Eigenschappen van vermenigvuldigen: wisselen, schakelen en de verdeeleigenschap

Je kind kent 7 × 5 = 35 uit het hoofd maar loopt vast op 7 × 8, en op het huiswerkblad staat "gebruik de verdeeleigenschap". De rekenregels bij vermenigvuldigen zijn de vijf eigenschappen waarmee een bekende som een onbekende openbreekt: de wisseleigenschap, de schakeleigenschap, de verdeeleigenschap en de regels voor 1 en 0. Zodra een kind ziet dat 7 × 8 gelijk is aan 7 × 5 plus 7 × 3, zijn de tafels geen 100 losse sommen meer om te stampen.

Wat zijn de rekenregels bij vermenigvuldigen?

De rekenregels bij vermenigvuldigen zijn eigenschappen die voor elk getal gelden, hoe groot ook. Met de wisseleigenschap verwissel je de volgorde, met de schakeleigenschap groepeer je anders, met de verdeeleigenschap splits je een factor, en de regels voor 1 en 0 zeggen wat die twee getallen doen.

In Nederland noemt de uitwerking van kerndoel 29 bij SLO voor groep 5 en 6 bij vermenigvuldigen het "verwisselen", met het voorbeeld 25 x 8 → 8 x 25, en het "verdelen", met 5 x 28 → 5 x 20 + 5 x 8. In de VS begint het in grade 3, ongeveer groep 5. De Common Core-standaard 3.OA.B.5 vraagt leerlingen "eigenschappen van bewerkingen toe te passen als strategie om te vermenigvuldigen en te delen", met voorbeelden als "8 × 7 = 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56". Een voetnoot zegt dat leerlingen "de formele namen van deze eigenschappen niet hoeven te gebruiken", dus een kind kan het idee gebruiken lang voor het woord "verdeeleigenschap" valt.

Waarom de wisseleigenschap de tafels terugbrengt tot 55 sommen

Door de wisseleigenschap bevatten de tafels tot 10 × 10 maar 55 verschillende sommen in plaats van 100. Het rooster heeft 100 vakjes, en 10 daarvan zijn kwadraten zoals 7 × 7. De andere 90 vakjes vormen omkeerparen zoals 3 × 8 en 8 × 3, dat zijn 45 paren, en 45 + 10 = 55.

Een stippenrooster laat zien waarom de volgorde er niet toe doet. Drie rijen van 5 stippen en vijf rijen van 3 stippen zijn dezelfde 15 stippen, een kwartslag gedraaid.

De verdeeleigenschap toepassen, stap voor stap

De verdeeleigenschap zegt dat een getal keer een som gelijk is aan dat getal keer elk deel, opgeteld. Het hoofdstuk over de distributieve eigenschap in OpenStax Prealgebra schrijft het als a(b + c) = ab + ac. In de praktijk maakt de regel van één moeilijke som twee makkelijke.

1. Kies de lastigste factor. In 7 × 8 splits je de 8, want 7 keer 5 en 7 keer 3 zijn makkelijker dan 7 × 8.
2. Splits hem in handige stukken. Kies stukken die je kind al kent: 8 = 5 + 3, of 14 = 10 + 4. Vijven en tienen zijn de gewone ankers.
3. Vermenigvuldig elk stuk met de andere factor. Reken 7 × 5 = 35 en 7 × 3 = 21 uit. Schrijf beide uitkomsten op voordat je optelt.
4. Tel de deeluitkomsten op. 35 + 21 = 56, dus 7 × 8 = 56. Bij een groter getal: 6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4 = 60 + 24 = 84.
5. Controleer met een tweede splitsing. Splits op een andere manier: 7 × 8 = 7 × 4 + 7 × 4 = 28 + 28 = 56. Twee routes die hetzelfde geven, laten de som beter beklijven.

Gratis spelen in je browserTafelsGroep 5+

Waar het misgaat: alleen de eerste term vermenigvuldigen

De meest gemaakte fout met de verdeeleigenschap is het eerste deel van de som vermenigvuldigen en het tweede vergeten. Een kind schrijft 6 × (10 + 4) = 60 + 4 = 64 in plaats van 60 + 24 = 84. De oplossing: trek een pijl van de 6 naar elk getal tussen de haakjes en tel de producten, want twee delen betekent twee keer vermenigvuldigen.

