Les propriétés de la multiplication : commutativité, associativité et distributivité

Votre enfant sait par cœur que 7 × 5 = 35, mais il bloque sur 7 × 8, et la fiche d'exercices demande d'« utiliser la distributivité ». Les propriétés de la multiplication sont les cinq règles qui permettent à un résultat connu d'en débloquer un inconnu : commutativité, associativité, distributivité, élément neutre et élément absorbant. Dès qu'un enfant voit que 7 × 8, c'est 7 × 5 plus 7 × 3, les tables cessent d'être 100 résultats isolés à mémoriser.

Quelles sont les propriétés de la multiplication ?

Les propriétés de la multiplication sont des règles valables pour tous les nombres, quelle que soit leur taille. La commutativité permet d'échanger l'ordre, l'associativité de regrouper autrement, la distributivité de décomposer un facteur, et les propriétés de 1 et de 0 disent ce que font ces deux nombres.

En France, le travail commence au CE1. Le programme de mathématiques du cycle 2 demande à l'élève de CE1 de « comprendre et savoir que la multiplication est commutative », avec un potager de « huit colonnes de quatre salades » qui se lit aussi comme quatre rangées de huit. Le même programme fait déjà calculer 13 × 7 en verbalisant « 13 fois 7, c'est 10 fois 7 plus 3 fois 7 », au titre de la « propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ». Aux États-Unis, le standard Common Core 3.OA.B.5 fixe ce travail en grade 3, l'équivalent du CE2, et précise que les élèves n'ont pas besoin d'employer les noms savants. Le programme français dit la même chose pour la 6e : « même si leur nom n'est pas mentionné par le professeur », il doit expliciter commutativité et associativité.

Pourquoi la commutativité réduit les tables à 55 résultats

La commutativité fait que les tables de 1 à 10 ne contiennent que 55 résultats différents au lieu de 100. La grille compte 100 cases, dont 10 carrés comme 7 × 7. Les 90 autres cases vont par paires retournées, comme 3 × 8 et 8 × 3, ce qui donne 45 paires, et 45 + 10 = 55.

Un tableau de points montre pourquoi l'ordre ne compte pas. Trois rangées de 5 points et cinq rangées de 3 points, ce sont les mêmes 15 points, tournés d'un quart de tour.

Comment utiliser la distributivité, étape par étape

La distributivité dit que multiplier un nombre par une somme revient à le multiplier par chaque terme puis à additionner les résultats. La section d'OpenStax Prealgebra sur la distributivité l'écrit a(b + c) = ab + ac, et le programme français de 5e la note k(a + b) = ka + kb. En pratique, elle transforme un calcul difficile en deux calculs faciles.

1. Choisissez le facteur le plus difficile. Dans 7 × 8, c'est le 8 qu'on décompose, car 7 × 5 et 7 × 3 sont plus faciles que 7 × 8.
2. Décomposez-le en parties simples. Choisissez des parties que l'enfant connaît : 8 = 5 + 3, ou 14 = 10 + 4. Les 5 et les 10 sont les appuis habituels.
3. Multipliez chaque partie par l'autre facteur. Calculez 7 × 5 = 35 et 7 × 3 = 21. Écrivez les deux produits avant d'additionner.
4. Additionnez les produits partiels. 35 + 21 = 56, donc 7 × 8 = 56. Pour un nombre plus grand, 6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4 = 60 + 24 = 84.
5. Vérifiez avec une autre décomposition. Décomposez autrement : 7 × 8 = 7 × 4 + 7 × 4 = 28 + 28 = 56. Deux chemins qui donnent le même résultat fixent le fait en mémoire.

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L'erreur fréquente : ne multiplier que le premier terme

L'erreur la plus fréquente avec la distributivité consiste à multiplier le premier terme de la somme et à oublier le second. Un enfant écrit 6 × (10 + 4) = 60 + 4 = 64 au lieu de 60 + 24 = 84. Le remède : tracer une flèche du 6 vers chaque nombre entre parenthèses et compter les produits. Deux termes, deux multiplications.

La même décomposition est le cœur de la multiplication posée. Les produits partiels de 23 × 4 sont 20 × 4 = 80 et 3 × 4 = 12, qui font 92, et le guide pour enseigner la multiplication posée construit toute la technique en colonnes à partir de cette étape.

Les cinq propriétés de la multiplication en un tableau

Les cinq propriétés de la multiplication tiennent dans un tableau : chacune a une règle avec des lettres, un exemple chiffré et un rôle dans les tables. Les règles suivent la table 3 du glossaire Common Core et la section d'OpenStax sur l'élément neutre, l'inverse et zéro, selon laquelle le produit de tout nombre par 0 vaut 0.

Quelle propriété de la multiplication enseigner en premier

La commutativité est la propriété à enseigner en premier, parce qu'elle rapporte tout de suite. Le programme du cycle 2 la place au CE1 et précise qu'au CE2 elle « est à nouveau explicitée si des élèves en ont besoin ». Le programme national anglais de mathématiques la place aussi en Year 2, l'équivalent du CE1.

Les rôles de 0 et de 1 viennent ensuite, car ils règlent deux colonnes entières de la table. La distributivité suit : au CE2, le programme français fait calculer 23 × 7 = (20 × 7) + (3 × 7) = 140 + 21 = 161, et au CM1 il demande d'« utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans des cas simples ». Les étapes de comment apprendre les tables de multiplication rapidement suivent le même ordre.

Le calcul mental grâce aux propriétés de la multiplication

Les propriétés de la multiplication font tourner la plupart des astuces de calcul mental. L'associativité et la commutativité ensemble permettent de réordonner et de regrouper n'importe quelle suite de facteurs, pour chercher un 10 ou un 100.

