乘法运算定律：交换律、结合律和乘法分配律讲解

孩子能脱口说出 7 × 5 = 35，一到 7 × 8 就卡住，作业上还写着“用乘法分配律计算”。乘法运算定律就是让会的算式帮你算出不会的算式的几条规则：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，再加上乘 1 和乘 0 的规律。孩子一旦看出 7 × 8 就是 7 × 5 加 7 × 3，乘法口诀就不再是一堆要死记的孤立算式。

乘法运算定律有哪些？

乘法运算定律对任何数都成立，不管数有多大。乘法交换律允许交换因数的位置，乘法结合律允许重新分组，乘法分配律允许把一个因数拆开，乘 1 和乘 0 的规律说明 1 和 0 在乘法里起什么作用。

国内在第二学段学运算律。教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求三、四年级学生“探索并理解运算律（加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律、乘法对加法的分配律），能用字母表示运算律”，还要“能运用运算律进行简便运算”。国内常见教材把运算定律集中放在四年级下学期。美国的共同核心州立数学标准 3.OA.B.5 放在三年级，例子和本文一样：知道 6 × 4 = 24，也就知道 4 × 6 = 24；8 × 7 可以算成 8 × (5 + 2) = 40 + 16 = 56。

为什么乘法交换律让九九乘法口诀只有 45 句

乘法交换律说明，9 × 9 的乘法表虽然有 81 格，不同的算式只有 45 个。81 格里有 9 格是两个相同的数相乘，比如 7 × 7；其余 72 格两两成对，比如 3 × 8 和 8 × 3，一共 36 对，36 + 9 = 45。九九乘法口诀正好 45 句，一句“三八二十四”管 3 × 8 和 8 × 3 两道题。

点子图能说明为什么顺序不影响积。3 行、每行 5 个点，和 5 行、每行 3 个点，是同样的 15 个点，只是转了 90 度。

乘法分配律怎么用：一步一步来

乘法分配律是指一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数再相加。OpenStax《Prealgebra》讲分配律的一节写成：如果 a、b、c 是实数，那么 a(b + c) = ab + ac。实际用起来，它把一道难算的题变成两道好算的题。

1. 选出难算的那个因数。 在 7 × 8 里拆 8，因为 7 乘 5、7 乘 3 都比 7 × 8 好算。
2. 把它拆成好算的两部分。 拆成孩子已经会的数：8 = 5 + 3，或者 14 = 10 + 4。5 和 10 是最常用的“落脚点”。
3. 用另一个因数分别乘这两部分。 算出 7 × 5 = 35，7 × 3 = 21。两个积都写下来，再相加。
4. 把两个部分积相加。 35 + 21 = 56，所以 7 × 8 = 56。大一点的数也一样：6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4 = 60 + 24 = 84。
5. 换一种拆法验算。 换个拆法：7 × 8 = 7 × 4 + 7 × 4 = 28 + 28 = 56。两条路算出同一个数，孩子记得更牢。

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最容易错的地方：只乘了第一项

用乘法分配律最常见的错误，是只乘了括号里的第一个数，忘了第二个。孩子把 6 × (10 + 4) 写成 60 + 4 = 64，正确答案是 60 + 24 = 84。纠正办法是从 6 画箭头指向括号里的每一个数，再数一数积：括号里有两个数，就要乘两次。

竖式乘法背后也是这样拆的。23 × 4 的两个部分积是 20 × 4 = 80 和 3 × 4 = 12，合起来是 92。怎么教多位数乘法就是从这一步出发，搭起整套竖式算法的。

五条乘法规则对比

五条乘法规则可以放进一张表：每条都有用字母表示的式子、一道数字例题和它在乘法口诀里的用处。字母式子参照美国共同核心标准附录的表 3，以及 OpenStax 讲单位元、逆元和零的一节，书中写明：任何数和 0 的积都是 0。

先教哪一条

先教乘法交换律，因为它马上就有回报。国内二年级背乘法口诀时，孩子就已经在用它：一句“三五十五”能算 3 × 5，也能算 5 × 3。英格兰的数学学习计划也把它放在二年级，要求学生说明两个数相乘可以交换顺序，而一个数除以另一个数不行。

接着学乘 1 和乘 0，因为它们一下子解决了表里的两整列。同一份英格兰课程把“乘 0 和乘 1”以及“用分配律计算两位数乘一位数”放在四年级，例子是 39 × 7 = 30 × 7 + 9 × 7，也就是 210 + 63 = 273。怎样快速背会乘法口诀里的步骤也是按这个顺序安排的。

用乘法运算定律做简便计算

乘法运算定律是大多数简便计算和口算窍门背后的原理。乘法交换律和乘法结合律合在一起，可以把一串因数随意调换顺序、重新分组，专门去找能凑成 10 或 100 的组合。

