Własności mnożenia: przemienność, łączność i rozdzielność mnożenia względem dodawania

Twoje dziecko zna na pamięć 7 × 5 = 35, ale zastyga przy 7 × 8, a w zeszycie stoi polecenie „skorzystaj z rozdzielności mnożenia”. Prawa działań w mnożeniu to pięć zasad, dzięki którym znane działanie otwiera drogę do nieznanego: przemienność, łączność, rozdzielność mnożenia względem dodawania, mnożenie przez 1 i mnożenie przez 0. Gdy dziecko zobaczy, że 7 × 8 to 7 × 5 plus 7 × 3, tabliczka mnożenia przestaje być setką osobnych działań do wkucia.

Jakie są prawa działań w mnożeniu?

Prawa działań w mnożeniu to zasady, które działają dla każdej liczby, małej i dużej. Przemienność pozwala zamienić kolejność czynników, łączność pozwala je inaczej pogrupować, rozdzielność pozwala rozbić czynnik na części, a prawa jedynki i zera mówią, co robią 1 i 0.

W Polsce podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej wymienia te prawa wprost w wymaganiach dla klas 4–6: „przemienność i łączność dodawania i mnożenia oraz rozdzielność mnożenia względem dodawania”. Amerykański standard Common Core 3.OA.B.5 wprowadza je już w klasie 3 z przykładami z tego poradnika: skoro 6 × 4 = 24, to 4 × 6 = 24, a 8 × 7 można policzyć jako 8 × (5 + 2) = 40 + 16 = 56. Przypis dodaje, że uczniowie nie muszą znać nazw tych praw, więc młodsze dziecko może korzystać z pomysłu długo przed słowem „rozdzielność”.

Dlaczego przemienność skraca tabliczkę mnożenia do 55 działań

Przemienność mnożenia sprawia, że tabliczka mnożenia 10 × 10 zawiera 55 różnych działań zamiast 100. Tabela ma 100 pól, a 10 z nich to kwadraty, takie jak 7 × 7. Pozostałe 90 pól tworzy pary odwrotne, takie jak 3 × 8 i 8 × 3, co daje 45 par, a 45 + 10 = 55.

Układ kropek pokazuje, dlaczego kolejność nie ma znaczenia. Trzy rzędy po 5 kropek i pięć rzędów po 3 kropki to te same 15 kropek, obrócone o ćwierć obrotu.

Rozdzielność mnożenia względem dodawania krok po kroku

Rozdzielność mnożenia względem dodawania mówi, że pomnożenie liczby przez sumę daje to samo co pomnożenie jej przez każdy składnik i dodanie wyników. Rozdział podręcznika OpenStax Prealgebra o rozdzielności zapisuje to jako a(b + c) = ab + ac dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c. W praktyce jedno trudne działanie zamienia się w dwa łatwe.

1. Wybierz trudniejszy czynnik. W 7 × 8 rozbijasz 8, bo 7 razy 5 i 7 razy 3 są łatwiejsze niż 7 × 8.
2. Rozbij go na wygodne części. Wybierz części, które dziecko już zna: 8 = 5 + 3 albo 14 = 10 + 4. Piątki i dziesiątki to zwykłe punkty oparcia.
3. Pomnóż każdą część przez drugi czynnik. Policz 7 × 5 = 35 i 7 × 3 = 21. Zapisz oba iloczyny przed dodawaniem.
4. Dodaj iloczyny częściowe. 35 + 21 = 56, więc 7 × 8 = 56. Dla większej liczby: 6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4 = 60 + 24 = 84.
5. Sprawdź innym rozbiciem. Rozbij inaczej: 7 × 8 = 7 × 4 + 7 × 4 = 28 + 28 = 56. Dwie drogi, które dają ten sam wynik, utrwalają działanie.

Zagraj za darmo w przeglądarceTabliczka mnożeniaKlasa 3+

Gdzie pojawia się błąd: mnożenie tylko pierwszego składnika

Najczęstszy błąd przy rozdzielności to pomnożenie pierwszej części sumy i zapomnienie o drugiej. Dziecko pisze 6 × (10 + 4) = 60 + 4 = 64 zamiast 60 + 24 = 84. Pomaga strzałka od 6 do każdej liczby w nawiasie i policzenie iloczynów: dwie części to dwa mnożenia.

