İşlem önceliği: adım adım çözümlü örnekler

Kural tek cümleyle nedir?

Bir ifadeyi şu sırayla çözün: önce parantezler, sonra üslü ifadeler, sonra çarpma ve bölme birlikte soldan sağa, en son toplama ve çıkarma birlikte soldan sağa. Kuralın tamamı budur. Türkiye'de de işlem önceliği tam bu sırayla öğretilir: parantez, üslü ifadeler, çarpma ve bölme, toplama ve çıkarma. Aşağıdaki her şey, bu cümlenin dikkatle uygulanmasından ibaret.

Kuralın ne olmadığını bilmek işe yarar. Burada hiçbir şey ispatlanmıyor ve işin içinde bir doğa yasası yok. Bu bir yazım anlaşmasıdır; 4 + 3 × 5 satırını okuyan herkesin aynı sayıya ulaşması için üzerinde uzlaşılmıştır. Onsuz biri önce toplayıp 35 bulur, bir başkası önce çarpıp 19 bulur ve kimin yanlış okuduğu söylenemez. Onunla birlikte cevap 19'dur: önce 3 × 5, sonra 4 eklenir.

Parantez, geçersiz kılma anahtarıdır. Kuralın ifade edebildiği her şeyi parantez daha açık ifade eder — bu yüzden bir satır kafa karıştırıyorsa, parantez eklemek her zaman doğru çözümdür.

PEMDAS, BODMAS ve BIDMAS farklı kurallar mı?

Hayır. Nerede okuduğunuza göre değişen farklı kısaltmaların altında tek bir anlaşma var. Harfler değişir, işin sırası değişmez. Bu kısaltmalar İngilizce sözcüklerin baş harflerinden kuruludur; Türkçede bir kısaltma yerine kuralın kendisi doğrudan sırayla söylenir.

Dikkate değer üç şey:

• İngilizcede parentheses ve brackets aynı şeydir; ikisi de parantez demektir. Exponents, orders, indices ve powers da aynı şeydir: hepsi 3² ya da 2³ gibi üslü ifadeleri anlatır.
• PEMDAS çarpmayı bölmeden, BODMAS bölmeyi çarpmadan önce yazar. Bu hiçbir şeyi değiştirmez: iki işlem eşit önceliklidir. Kısaltmanın bir harfi önce yazması gerekiyordu; matematiğin umurunda değil.
• Her sürüm kuralın en önemli kısmını gizler: soldan sağa eşitlik bozma.

İnsanlar en çok neyi yanlış yapıyor?

Kısaltmayı altı adım sayıyorlar. Adım dörttür, çünkü çarpma ile bölme bir adımı, toplama ile çıkarma da bir başkasını paylaşır.

1. Parantezler, en içteki çiftten başlayarak.
2. Üslü ifadeler.
3. Çarpma ve bölme, soldan sağa.
4. Toplama ve çıkarma, soldan sağa.

Bir adımın içinde satırı bir cümle gibi soldan sağa okur, önce hangi işlemle karşılaşırsanız onu yaparsınız. Üç kısa satır bunu gösteriyor; her birinin yanında kısaltmanın davet ettiği yanlış cevap var:

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. 10 − 7 = 3 değil.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. 100 ÷ 2,5 = 40 değil.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. 20 − 12 ÷ 8 = 18,5 değil.

Her seferinde yanlış cevap, soldan sağa okumak yerine kısaltmaya harfi harfine uymaktan geliyor. Kendinizi denetlemek için: bir satırda hem × hem ÷ ya da hem + hem − varsa, hiçbir şey yapmadan önce hangisinin daha solda durduğunu söyleyin.

Beş çözümlü örnek, adım adım

Zorluk sırasına göre beş satır; tek bir çarpmadan iç içe parantezli üslü ifadeye kadar. Her biri her satırda bir adım olacak biçimde yazıldı — kopyalanacak biçim bu.

1. 4 + 3 × 5

Çarpma toplamadan üstündür, o yüzden önce o gelir.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Cevap: 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

İçinde ne varsa önce parantez.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Cevap: 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

Parantez ve üs yok, o yüzden üçüncü adımdan başlayın ve soldan sağa okuyun. Bölme daha solda durduğu için önce o yapılır.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Cevap: 14.

4. 5 + 2 × 3²

Üs yalnızca 3'e aittir, 2 × 3'e değil.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Cevap: 23. Üslü ifadeler devreye girdiğinde kareler sürekli karşınıza çıkar, bu yüzden onları görür görmez bilmek işe yarar; kare sayılar oyunu bunu çalıştırır.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

İç içe parantez: en içteki çifti çözün, dış parantezi aynı dört adımla bitirin, sonra üs, çarpma ve çıkarma.

1. 10 − 4 = 6, satır 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7 olur
2. Parantezin içinde toplamadan önce bölme: 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, satır 2 × 6² − 7 olur
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Cevap: 65.

Her adımı ayrı satıra yazmak boş iş değil: soldan sağa kaymaları durduran alışkanlık budur ve işlem önceliği oyunu kaçırılan bir cevabı gösterirken tam bu biçimi kullanır.

