Çarpma işleminin özellikleri: değişme, birleşme ve dağılma özelliği

Çocuğunuz 7 × 5 = 35'i ezbere biliyor ama 7 × 8'de takılıyor ve ödev kâğıdında "dağılma özelliğini kullanın" yazıyor. Çarpma işleminin özellikleri, bilinen bir çarpımın bilinmeyen bir çarpımın kapısını açmasını sağlayan beş kuraldır: değişme, birleşme, dağılma, etkisiz eleman ve yutan eleman özellikleri. Çocuk 7 × 8'in 7 × 5 artı 7 × 3 olduğunu gördüğünde çarpım tablosu ezberlenecek 100 ayrı bilgi olmaktan çıkar.

Çarpma işleminin özellikleri nelerdir?

Çarpma işleminin özellikleri, büyüklüğü ne olursa olsun her sayı için geçerli kurallardır. Değişme özelliği sırayı değiştirmenize, birleşme özelliği yeniden gruplamanıza, dağılma özelliği bir çarpanı parçalamanıza izin verir; etkisiz eleman ve yutan eleman özellikleri de 1'in ve 0'ın ne yaptığını söyler.

Türkiye'de bu fikirler 2. sınıfta başlar. MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı, M.2.1.4.2 kazanımında çarpanların yerinin değişmesinin çarpımı değiştirmeyeceğinin fark ettirilmesini ve çarpmada 1 ile 0'ın etkisinin açıklanmasını ister. M.4.1.4.2 üç doğal sayının çarpılma sırasını, M.6.1.1.3 dağılma özelliğini işler; 7. sınıfta M.7.1.1.3 ise değişme, birleşme, etkisiz eleman, yutan eleman ve dağılma özelliklerini adlarıyla inceletir.

ABD'de Common Core 3.OA.B.5 standardı üçüncü sınıflardan "işlemlerin özelliklerini çarpma ve bölme stratejileri olarak uygulamalarını" ister ve bu rehberdeki örnekleri verir: "6 × 4 = 24 biliniyorsa 4 × 6 = 24 de bilinir" ve "8 × 7, 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56 olarak bulunabilir". Bir dipnot, öğrencilerin bu özelliklerin resmî adlarını kullanmak zorunda olmadığını ekler; yani bir çocuk fikri "dağılma" sözcüğünden çok önce kullanabilir.

Değişme özelliği çarpım tablosunu neden 55 bilgiye indirir?

Değişme özelliği, 10 × 10'luk bir çarpım tablosunda 100 yerine 55 farklı bilgi olduğu anlamına gelir. Tabloda 100 kutu vardır ve bunların 10'u 7 × 7 gibi karelerdir. Kalan 90 kutu 3 × 8 ile 8 × 3 gibi yer değiştirmiş çiftler hâlindedir; bu 45 çift eder ve 45 + 10 = 55'tir.

Bir nokta dizilimi sıranın neden önemli olmadığını gösterir. Her biri 5 noktalık 3 sıra ile her biri 3 noktalık 5 sıra, çeyrek tur döndürülmüş aynı 15 noktadır.

Dağılma özelliği adım adım nasıl kullanılır?

Dağılma özelliği, bir sayıyı bir toplamla çarpmanın, onu her parçayla çarpıp sonuçları toplamakla aynı şey olduğunu söyler. OpenStax Prealgebra'nın dağılma özelliği bölümü bunu "a, b, c gerçek sayılarsa a(b + c) = ab + ac" diye yazar. Uygulamada bu özellik zor bir çarpımı iki kolay çarpıma çevirir.

1. Zor çarpanı seçin. 7 × 8'de parçalanacak çarpan 8'dir, çünkü 7'nin 5 ve 3 ile çarpımı 7 × 8'den kolaydır.
2. Onu kolay parçalara ayırın. Çocuğun zaten bildiği parçaları seçin: 8 = 5 + 3 ya da 14 = 10 + 4. Beşler ve onlar en sık kullanılan dayanaklardır.
3. Her parçayı diğer çarpanla çarpın. 7 × 5 = 35 ve 7 × 3 = 21 bulun. Toplamadan önce iki çarpımı da yazın.
4. Kısmi çarpımları toplayın. 35 + 21 = 56, yani 7 × 8 = 56. Daha büyük bir sayı için 6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4 = 60 + 24 = 84.
5. İkinci bir ayırmayla kontrol edin. Öbür türlü ayırın: 7 × 8 = 7 × 4 + 7 × 4 = 28 + 28 = 56. Aynı sonuca varan iki yol bilgiyi kalıcı kılar.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınÇarpım Tablosu3. sınıf+

En sık yapılan yanlış: yalnızca ilk terimi çarpmak

Dağılma özelliğinde en yaygın hata, toplamın ilk parçasını çarpıp ikincisini unutmaktır. Çocuk 6 × (10 + 4) = 60 + 24 = 84 yerine 6 × (10 + 4) = 60 + 4 = 64 yazar. Çözüm, 6'dan parantezdeki her sayıya bir ok çizmek ve çarpımları saymaktır: iki parça, iki çarpma demektir.

