yapıp yapmadığını gösterir.

• "Kadarı" anlamı: 1/2 × 3/4'ün sözle ne anlama geldiğini sorun. Duymak istediğiniz cevap "dörtte üçün yarısı"dır ve çarpım 3/8'dir.
• Sadeleştirme: 3/5 × 10/21 verin. 5'i 10 ile, 3'ü 21 ile sadeleştirmek 1/1 × 2/7 = 2/7 verir.
• Bir doğal sayı: 4 × 5/6'yı sorun. Cevap 20/6 = 10/3 = 3 1/3'tür; 20/24 cevabı 4'ün paydaya da girdiğini gösterir.
• Bir tam sayılı kesir: 1 3/4 × 2/7'yi sorun. Cevap 7/4 × 2/7 = 14/28 = 1/2'dir.
• Büyüklük duygusu: Hesaplamadan 7/8 × 15'in 15'ten büyük mü küçük mü olduğunu sorun. Cevap küçüktür, çünkü 7/8, 1'den küçüktür.

Haftada beş dakikalık bir kontrol

İşlemlerin de yazıldığı haftalık beş dakikalık bir kontrol, tek tip sorulardan oluşan uzun bir sayfadan daha çok şey gösterir. Her türden birer soru karıştırın ve adımlara bakın, çünkü hataların çoğu çarpmanın kendisinden değil, doğal sayıların ve tam sayılı kesirlerin hazırlanmasından gelir.

İngiltere'nin ulusal programı da aynı sırayı izler. Matematik öğretim programı 5. yılda basit kesirleri ve tam sayılı kesirleri malzeme ve çizimlerle desteklenerek doğal sayılarla çarpmayı, 6. yılda ise basit kesir çiftlerini çarpıp cevabı en sade hâliyle yazmayı ister.

Her adımı hızlı çarpım bilgisi taşır; 5. sınıflar için çarpma çalışma sayfası cevap anahtarıyla yazdırılabilir alıştırma sunar. Eksik çarpan oyunu da sadeleştirmenin istediği "neyle neyi çarparsam" düşüncesini çalıştırır.

Kesirlerde çarpmada sık yapılan hatalar

Kesirlerde çarpmadaki yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin tek satırlık bir düzeltmesi vardır.

• Önce paydaları eşitlemek: 1/2 × 1/3'ü 3/6 × 2/6'ya çevirmek 6/36 verir; bu da ancak uzun bir sadeleştirmeden sonra 1/6 olur. Paydaları olduğu gibi çarpın: 1/2 × 1/3 = 1/6.
• Paydaları toplamak: 1/2 × 1/3 = 1/5 yazmak toplama ve çarpma kurallarını karıştırır. Paydalar çarpılır: 2 × 3 = 6, dolayısıyla cevap 1/6'dır.
• Doğal sayıyı hem paya hem paydaya çarpmak: 3 × 2/5 = 6/15 yazmak kesri değiştirmez, çünkü 6/15, 2/5'tir. Doğal sayıyı paydası 1 olan kesir olarak yazın ki yalnızca payı çarpsın: 6/5.
• Tam sayılı kesirleri parça parça çarpmak: 2 1/2 × 1 1/3'ü 2 × 1 artı 1/2 × 1/3 diye işlemek 2 1/6 verir; bu, doğru cevap olan 3 1/3'ten çok uzaktır. Çarpmadan önce ikisini de bileşik kesre çevirin.

Sınır durum: paydaları farklı kesirler

Paydaları farklı kesirler, paydaları eşit kesirlerle aynı şekilde çarpılır. 2/5 × 3/7 çarpımı 6/35'tir, 5/6 × 3/10 da 1/2 × 1/2 = 1/4'e sadeleşir; yani farklı bir payda hiçbir zaman yöntemi değiştirmek için bir neden değildir.

Bir adım ekleyen işlem kesirlerde bölmedir: ikinci kesri ters çevirir ve çarparsınız. Kesirlerde bölme nasıl yapılır rehberi aynı kuralın üzerine kurulur.

Kesirlerde çarpma kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• × işaretini "kadarı" diye okuyun: 1/2 × 3/4, dörtte üçün yarısıdır.
• Hazırlayın: doğal sayıları paydası 1 olan kesir olarak yazın, tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirin.
• Sadeleştirin: herhangi bir payı ve herhangi bir paydayı ortak bir bölene bölün.
• Düz çarpın: pay × pay, payda × payda; payda eşitlemek yok.
• Sonucu sadeleştirin: cevabı en sade hâline getirin, bileşik kesri tam sayılı kesre çevirin.
• Tahmin edin: 1'den küçük bir çarpan sonucu küçültür.

1. ve 6. sınıf öğrencilerinin velileri sınıf düzeyindeki alıştırmaları 5. sınıflar için matematik oyunu sayfasında bulur; sayı duygusunu yeniden kuran yetişkinler ise yetişkinler için matematik oyunu ile başlayabilir. Paylar ve paydalar çarpım tablosunu aştığında uzun çarpma nasıl öğretilir rehberi yardımcı olur.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, seviyeyi her oyuncuya göre ayarlayan uyarlanabilir zorluk ve 33 dilde günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. Aileler 2–5 kişilik gerçek zamanlı düellolarda birbiriyle yarışabilir; oyunlardan 22'si tarayıcıda üyeliksiz ve ücretsiz oynanır.