Dezelfde splitsing zit achter het cijferend vermenigvuldigen. De deeluitkomsten in 23 × 4 zijn 20 × 4 = 80 en 3 × 4 = 12, samen 92, en de gids over cijferend vermenigvuldigen uitleggen bouwt de hele kolommethode op vanuit die stap.

De vijf rekenregels bij vermenigvuldigen naast elkaar

De vijf rekenregels bij vermenigvuldigen passen in één tabel: elke regel heeft een formule met letters, een getallenvoorbeeld en een taak bij de tafels. De letterformules volgen tabel 3 van de begrippenlijst van Common Core en het hoofdstuk van OpenStax over identiteit, inversen en nul, dat zegt dat "het product van elk getal en 0 gelijk is aan 0".

Welke rekenregel je als eerste aanleert

De wisseleigenschap leer je als eerste aan, omdat die meteen iets oplevert. Het nationale curriculum van Engeland vraagt leerlingen in Year 2, ongeveer groep 4, om "te laten zien dat je 2 getallen in elke volgorde kunt vermenigvuldigen (commutatief) en dat je bij delen de volgorde niet kunt omdraaien" (leerplannen wiskunde).

Keer 1 en keer 0 komen daarna, want die ruimen twee hele kolommen van de tafels op. Hetzelfde curriculum noemt in Year 4, ongeveer groep 6, "vermenigvuldigen met 0 en 1" en "de distributieve wet gebruiken om tweecijferige getallen met 1 cijfer te vermenigvuldigen", met het voorbeeld 39 × 7 = 30 × 7 + 9 × 7, dus 210 + 63 = 273. De stappen in snel de tafels leren volgen dezelfde volgorde.

Hoofdrekenen met de rekenregels bij vermenigvuldigen

De rekenregels bij vermenigvuldigen zijn de motor achter de meeste trucs bij hoofdrekenen. Samen laten de wisseleigenschap en de schakeleigenschap je elke rij factoren herschikken, zodat je kunt zoeken naar een 10 of een 100.

Neem 4 × 7 × 25. Verwissel en groepeer: 7 × (4 × 25) = 7 × 100 = 700. Op dezelfde manier is 5 × 18 = 5 × (2 × 9) = (5 × 2) × 9 = 10 × 9 = 90.

Het voorbeeld van Common Core laat beide volgordes zien: "3 × 5 × 2 kun je uitrekenen als 3 × 5 = 15, dan 15 × 2 = 30, of als 5 × 2 = 10, dan 3 × 10 = 30".

De verdeeleigenschap werkt ook met bedragen en kommagetallen. Drie bioscoopkaartjes van € 9,25 kosten 3 × (9 + 0,25) = 27 + 0,75 = € 27,75. Meer van zulke korte wegen staan in trucs voor hoofdrekenen die werken.

Een oefenregel: teken het rechthoekmodel

Een rechthoekmodel maakt de verdeeleigenschap zichtbaar, en dat helpt kinderen die de stukken uit het oog verliezen. Teken een rechthoek van 7 hokjes hoog en 8 hokjes breed, knip hem na de vijfde kolom en tel elk deel: 7 × 5 = 35 hokjes en 7 × 3 = 21 hokjes. Common Core-standaard 3.MD.C.7c vraagt leerlingen "oppervlaktemodellen te gebruiken om de distributieve eigenschap weer te geven".

Een getal in factoren splitsen is dezelfde vaardigheid als de grootste gemene deler zoeken, en de gids over ggd en kgv laat zien hoe 36 + 8 verandert in 4 × (9 + 2) = 44.

Zo controleer je de vooruitgang met de rekenregels

Vijf korte vragen laten zien of een kind of een volwassene de rekenregels bij vermenigvuldigen gebruikt of alleen sommen opzegt.

