İşlem önceliği: adım adım çözümlü örnekler

Kural tek cümleyle nedir?

İşlem önceliği, bir ifadeyi tek bir sabit sırayla çözer: önce parantezler, sonra üslü ifadeler, sonra çarpma ve bölme birlikte soldan sağa, en son toplama ve çıkarma birlikte soldan sağa. Kuralın tamamı bu cümledir.

Kural bir yazım anlaşmasıdır; 4 + 3 × 5 satırını okuyan herkesin aynı sayıya ulaşması için üzerinde uzlaşılmıştır. Common Core matematik standartları bunu açıkça böyle koyar ve altıncı sınıf öğrencilerinden (6.EE.2c) işlemleri "belirli bir sırayı gösteren parantez yokken alışılmış sırada" yapmalarını ister. MEB Matematik Dersi Öğretim Programı da aynı sırayı kazanım olarak yazar: 5. sınıfta parantezli ifadelerin sonucunu bulmak, 6. sınıfta işlem önceliğini dikkate alarak doğal sayılarla dört işlem yapmak. Bu anlaşma olmasa biri önce toplayıp 35, bir başkası önce çarpıp 19 bulur. Onunla birlikte cevap 19'dur: önce 3 × 5, sonra 4 eklenir.

Parantez, geçersiz kılma anahtarıdır: bir satır kafa karıştırıyorsa, parantez eklemek her zaman doğru çözümdür.

PEMDAS, BODMAS ve BIDMAS farklı kurallar mı?

PEMDAS, BODMAS ve BIDMAS farklı kısaltmaların altındaki tek bir anlaşmadır; hangisiyle karşılaştığınız nerede okuduğunuza bağlıdır. Bu kısaltmalar İngilizce sözcüklerin baş harflerinden kuruludur; Türkçede bir kısaltma yerine kuralın kendisi doğrudan sırayla söylenir.

Üç ayrıntı önemli:

• İngilizcede parentheses ve brackets aynı şeydir ve exponents, orders, indices ile powers hepsi 3² ya da 2³ demektir.
• PEMDAS çarpmayı bölmeden, BODMAS bölmeyi çarpmadan önce yazar; bu hiçbir şeyi değiştirmez, çünkü iki işlem eşit önceliklidir.
• Her sürüm kuralın en önemli kısmını, yani soldan sağa eşitlik bozmayı gizler.

Kısaltmalar bir sınıf alışkanlığıdır ve program metinlerinde geçmez. İngiltere'nin ulusal matematik programı BIDMAS'ı hiç yazmaz; Year 6 öğrencilerinden "dört işlem içeren hesapları yaparken işlem önceliği bilgilerini kullanmalarını" ister. MEB programında da bir kısaltma yoktur: kazanım doğrudan "işlem önceliğini dikkate alarak" der.

İnsanlar en çok neyi yanlış yapıyor?

En yaygın işlem önceliği hatası, kısaltmayı altı adım gibi okumaktır. Adım dörttür, çünkü çarpma ile bölme bir adımı, toplama ile çıkarma da bir başkasını paylaşır.

1. Parantezler, en içteki çiftten başlayarak.
2. Üslü ifadeler.
3. Çarpma ve bölme, soldan sağa.
4. Toplama ve çıkarma, soldan sağa.

Bir adımın içinde satır soldan sağa okunur. Üç kısa satır bunu gösteriyor; her birinin yanında kısaltmanın davet ettiği yanlış cevap var:

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. Tuzak: 10 − 7 = 3.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Tuzak: 100 ÷ 2,5 = 40.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. Tuzak: 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

Her yanlış cevap, soldan sağa okumak yerine kısaltmaya harfi harfine uymaktan geliyor. Bir satırda hem × hem ÷ ya da hem + hem − varsa, hiçbir şey yapmadan önce hangisinin daha solda durduğunu söyleyin.

Beş çözümlü örnek, adım adım

Bu beş çözümlü örnek zorluk sırasına göre ilerliyor; tek bir çarpmadan iç içe parantezli üslü ifadeye kadar, her biri her satırda bir adım olacak biçimde yazıldı.

1. 4 + 3 × 5

Çarpma toplamadan üstündür, o yüzden önce o gelir.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Cevap: 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

Parantez, içinde ne varsa önce gelir.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Cevap: 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

20 − 12 ÷ 4 × 2 ifadesinde parantez ve üs yok, o yüzden işlem üçüncü adımdan başlar ve soldan sağa okunur. Bölme daha solda durur.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Cevap: 14.

4. 5 + 2 × 3²

Üs yalnızca 3'e aittir ve 2'ye ulaşmaz.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Cevap: 23. Üslü ifadeler devreye girdiğinde kareler sürekli karşınıza çıkar; kare sayılar oyunu bunu çalıştırır.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

İç içe parantezler içten dışa çözülür: önce en içteki çift, sonra aynı dört adımla dış parantez, sonra üs, çarpma ve çıkarma.

1. 10 − 4 = 6, satır 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7 olur
2. Parantezin içinde toplamadan önce bölme: 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, satır 2 × 6² − 7 olur
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Cevap: 65.

Her adımı ayrı satıra yazmak soldan sağa kaymaları durdurur ve işlem önceliği oyunu kaçırılan bir cevabı gösterirken bu biçimi kullanır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınİşlem Önceliği5. sınıf+

6 ÷ 2(1 + 2) internette neden kavga çıkarıyor?