6 ÷ 2(1 + 2) internette neden kavga çıkarıyor?

Çünkü ifade kötü yazılmış, aritmetik zor olduğu için değil. Birkaç yılda bir 6 ÷ 2(1 + 2) ya da 8 ÷ 2(2 + 2) gibi bir satır viral olur, yorumların yarısı 1 der, yarısı 9 ya da 16 der ve iki taraf da size bir kural gösterebilir.

Anlaşmayı öğretildiği gibi tam olarak uygularsanız şunu bulursunuz:

• 6 ÷ 2(1 + 2), 6 ÷ 2 × 3 olur, sonra 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2), 8 ÷ 2 × 4 olur, sonra 4 × 4 = 16

Burada 2(1 + 2), işareti yazılmamış bir çarpmadır. Standart okuma onu sıradan çarpma, yani bölmeyle eşit öncelikli sayar, o yüzden sırayı soldan sağa kuralı belirler.

Diğer kamp 2(1 + 2)'yi tek bir yapışık büyüklük olarak okur, çünkü işaretsiz yazılmış bir çarpma bölme işaretinden daha sıkı görünür. Bu okuma 6 ÷ 6 = 1 ve 8 ÷ 8 = 1 verir. Havadan da uydurulmuş değil: cebir böyle okunur, orada 2x tek bir şeydir ve hesap makinesi modelleri gerçekten anlaşamaz — aynı odadaki iki telefonun farklı sonuç göstermesinin nedeni budur.

Yani kavga aritmetikle değil, hiçbir kısaltmanın kapsamadığı bir yazım boşluğuyla ilgili. Matematiği ciddiye alan kimse o satırı yayımlamaz; şunlardan birini yazar ve tartışacak bir şey kalmaz:

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

Konunun pratik dersi şu: bir okur makul biçimde iki farklı cevap bulabiliyorsa, parantez ekleyin.

Dört yaygın hata

Yanlış cevapların neredeyse tamamını dört hata üretir. Üçü, kısaltmaya soldan sağa kuralından daha çok güvenmekten geliyor.

1. Çarpma ile bölmeyi iki ayrı adım saymak. 20 − 12 ÷ 4 × 2 satırında önce 4 × 2 = 8 yapmak 20 − 1,5 = 18,5 verir. Cevap 14'tür.
2. Toplama ile çıkarmayı iki ayrı adım saymak. 10 − 4 + 3 satırında önce 4 + 3 yapmak 3 verir. Cevap 9'dur.
3. Üssün komşusunu yutmasına izin vermek. 2 × 3² ifadesinde üs yalnızca 3'e aittir, yani sonuç 2 × 9 = 18'dir, (2 × 3)² = 36 değil.
4. Yazmak istediğiniz parantezi atlamak. Kesir çizgisi üstündeki ve altındaki her şeyi gruplar; tek satırdaki bölme işareti gruplamaz. Altta 3 + 1'in tamamını kastederken 12 ÷ 3 + 1 yazarsanız 3 yerine 5 bulursunuz. 12 ÷ (3 + 1) yazın.

Kuralı nasıl otomatikleştirirsiniz?

Uzun değil, kısa ve karışık ifadeleri, dört adım gözünüzün önündeyken çalışarak. Kuralı okumak iki dakika sürer; onu zaman baskısı altında kullanmak ayrı bir beceridir.

Dört şey bunu hızlandırır:

1. Canavar ifadelerle değil, üç işlemli satırlarla çalışın. 20 − 12 ÷ 4 × 2, yarım sayfalık bir ifadeden çok şey öğretir, çünkü yalnızca sırayı sınar.
2. Yaptığınız adımı, yukarıdaki örneklerdeki gibi her satıra bir tane yazın.
3. Önce temel işlemleri hızlandırın. 12 ÷ 4 üç saniye tutuyorsa kuralın kendisine dikkat kalmaz; gerçekten işe yarayan zihinden işlem teknikleri o katmanı kapsıyor.
4. Bir oturumda işlemleri karıştırın. Baştan sona çarpma olan bir sayfa sırayı hiç sınamaz; karışık bir sayfa sınar, yazdırılabilir 5. sınıflar için karışık çalışma kâğıdı da bunun için var, cevap anahtarı dâhil.

Çoğu programda bu konu beşinci ve altıncı sınıf civarında, cebir onu kaçınılmaz kılmadan hemen önce girer: harfler geldiğinde 3(x + 4) − 2 gibi bir satır tek bir biçimde okunabilir ve x'i bul oyunu onu okuyabildiğinizi varsayar. 5. sınıflar için matematik oyunları sayfası o düzeydeki tarayıcı oyunlarını topluyor.

MathIt'in yaklaşık 90 oyun türünden 22'si tarayıcıda üyeliksiz ve ücretsiz çalışır; iOS ve Android için ücretsiz uygulama ise uyarlanabilir zorluk ekler, yani ifadeler ancak kısa olanları doğru yaptıkça uzar ve daha derin iç içe geçer.