• Omdraaien: Vraag "Als 6 × 9 = 54, wat is dan 9 × 6?" Een snel "54" zonder te rekenen betekent dat de wisseleigenschap is ingedaald.
• Splitsen: Vraag naar 8 × 7 via 8 × 5. Het antwoord waar je naar luistert is 40 + 16 = 56.
• Anders groeperen: Geef 2 × 13 × 5. Een kind dat 10 × 13 = 130 ziet, gebruikt de schakeleigenschap.
• Nul en één: Vraag naar 0 × 12 en 1 × 12. De antwoorden zijn 0 en 12; die twee worden vaak verwisseld.
• Uitleggen: Vraag waarom 4 × 6 = 4 × 3 + 4 × 3. "Omdat 6 gelijk is aan 3 + 3" is genoeg.

Gratis spelen in je browserOntbrekende factorGroep 5–6

Een toets van twee minuten per week

Een controle van twee minuten per week, waarbij je kind hardop rekent, laat meer zien dan een blad vol stampwerk. Neem van elke soort één vraag en let op welke regel je kind pakt. Kinderen die naar elk antwoord toe tellen, kunnen de stap maken met de patronen uit sprongen tellen uitgelegd.

Veelgemaakte fouten en randgevallen

Vijf fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden bij de rekenregels, en elke fout heeft een korte oplossing.

• Aftrekken of delen omdraaien: OpenStax laat zien dat 12 : 4 = 3 terwijl 4 : 12 = 1/3, en dat 7 − 3 = 4 terwijl 3 − 7 = −4. Alleen optellen en vermenigvuldigen hebben de wisseleigenschap.
• Delen anders groeperen: (24 : 4) : 2 = 3, maar 24 : (4 : 2) = 12. Delen en aftrekken hebben geen schakeleigenschap, dus laat de haakjes staan waar ze staan.
• 0 en 1 verwarren: 8 × 0 = 0 en 8 × 1 = 8. Een kind dat 8 × 0 = 8 schrijft, past de optelregel 8 + 0 = 8 toe.
• Verdelen over een vermenigvuldiging: 2 × (3 × 4) is 24, terwijl 2 × 3 × 2 × 4 gelijk is aan 48. De verdeeleigenschap werkt over een som of een verschil, nooit over een product.
• Optellen voor vermenigvuldigen: 7 × 5 + 7 × 3 betekent dat je eerst de twee producten uitrekent. De gids over de rekenvolgorde legt uit waarom: van links naar rechts rekenen als (7 × 5 + 7) × 3 geeft 126 in plaats van 56.

Randgeval: de verdeeleigenschap bij aftrekken

De verdeeleigenschap werkt ook bij aftrekken: a × (b − c) = a × b − a × c, een van de "andere vormen" die OpenStax noemt. Daarmee wordt de tafel van 9 makkelijk: 8 × 9 = 8 × 10 − 8 × 1 = 80 − 8 = 72, en 6 × 99 = 600 − 6 = 594.

Bij delen mag je alleen verdelen als de som gedeeld wordt. (20 + 8) : 4 = 5 + 2 = 7 klopt, maar 24 : (4 + 2) is 24 : 6 = 4, terwijl 24 : 4 + 24 : 2 = 6 + 12 = 18.

Je checklist voor de rekenregels en de volgende stappen

• Wisseleigenschap: leer één som, en de omgekeerde krijg je gratis.
• Keer 1 en keer 0: de tafels van 1 en 0 zijn klaar.
• Verdeeleigenschap: splits de lastige factor in vijven of tienen en vermenigvuldig beide stukken.
• Schakeleigenschap: groepeer drie factoren zo dat je eerst 10 of 100 maakt.
• Controle: bij aftrekken en delen blijven volgorde en haakjes staan.

Oefening voor groep 5 en 6 vind je op de pagina met het tafelspel, waar de sommen die de rekenregels openbreken snel paraat worden.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast aan elke speler en dagelijkse oefening, in 33 talen. Gezinnen kunnen het tegen elkaar opnemen in live wedstrijden met 2 tot 5 spelers, 22 van de spellen spelen gratis in de browser zonder account, en 30 printbare werkbladen hebben een antwoordblad.