6 ÷ 2(1 + 2) ifadesi internette kavga çıkarıyor, çünkü belirsiz yazılmış; içindeki aritmetik ise kolay. Birkaç yılda bir böyle bir satır viral olur, yorumların yarısı 1 der, yarısı 9 ya da 16 der ve iki taraf da size bir kural gösterebilir.

Anlaşmayı öğretildiği gibi uygularsanız şunu bulursunuz:

• 6 ÷ 2(1 + 2), 6 ÷ 2 × 3 olur, sonra 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2), 8 ÷ 2 × 4 olur, sonra 4 × 4 = 16

Her iki satırda da parantez, işareti yazılmamış bir çarpma taşır. Standart okuma ona bölmeyle eşit öncelik verir, o yüzden sırayı soldan sağa kuralı belirler.

Diğer kamp 2(1 + 2)'yi tek bir yapışık büyüklük olarak okur, çünkü işaretsiz yazılmış bir çarpma bölme işaretinden daha sıkı görünür. Bu okuma 6 ÷ 6 = 1 ve 8 ÷ 8 = 1 verir ve arkasında ciddi bir destek var: Harvard matematik bölümünden Oliver Knill iki anlaşmayı da izliyor ve böyle bir satırın gerçekten belirsiz olduğu sonucuna varıyor. Texas Instruments kendi TI-80, TI-81, TI-82 ve TI-85 modellerinin işaretsiz çarpmaya daha yüksek öncelik verdiğini, TI-83, TI-84 Plus, TI-89 ve TI-Nspire ailelerinin ise onu eşit saydığını belgeliyor; aynı odadaki iki hesap makinesinin farklı sonuç göstermesinin nedeni budur.

Kavga, hiçbir kısaltmanın kapsamadığı bir yazım boşluğuyla ilgili. Matematiği ciddiye alan biri bunun yerine belirsizlik taşımayan iki biçimden birini kullanır:

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

Pratik ders şu: bir okur makul biçimde iki farklı cevap bulabiliyorsa, parantez ekleyin.

Dört yaygın hata

Yanlış cevapların neredeyse tamamını dört hata üretir ve üçü kısaltmaya soldan sağa kuralından çok güvenmekten gelir.

1. Çarpma ile bölmeyi iki ayrı adım saymak. 20 − 12 ÷ 4 × 2 satırında önce 4 × 2 = 8 yapmak 18,5 verir; cevap 14'tür.
2. Toplama ile çıkarmayı iki ayrı adım saymak. 10 − 4 + 3 satırında önce 4 + 3 yapmak 3 verir; cevap 9'dur.
3. Üssün komşusunu yutmasına izin vermek. 2 × 3² ifadesinde üs yalnızca 3'e aittir, yani satır 2 × 9 = 18'dir. Önce 2 × 3'ün karesini almak 36 verir.
4. Yazmak istediğiniz parantezi atlamak. Kesir çizgisi üstündeki ve altındaki her şeyi gruplar; tek satırdaki bölme işareti gruplamaz. Altta 3 + 1'i kastederken 12 ÷ 3 + 1 yazarsanız 3 yerine 5 bulursunuz. 12 ÷ (3 + 1) yazın.

Kuralı nasıl otomatikleştirirsiniz?

Kural, dört adım gözünüzün önündeyken çalışılan kısa ve karışık ifadelerle otomatikleşir. Kuralı okumak iki dakika sürer; onu baskı altında kullanmak ayrı bir beceridir.

Dört alışkanlık bunu hızlandırır:

1. Üç işlemli satırlarla çalışın. 20 − 12 ÷ 4 × 2, yarım sayfalık bir ifadeden çok şey öğretir, çünkü yalnızca sırayı sınar.
2. Yaptığınız adımı, beş çözümlü örnekteki gibi her satıra bir tane yazın.
3. Önce temel işlemleri hızlandırın. 12 ÷ 4 üç saniye tutuyorsa kurala dikkat kalmaz; işe yarayan zihinden işlem teknikleri o katmanı kapsıyor.
4. Bir oturumda işlemleri karıştırın. Baştan sona çarpma olan bir sayfa sırayı hiç sınamaz; karışık bir sayfa sınar ve yazdırılabilir 5. sınıflar için karışık çalışma kâğıdı cevap anahtarıyla gelir.

Ücretsiz çalışma kâğıdıKarışık İşlemler — 5. Sınıf ÖğrencileriÇalışma Kağıdı · PDF

Programlar bu konuyu beşinci ve altıncı sınıf civarında, cebir onu kaçınılmaz kılmadan hemen önce ele alır: 3(x + 4) − 2 gibi bir satır tek bir biçimde okunabilir ve x'i bul oyunu onu okuyabildiğinizi varsayar. 5. sınıflar için matematik oyunları sayfası o düzeydeki tarayıcı oyunlarını topluyor.

MathIt'in yaklaşık 90 oyun türünden 22'si tarayıcıda üyeliksiz ve ücretsiz çalışır; iOS ve Android için ücretsiz uygulama uyarlanabilir zorluk ekler, yani ifadeler ancak kısa olanlar doğru yapıldıkça uzar.