Aynı ayırma, yazılı çarpmanın arkasındaki yöntemdir. 23 × 4'te kısmi çarpımlar 20 × 4 = 80 ve 3 × 4 = 12'dir ve toplamları 92 eder; uzun çarpma nasıl öğretilir rehberi alt alta çarpmanın tamamını bu adım üzerine kurar.

Çarpma işleminin beş özelliği yan yana

Çarpma işleminin beş özelliği tek bir tabloya sığar: her birinin harflerle bir kuralı, bir sayı örneği ve çarpım tablosunda gördüğü bir işi vardır. Harfli kurallar Common Core sözlüğündeki Tablo 3'ü ve OpenStax'in etkisiz eleman, ters eleman ve sıfır bölümünü izler; OpenStax "herhangi bir sayı ile 0'ın çarpımı 0'dır" der.

Önce hangi özellik öğretilmeli?

Önce öğretilecek özellik değişme özelliğidir, çünkü hemen karşılığını verir. MEB programı da çarpanların yer değiştirmesini 2. sınıfta, çarpım tablosunun 5'e kadarki kısmıyla birlikte ele alır. İngiltere'nin ulusal programı 2. yıl öğrencilerinden "2 sayının çarpımının herhangi bir sırayla yapılabileceğini (değişme), bir sayının bir başkasına bölümünün ise yapılamayacağını göstermelerini" ister (matematik öğretim programı).

Etkisiz ve yutan eleman bunu izler, çünkü tablonun iki sütununu birden temizler. Aynı İngiliz programı 4. yılda "0 ve 1 ile çarpmayı" ve "iki basamaklı sayıları bir basamaklı sayılarla çarpmak için dağılma kuralını kullanmayı" sayar ve örnek olarak 39 × 7 = 30 × 7 + 9 × 7 verir; bu da 210 + 63 = 273'tür. Çarpım tablosu hızlı nasıl öğrenilir rehberindeki adımlar da aynı sırayı izler.

Çarpma işleminin özellikleriyle zihinden işlem

Çarpma işleminin özellikleri, zihinden işlem kısayollarının çoğunun arkasındaki motordur. Birleşme ve değişme özellikleri birlikte, bir çarpan dizisini istediğiniz gibi sıralayıp gruplamanıza izin verir; böylece bir 10 ya da 100 arayabilirsiniz.

4 × 7 × 25'i alın. Yer değiştirip yeniden gruplayın: 7 × (4 × 25) = 7 × 100 = 700. Aynı şekilde 5 × 18 = 5 × (2 × 9) = (5 × 2) × 9 = 10 × 9 = 90 olur. MEB programı da 4. sınıfta M.4.1.4.3 ile iki basamaklı sayıları 5, 25 ve 50 ile kısa yoldan çarpmayı ister.

Common Core örneği iki sırayı da gösterir: "3 × 5 × 2, önce 3 × 5 = 15 sonra 15 × 2 = 30 diye ya da önce 5 × 2 = 10 sonra 3 × 10 = 30 diye bulunabilir".

Dağılma özelliği fiyatları ve ondalık sayıları da halleder. OpenStax aynı yolla dolar cinsinden bilet fiyatı hesaplar; tanesi 9,25 TL olan üç bilet için 3 × (9 + 0,25) = 27 + 0,75 = 27,75 TL bulunur. Bu türden başka kısayollar işe yarayan zihinden işlem yöntemleri yazısındadır.

Bir alıştırma kuralı: alan modelini çizin

Alan modeli dağılma özelliğini görünür kılar ve parçaları karıştıran çocuklara yardım eder. 7 kare yüksekliğinde ve 8 kare genişliğinde bir dikdörtgen çizin, onu beşinci sütundan sonra kesin ve her parçayı sayın: 7 × 5 = 35 kare ve 7 × 3 = 21 kare. MEB'in M.6.1.1.3 kazanımı da aynı modeli önerir: bir dikdörtgenin alanı hesaplanırken 5(2 + 8) = 5 × 2 + 5 × 8 eşitliği incelenir.

Bir sayıyı çarpanlarına ayırmak, en büyük ortak böleni bulmakla aynı beceridir; EBOB ve EKOK rehberi 36 + 8'in nasıl 4 × (9 + 2) = 44 olduğunu gösterir. Bu işleme Türkiye'de "ortak çarpan parantezine alma" denir.

Çarpma işleminin özelliklerinde ilerleme nasıl kontrol edilir?

Beş kısa soru, bir çocuğun ya da yetişkinin çarpma işleminin özelliklerini kullanıp kullanmadığını ya da yalnızca bilgileri ezberden mi okuduğunu gösterir.

