Propriedades da multiplicação: comutativa, associativa e a propriedade distributiva

Seu filho sabe de cor que 7 × 5 = 35, mas trava no 7 × 8, e a lição de casa diz "use a propriedade distributiva". As propriedades da multiplicação são as cinco regras que deixam um fato conhecido destravar um fato desconhecido: a comutativa, a associativa, a distributiva, a do elemento neutro e a do anulamento. Quando a criança percebe que 7 × 8 é 7 × 5 mais 7 × 3, a tabuada deixa de ser 100 fatos soltos para decorar.

Quais são as propriedades da multiplicação?

As propriedades da multiplicação são regras que valem para qualquer número, seja qual for o tamanho. A propriedade comutativa deixa trocar a ordem, a associativa deixa reagrupar, a distributiva deixa dividir um fator, e as propriedades do elemento neutro e do anulamento dizem o que o 1 e o 0 fazem.

No Brasil, a BNCC pede no 4º ano "utilizar as propriedades das operações para desenvolver estratégias de cálculo" (EF04MA05), depois que o 3º ano trabalha a multiplicação com "elementos apresentados em disposição retangular" (EF03MA07). Nos Estados Unidos, o padrão 3.OA.B.5 do Common Core traz os mesmos exemplos deste guia: se 6 × 4 = 24 é conhecido, 4 × 6 = 24 também é, e 8 × 7 pode ser calculado como 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56. Uma nota acrescenta que o aluno não precisa usar os nomes formais das propriedades, então a criança pode usar a ideia muito antes de aprender a palavra "distributiva".

Por que a propriedade comutativa reduz a tabuada a 55 fatos

A propriedade comutativa faz uma tabuada de 10 × 10 ter 55 fatos diferentes, e não 100. A tabela tem 100 casas, e 10 delas são quadrados como 7 × 7. As outras 90 casas formam pares invertidos, como 3 × 8 e 8 × 3, o que dá 45 pares, e 45 + 10 = 55.

Uma disposição retangular de pontos mostra por que a ordem não importa. Três linhas de 5 pontos e cinco linhas de 3 pontos são os mesmos 15 pontos, girados um quarto de volta.

Como usar a propriedade distributiva, passo a passo

A propriedade distributiva diz que multiplicar um número por uma soma é o mesmo que multiplicá-lo por cada parcela e somar os resultados. A seção do OpenStax Prealgebra sobre a propriedade distributiva escreve a regra como a(b + c) = ab + ac para quaisquer números reais a, b e c. Na prática, ela transforma um fato difícil em dois fatos fáceis.

1. Escolha o fator mais difícil. Em 7 × 8, o 8 é o fator que se divide, porque 7 vezes 5 e 7 vezes 3 são mais fáceis que 7 × 8.
2. Divida-o em partes amigas. Escolha partes que a criança já conhece: 8 = 5 + 3, ou 14 = 10 + 4. Os cincos e as dezenas são as âncoras de sempre.
3. Multiplique cada parte pelo outro fator. Calcule 7 × 5 = 35 e 7 × 3 = 21. Anote os dois produtos antes de somar.
4. Some os produtos parciais. 35 + 21 = 56, então 7 × 8 = 56. Com um número maior, 6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4 = 60 + 24 = 84.
5. Confira com outra divisão. Divida de outro jeito: 7 × 8 = 7 × 4 + 7 × 4 = 28 + 28 = 56. Dois caminhos que concordam fixam o fato.

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O erro mais comum: multiplicar só o primeiro termo

O erro mais comum com a propriedade distributiva é multiplicar a primeira parcela da soma e esquecer a segunda. A criança escreve 6 × (10 + 4) = 60 + 4 = 64 em vez de 60 + 24 = 84. A correção é desenhar uma seta do 6 até cada número dentro dos parênteses e contar os produtos: duas parcelas querem dizer duas multiplicações.

A mesma divisão é o método por trás da multiplicação armada. Os produtos parciais de 23 × 4 são 20 × 4 = 80 e 3 × 4 = 12, que somam 92, e o guia sobre como ensinar a multiplicação com dois algarismos monta todo o algoritmo a partir desse passo.

As cinco propriedades da multiplicação lado a lado

As cinco propriedades da multiplicação cabem numa tabela: cada uma tem uma regra com letras, um exemplo numérico e uma função na tabuada. As regras com letras seguem a Tabela 3 do glossário do Common Core e a seção do OpenStax sobre elemento neutro, inversos e zero, que afirma que o produto de qualquer número por 0 é 0.

Qual propriedade da multiplicação ensinar primeiro

A propriedade comutativa é a primeira a ensinar, porque dá resultado na hora. O currículo nacional da Inglaterra pede no Year 2 (crianças de 6 a 7 anos) mostrar que a multiplicação de 2 números pode ser feita em qualquer ordem e que a divisão de um número por outro não pode (mathematics programmes of study).

O elemento neutro e o anulamento vêm em seguida, já que eliminam duas colunas inteiras da tabuada. O mesmo currículo coloca a multiplicação por 0 e por 1 e o uso da lei distributiva para multiplicar números de dois algarismos por um algarismo no Year 4 (8 a 9 anos), com o exemplo 39 × 7 = 30 × 7 + 9 × 7, que dá 210 + 63 = 273. Os passos de como aprender a tabuada rápido seguem a mesma ordem.

Cálculo mental com as propriedades da multiplicação

As propriedades da multiplicação são o motor da maioria dos atalhos de cálculo mental. As propriedades associativa e comutativa, juntas, permitem reordenar e reagrupar qualquer sequência de fatores, então você pode procurar um 10 ou um 100.