To samo rozbicie stoi za mnożeniem pisemnym. Iloczyny częściowe w 23 × 4 to 20 × 4 = 80 i 3 × 4 = 12, razem 92, a poradnik jak uczyć mnożenia pisemnego buduje z tego kroku całą metodę w słupku.

Pięć praw mnożenia obok siebie

Pięć praw mnożenia mieści się w jednej tabeli: każde ma wzór z literami, przykład liczbowy i zadanie, które wykonuje przy tabliczce mnożenia. Wzory z literami odpowiadają tabeli 3 w słowniczku Common Core i rozdziałowi OpenStax o elemencie neutralnym, liczbach odwrotnych i zerze, który mówi, że iloczyn dowolnej liczby i 0 to 0.

Od którego prawa mnożenia zacząć naukę

Na początek najlepiej uczyć przemienności, bo przynosi korzyść od razu. Program nauczania w Anglii prosi uczniów Year 2, czyli siedmiolatków, żeby pokazali, że mnożenie dwóch liczb można wykonać w dowolnej kolejności, a dzielenia nie (program matematyki w Anglii).

Następne są prawa jedynki i zera, bo zamykają dwie całe kolumny tabliczki. Ten sam program wymienia w Year 4 mnożenie przez 0 i 1 oraz użycie rozdzielności do mnożenia liczb dwucyfrowych przez jednocyfrowe, z przykładem 39 × 7 = 30 × 7 + 9 × 7, czyli 210 + 63 = 273. Kroki z poradnika jak szybko nauczyć się tabliczki mnożenia idą w tej samej kolejności.

Liczenie w pamięci z prawami mnożenia

Prawa mnożenia napędzają większość sztuczek liczenia w pamięci. Łączność i przemienność razem pozwalają przestawiać i grupować dowolny ciąg czynników, więc możesz szukać 10 albo 100.

Weź 4 × 7 × 25. Przestaw i pogrupuj: 7 × (4 × 25) = 7 × 100 = 700. Tak samo 5 × 18 = 5 × (2 × 9) = (5 × 2) × 9 = 10 × 9 = 90.

Przykład z Common Core pokazuje obie kolejności: 3 × 5 × 2 można policzyć jako 3 × 5 = 15, potem 15 × 2 = 30, albo jako 5 × 2 = 10, potem 3 × 10 = 30.

Rozdzielność radzi sobie też z cenami i ułamkami dziesiętnymi. Trzy bilety po 9,25 zł to 3 × (9 + 0,25) = 27 + 0,75 = 27,75 zł. Więcej takich skrótów znajdziesz w poradniku sztuczki liczenia w pamięci, które działają.

Zasada ćwiczeń: narysuj model prostokąta

Model prostokąta pokazuje rozdzielność na rysunku, co pomaga dzieciom, które gubią części. Narysuj prostokąt wysoki na 7 kratek i szeroki na 8, przetnij go za piątą kolumną i policz każdą część: 7 × 5 = 35 kratek i 7 × 3 = 21 kratek. Standard Common Core 3.MD.C.7c prosi uczniów, żeby używali modeli pola do przedstawiania rozdzielności w rozumowaniu matematycznym.

Rozkładanie liczby na czynniki to ta sama umiejętność co szukanie największego wspólnego dzielnika, a poradnik o NWD i NWW pokazuje, jak 36 + 8 zmienia się w 4 × (9 + 2) = 44.

Jak sprawdzić postępy w prawach mnożenia

Pięć krótkich pytań pokazuje, czy dziecko albo dorosły korzysta z praw mnożenia, czy tylko recytuje wyniki.