• Yer değiştirme: "6 × 9 = 54 ise 9 × 6 kaçtır?" diye sorun. Hesaplamadan gelen hızlı bir "54", değişme özelliğinin oturduğunu gösterir.
• Ayırma: 8 × 5'i kullanarak 8 × 7'yi isteyin. Duymak istediğiniz cevap 40 + 16 = 56'dır.
• Yeniden gruplama: 2 × 13 × 5 verin. 10 × 13 = 130'u gören çocuk birleşme özelliğini kullanıyordur.
• Sıfır ve bir: 0 × 12 ile 1 × 12'yi sorun. Cevaplar 0 ve 12'dir; ikisini karıştırmak yaygındır.
• Açıklama: 4 × 6'nın neden 4 × 3 + 4 × 3 olduğunu sorun. "Çünkü 6, 3 + 3'tür" cevabı yeterlidir.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınEksik Çarpan3–4. sınıf

Haftada iki dakikalık bir test

Haftada bir yapılan ve işlemin sesli söylendiği iki dakikalık bir kontrol, bir sayfa alıştırmadan daha çok şey gösterir. Her türden birer soru karıştırın ve çocuğun hangi özelliğe uzandığını not edin. Her cevaba ritmik sayarak ulaşan çocuklar, ritmik sayma yazısındaki örüntülerle aradaki boşluğu kapatabilir.

Sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Çarpma işleminin özelliklerindeki yanlış cevapların çoğunu beş hata doğurur ve her birinin kısa bir düzeltmesi vardır.

• Çıkarmada ya da bölmede yer değiştirmek: OpenStax, 12 ÷ 4 = 3 iken 4 ÷ 12 = 1/3 olduğunu ve 7 − 3 = 4 iken 3 − 7 = −4 olduğunu gösterir. Değişme özelliği yalnızca toplama ve çarpmada vardır.
• Bölmede yeniden gruplamak: (24 ÷ 4) ÷ 2 = 3, ama 24 ÷ (4 ÷ 2) = 12'dir. Bölme ve çıkarmada birleşme özelliği yoktur, bu yüzden parantezi yerinde bırakın.
• 0 ile 1'i karıştırmak: 8 × 0 = 0 ve 8 × 1 = 8'dir. 8 × 0 = 8 yazan çocuk, toplamadaki 8 + 0 = 8 kuralını uyguluyordur.
• Çarpma üzerine dağıtmak: 2 × (3 × 4) işlemi 24'tür, 2 × 3 × 2 × 4 ise 48'dir. Dağılma özelliği bir toplam ya da fark üzerinde işler, hiçbir zaman bir çarpım üzerinde işlemez.
• Çarpmadan önce toplamak: 7 × 5 + 7 × 3 ifadesinde önce iki çarpım bulunur. İşlem önceliği rehberi nedenini açıklar: soldan sağa (7 × 5 + 7) × 3 diye işlem yapmak 56 yerine 126 verir.

Sınır durum: çıkarma üzerine dağılma özelliği

Dağılma özelliği çıkarma üzerinde de işler: a × (b − c) = a × b − a × c; bu, OpenStax'in saydığı "diğer biçimlerden" biridir. Bu biçim 9'lar tablosunu kolaylaştırır: 8 × 9 = 8 × 10 − 8 × 1 = 80 − 8 = 72 ve 6 × 99 = 600 − 6 = 594.

Bölme yalnızca bölünen bir toplam olduğunda dağılır. (20 + 8) ÷ 4 = 5 + 2 = 7 doğrudur, ama 24 ÷ (4 + 2), 24 ÷ 6 = 4'tür; oysa 24 ÷ 4 + 24 ÷ 2 = 6 + 12 = 18 eder.

Çarpma işleminin özellikleri kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Değişme: bir bilgiyi öğrenin, yer değiştirmiş hâlini bedava alın.
• Etkisiz ve yutan eleman: 1'ler ve 0'lar sütunları tamam.
• Dağılma: zor çarpanı 5'lere ya da 10'lara ayırın ve iki parçayı da çarpın.
• Birleşme: üç çarpanı önce 10 ya da 100 elde edecek şekilde yeniden gruplayın.
• Kontrol: çıkarma ve bölme sıralarını ve parantezlerini korur.

2., 3. ve 4. sınıf alıştırmaları çarpım tablosu oyunu sayfasındadır; özelliklerin açtığı bilgiler orada hızlı hatırlamaya dönüşür.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve günlük alıştırma sunan, 33 dilde kullanılabilen ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. Aileler 2–5 kişilik gerçek zamanlı düellolarda birbiriyle yarışabilir; oyunlardan 22'si tarayıcıda üyeliksiz ve ücretsiz oynanır, 30 yazdırılabilir çalışma sayfası da cevap anahtarıyla gelir.