Pegue 4 × 7 × 25. Troque a ordem e reagrupe: 7 × (4 × 25) = 7 × 100 = 700. Da mesma forma, 5 × 18 = 5 × (2 × 9) = (5 × 2) × 9 = 10 × 9 = 90.

O exemplo do Common Core mostra as duas ordens: 3 × 5 × 2 pode ser calculado como 3 × 5 = 15 e depois 15 × 2 = 30, ou como 5 × 2 = 10 e depois 3 × 10 = 30.

A propriedade distributiva também resolve preços e decimais. Três ingressos de R$ 9,25 custam 3 × (9 + 0,25) = 27 + 0,75 = R$ 27,75, a mesma conta que o OpenStax faz em dólares. Mais atalhos desse tipo estão em truques de cálculo mental que funcionam.

Uma regra para praticar: desenhe o modelo de área

Um modelo de área deixa a propriedade distributiva visível, o que ajuda as crianças que perdem as partes de vista. Desenhe um retângulo com 7 quadradinhos de altura e 8 de largura, corte-o depois da quinta coluna e conte cada parte: 7 × 5 = 35 quadradinhos e 7 × 3 = 21 quadradinhos. O padrão 3.MD.C.7c do Common Core pede que o aluno use modelos de área para representar a propriedade distributiva no raciocínio matemático.

Decompor um número em fatores é a mesma habilidade de achar o máximo divisor comum, e o guia de MDC e MMC mostra como 36 + 8 vira 4 × (9 + 2) = 44.

Como acompanhar o progresso com as propriedades da multiplicação

Cinco perguntas curtas mostram se uma criança ou um adulto usa as propriedades da multiplicação ou só recita fatos.

• Inverter: Pergunte "Se 6 × 9 = 54, quanto é 9 × 6?". Um "54" rápido, sem fazer a conta, mostra que a propriedade comutativa foi entendida.
• Dividir: Peça 8 × 7 usando 8 × 5. A resposta esperada é 40 + 16 = 56.
• Reagrupar: Dê 2 × 13 × 5. A criança que enxerga 10 × 13 = 130 está usando a propriedade associativa.
• Zero e um: Pergunte 0 × 12 e 1 × 12. As respostas são 0 e 12; confundir as duas é comum.
• Explicar: Pergunte por que 4 × 6 = 4 × 3 + 4 × 3. "Porque 6 é 3 + 3" basta.

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Um teste semanal de dois minutos

Uma verificação de dois minutos por semana, com o raciocínio dito em voz alta, mostra mais que uma página de exercícios. Misture uma pergunta de cada tipo e observe qual propriedade a criança usa. Crianças que contam de tanto em tanto até cada resposta podem fechar essa lacuna com os padrões de contagem de 2 em 2, de 5 em 5 e de 10 em 10.

Erros comuns e casos especiais

Cinco erros causam a maioria das respostas erradas com as propriedades da multiplicação, e cada um tem uma correção curta.

• Inverter a subtração ou a divisão: O OpenStax mostra que 12 ÷ 4 = 3, enquanto 4 ÷ 12 = 1/3, e que 7 − 3 = 4, enquanto 3 − 7 = −4. Só a adição e a multiplicação são comutativas.
• Reagrupar a divisão: (24 ÷ 4) ÷ 2 = 3, mas 24 ÷ (4 ÷ 2) = 12. A divisão e a subtração não são associativas, então mantenha os parênteses onde estão.
• Confundir 0 e 1: 8 × 0 = 0 e 8 × 1 = 8. A criança que escreve 8 × 0 = 8 está aplicando a regra da adição 8 + 0 = 8.
• Distribuir sobre uma multiplicação: 2 × (3 × 4) é 24, enquanto 2 × 3 × 2 × 4 é 48. A propriedade distributiva funciona sobre uma soma ou uma diferença, nunca sobre um produto.
• Somar antes de multiplicar: 7 × 5 + 7 × 3 quer dizer que os dois produtos são calculados primeiro. O guia de expressões numéricas e a ordem das operações explica por quê: fazer da esquerda para a direita, como (7 × 5 + 7) × 3, dá 126 em vez de 56.

Caso especial: a propriedade distributiva na subtração

A propriedade distributiva também funciona na subtração: a × (b − c) = a × b − a × c, uma das outras formas que o OpenStax lista. Ela deixa a tabuada do 9 fácil: 8 × 9 = 8 × 10 − 8 × 1 = 80 − 8 = 72, e 6 × 99 = 600 − 6 = 594.

A divisão só se distribui quando é a soma que está sendo dividida. (20 + 8) ÷ 4 = 5 + 2 = 7 está certo, mas 24 ÷ (4 + 2) é 24 ÷ 6 = 4, enquanto 24 ÷ 4 + 24 ÷ 2 = 6 + 12 = 18.

Sua lista de verificação das propriedades da multiplicação e próximos passos

• Comutativa: aprenda um fato e ganhe o inverso de graça.
• Elemento neutro e anulamento: as colunas do 1 e do 0 estão resolvidas.
• Distributiva: divida o fator difícil em cincos ou dezenas e multiplique as duas partes.
• Associativa: reagrupe três fatores para formar 10 ou 100 primeiro.
• Confira: a subtração e a divisão mantêm a ordem e os parênteses.

Para praticar no 3º e no 4º ano, use a página do jogo da tabuada, onde os fatos que as propriedades destravam viram memória rápida.

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