看 4 × 7 × 25。调换再分组，变成 7 × (4 × 25) = 7 × 100 = 700。同样，5 × 18 = 5 × (2 × 9) = (5 × 2) × 9 = 10 × 9 = 90。国内课堂上常说的“25 × 4 = 100、125 × 8 = 1000”，就是为这种凑整准备的。

美国共同核心标准的例子把两种顺序都写出来了：3 × 5 × 2 可以先算 3 × 5 = 15，再算 15 × 2 = 30；也可以先算 5 × 2 = 10，再算 3 × 10 = 30。

乘法分配律也能算价钱和小数。一张电影票 9.25 元，买 3 张：3 × (9 + 0.25) = 27 + 0.75 = 27.75 元。更多这样的窍门见真正管用的口算技巧。

一个练习办法：画面积图

面积图能让乘法分配律看得见，对拆着拆着就乱了的孩子很有帮助。画一个高 7 格、宽 8 格的长方形，在第 5 列后面切开，分别数两部分：7 × 5 = 35 格，7 × 3 = 21 格。美国标准 3.MD.C.7c 也要求学生用面积模型表示分配律。

把一个数拆成因数，和找最大公因数是同一种本事。最大公因数和最小公倍数讲了 36 + 8 怎样变成 4 × (9 + 2) = 44。

怎么检查孩子是否学会了乘法运算定律

五个小问题，就能看出孩子（或者大人）是在用乘法运算定律，还是只会背口诀。

• 交换： 问“6 × 9 = 54，那 9 × 6 等于多少？”不用算就答出 54，说明乘法交换律已经会用了。
• 拆分： 让孩子借助 8 × 5 算 8 × 7。要听到的答案是 40 + 16 = 56。
• 重新分组： 出 2 × 13 × 5。看出 10 × 13 = 130 的孩子，用的就是乘法结合律。
• 0 和 1： 问 0 × 12 和 1 × 12。答案是 0 和 12，两者搞混很常见。
• 说理由： 问为什么 4 × 6 = 4 × 3 + 4 × 3。答“因为 6 是 3 + 3”就够了。

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每周两分钟小测

每周一次两分钟小测，让孩子把思路说出来，比做一整页口算题更能看出问题。每种题各出一道混在一起，留意孩子会去用哪一条定律。每道题都要一个一个往上数的孩子，可以先用跳着数里的规律补上这一步。

常见错误和特殊情况

用乘法运算定律时，大多数错答出自五种错误，每种都有一句话的纠正。

• 把减法或除法也交换： OpenStax 指出 12 ÷ 4 = 3，而 4 ÷ 12 = 1/3；7 − 3 = 4，而 3 − 7 = −4。只有加法和乘法有交换律。
• 除法重新分组： (24 ÷ 4) ÷ 2 = 3，但 24 ÷ (4 ÷ 2) = 12。除法和减法没有结合律，括号不能乱挪。
• 0 和 1 搞混： 8 × 0 = 0，8 × 1 = 8。写出 8 × 0 = 8 的孩子，是把加法的 8 + 0 = 8 搬过来了。
• 对乘法用分配律： 2 × (3 × 4) 是 24，而 2 × 3 × 2 × 4 是 48。乘法分配律只对和或差成立，对积不成立。
• 先加后乘： 7 × 5 + 7 × 3 要先算出两个积。运算顺序讲了原因：从左往右算成 (7 × 5 + 7) × 3，会得到 126 而不是 56。

特殊情况：乘法对减法的分配

乘法分配律对减法也成立：a × (b − c) = a × b − a × c，这是 OpenStax 列出的“其他形式”之一。乘 9 因此变得很简单：8 × 9 = 8 × 10 − 8 × 1 = 80 − 8 = 72，6 × 99 = 600 − 6 = 594。

除法只有在被除数是和的时候才能分开算。(20 + 8) ÷ 4 = 5 + 2 = 7 是对的；但 24 ÷ (4 + 2) = 24 ÷ 6 = 4，而 24 ÷ 4 + 24 ÷ 2 = 6 + 12 = 18。

乘法运算定律检查清单和下一步

• 乘法交换律： 记住一句口诀，就同时会了两道题。
• 乘 1 和乘 0： 表里这两整列直接解决。
• 乘法分配律： 把难算的因数拆成 5 或 10 加一个数，两部分都要乘。
• 乘法结合律： 三个因数重新分组，先凑出 10 或 100。
• 检查： 减法和除法不能交换顺序，括号也不能乱挪。

三、四年级的练习在乘法口诀游戏页面，运算定律帮孩子推出来的算式，在那里练成脱口而出。

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