Prenons 4 × 7 × 25. On échange et on regroupe : 7 × (4 × 25) = 7 × 100 = 700. De même, 5 × 18 = 5 × (2 × 9) = (5 × 2) × 9 = 10 × 9 = 90.

Le programme de CE2 donne un exemple du même type : 9 × 40 = 9 × (4 × 10) = (9 × 4) × 10 = 36 × 10 = 360. Le Common Core montre les deux ordres pour 3 × 5 × 2 : 15 × 2 = 30, ou 3 × 10 = 30.

La distributivité marche aussi avec les prix et les décimaux. Trois places de cinéma à 9,25 € coûtent 3 × (9 + 0,25) = 27 + 0,75 = 27,75 €. D'autres raccourcis de ce genre sont dans les astuces de calcul mental qui marchent.

Une règle d'entraînement : dessiner le rectangle

Un rectangle quadrillé rend la distributivité visible, ce qui aide les enfants qui perdent le fil des parties. Dessinez un rectangle de 7 carreaux de haut et 8 de large, coupez-le après la cinquième colonne et comptez chaque partie : 7 × 5 = 35 carreaux et 7 × 3 = 21 carreaux. Le standard Common Core 3.MD.C.7c demande justement d'utiliser des modèles d'aire pour représenter la distributivité.

Décomposer un nombre en facteurs, c'est la même compétence que chercher un plus grand diviseur commun, et le guide sur le PGCD et le PPCM montre comment 36 + 8 devient 4 × (9 + 2) = 44. Au collège, ce geste s'appelle factoriser.

Comment vérifier les progrès avec les propriétés de la multiplication

Cinq questions courtes montrent si un enfant ou un adulte utilise les propriétés de la multiplication ou se contente de réciter.

• Retournement : demandez « Si 6 × 9 = 54, combien fait 9 × 6 ? ». Un « 54 » immédiat, sans calcul, montre que la commutativité est acquise.
• Décomposition : demandez 8 × 7 en partant de 8 × 5. La réponse attendue est 40 + 16 = 56.
• Regroupement : donnez 2 × 13 × 5. Un enfant qui voit 10 × 13 = 130 utilise l'associativité.
• Zéro et un : demandez 0 × 12 et 1 × 12. Les réponses sont 0 et 12 ; les confondre est fréquent.
• Explication : demandez pourquoi 4 × 6 = 4 × 3 + 4 × 3. « Parce que 6, c'est 3 + 3 » suffit.

Jouer gratuitement dans le navigateurFacteur manquantCE2–CM1

Un test de deux minutes par semaine

Un contrôle de deux minutes une fois par semaine, avec le raisonnement dit à voix haute, en apprend plus qu'une page d'exercices. Mélangez une question de chaque sorte et notez la propriété que l'enfant mobilise. Les enfants qui comptent de n en n pour chaque résultat peuvent combler l'écart avec les régularités de compter de 2 en 2, de 5 en 5.

Erreurs fréquentes et cas particuliers

Cinq erreurs causent la plupart des mauvaises réponses avec les propriétés de la multiplication, et chacune a un remède court.

• Retourner une soustraction ou une division : OpenStax montre que 12 : 4 = 3 alors que 4 : 12 = 1/3, et que 7 − 3 = 4 alors que 3 − 7 = −4. Seules l'addition et la multiplication sont commutatives.
• Regrouper une division : (24 : 4) : 2 = 3, mais 24 : (4 : 2) = 12. La division et la soustraction ne sont pas associatives, donc les parenthèses restent où elles sont.
• Confondre 0 et 1 : 8 × 0 = 0 et 8 × 1 = 8. Un enfant qui écrit 8 × 0 = 8 applique la règle de l'addition 8 + 0 = 8.
• Distribuer sur un produit : 2 × (3 × 4) vaut 24, alors que 2 × 3 × 2 × 4 vaut 48. La distributivité s'applique à une somme ou à une différence, jamais à un produit.
• Additionner avant de multiplier : 7 × 5 + 7 × 3 veut dire qu'on calcule d'abord les deux produits. Le guide sur les priorités opératoires explique pourquoi : calculer de gauche à droite (7 × 5 + 7) × 3 donne 126 au lieu de 56.

Cas particulier : la distributivité sur la soustraction

La distributivité marche aussi avec une différence : a × (b − c) = a × b − a × c, la forme k(a – b) = ka – kb que le programme de 5e cite à côté de la somme. Elle rend la table de 9 facile : 8 × 9 = 8 × 10 − 8 × 1 = 80 − 8 = 72, et 6 × 99 = 600 − 6 = 594.

La division ne se distribue que quand c'est la somme qui est divisée. (20 + 8) : 4 = 5 + 2 = 7 est juste, mais 24 : (4 + 2) vaut 24 : 6 = 4, alors que 24 : 4 + 24 : 2 = 6 + 12 = 18.

Votre liste de contrôle des propriétés de la multiplication et la suite

• Commutativité : un résultat appris, son retournement offert.
• Éléments neutre et absorbant : les colonnes de 1 et de 0 sont réglées.
• Distributivité : décomposez le facteur difficile en 5 ou en 10 et multipliez les deux parties.
• Associativité : regroupez trois facteurs pour former d'abord 10 ou 100.
• Vérification : la soustraction et la division gardent leur ordre et leurs parenthèses.

L'entraînement du CE2 et du CM1 se trouve sur la page du jeu des tables de multiplication, où les résultats débloqués par les propriétés deviennent des réflexes.

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