• Zamiana kolejności: Zapytaj: „Skoro 6 × 9 = 54, ile to jest 9 × 6?”. Szybkie „54” bez liczenia znaczy, że przemienność się utrwaliła.
• Rozbicie: Poproś o 8 × 7 z pomocą 8 × 5. Odpowiedź, na którą czekasz, to 40 + 16 = 56.
• Grupowanie: Daj 2 × 13 × 5. Dziecko, które widzi 10 × 13 = 130, korzysta z łączności.
• Zero i jeden: Zapytaj o 0 × 12 i 1 × 12. Odpowiedzi to 0 i 12; mylenie ich jest częste.
• Wyjaśnienie: Zapytaj, dlaczego 4 × 6 = 4 × 3 + 4 × 3. Odpowiedź „bo 6 to 3 + 3” wystarczy.

Zagraj za darmo w przeglądarceBrakujący czynnikKlasa 3–4

Dwuminutowy test co tydzień

Dwuminutowe sprawdzenie raz w tygodniu, z obliczeniami mówionymi na głos, pokazuje więcej niż strona ćwiczeń. Wymieszaj po jednym pytaniu z każdego rodzaju i zanotuj, po które prawo dziecko sięga. Dzieciom, które do każdego wyniku dochodzą liczeniem co kilka, pomogą wzory z poradnika liczenie co 2, co 5 i co 10.

Typowe błędy i przypadki szczególne

Pięć błędów odpowiada za większość złych odpowiedzi przy prawach mnożenia, a każdy ma krótkie lekarstwo.

• Zamiana kolejności w odejmowaniu albo dzieleniu: OpenStax pokazuje, że 12 : 4 = 3, a 4 : 12 = 1/3, oraz że 7 − 3 = 4, a 3 − 7 = −4. Przemienne są tylko dodawanie i mnożenie.
• Przegrupowanie dzielenia: (24 : 4) : 2 = 3, ale 24 : (4 : 2) = 12. Dzielenie i odejmowanie nie są łączne, więc nawiasy zostają na swoim miejscu.
• Mylenie 0 i 1: 8 × 0 = 0, a 8 × 1 = 8. Dziecko, które pisze 8 × 0 = 8, stosuje zasadę dodawania 8 + 0 = 8.
• Rozdzielanie względem mnożenia: 2 × (3 × 4) to 24, a 2 × 3 × 2 × 4 to 48. Rozdzielność działa względem sumy albo różnicy, nigdy względem iloczynu.
• Dodawanie przed mnożeniem: 7 × 5 + 7 × 3 znaczy, że najpierw liczy się oba iloczyny. Poradnik o kolejności wykonywania działań wyjaśnia dlaczego: liczenie od lewej jako (7 × 5 + 7) × 3 daje 126 zamiast 56.

Przypadek szczególny: rozdzielność mnożenia względem odejmowania

Rozdzielność działa też względem odejmowania: a × (b − c) = a × b − a × c, jedna z postaci, które wymienia OpenStax. Dzięki niej dziewiątki są łatwe: 8 × 9 = 8 × 10 − 8 × 1 = 80 − 8 = 72, a 6 × 99 = 600 − 6 = 594.

Dzielenie rozdziela się tylko wtedy, gdy dzielona jest suma. (20 + 8) : 4 = 5 + 2 = 7 jest poprawne, ale 24 : (4 + 2) to 24 : 6 = 4, a 24 : 4 + 24 : 2 = 6 + 12 = 18.

Twoja lista kontrolna praw mnożenia i następne kroki

• Przemienność: naucz się jednego działania, a odwrotne dostaniesz gratis.
• Jeden i zero: kolumny jedynek i zer są gotowe.
• Rozdzielność: rozbij trudny czynnik na piątki albo dziesiątki i pomnóż obie części.
• Łączność: pogrupuj trzy czynniki tak, żeby najpierw powstało 10 albo 100.
• Sprawdzenie: odejmowanie i dzielenie zachowują kolejność i nawiasy.

Ćwiczenia z tabliczki mnożenia są na stronie gra w tabliczkę mnożenia, gdzie działania odblokowane przez prawa mnożenia zamieniają się w szybkie przypominanie.

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier, adaptacyjnym poziomem trudności i codziennymi ćwiczeniami, w 33 językach. Rodziny mogą ścigać się w pojedynkach na żywo dla 2–5 graczy, 22 gry działają za darmo w przeglądarce bez rejestracji, a 30 kart pracy do druku ma klucz odpowiedzi.