Regnereglene for multiplikasjon: kommutativ, assosiativ og distributiv lov

Barnet ditt kan 7 × 5 = 35 utenat, men stopper opp ved 7 × 8, og leksearket sier «bruk den distributive loven». Regnereglene for multiplikasjon er de fem reglene som lar et kjent gangestykke låse opp et ukjent: den kommutative, den assosiative og den distributive loven, pluss reglene for 1 og 0. Når et barn ser at 7 × 8 er 7 × 5 pluss 7 × 3, slutter gangetabellen å være 100 løse fakta å pugge.

Hva er regnereglene for multiplikasjon?

Regnereglene for multiplikasjon er regler som gjelder for alle tall, uansett hvor store de er. Den kommutative loven lar deg bytte rekkefølge, den assosiative loven lar deg gruppere på nytt, den distributive loven lar deg dele en faktor, og reglene for 1 og 0 sier hva de to tallene gjør.

I Norge skal eleven etter 3. trinn kunne «bruke kommutative, assosiative og distributive egenskaper ved multiplikasjon i hoderegning og skriftlig regning», ifølge kompetansemålene etter 3. trinn i LK20. Amerikanske skoler starter også i tredje skoleår. Common Core-standarden 3.OA.B.5 ber elevene «bruke regneregler som strategier for å multiplisere og dividere», med eksemplene «Hvis 6 × 4 = 24 er kjent, er 4 × 6 = 24 også kjent» og «8 × 7 kan finnes som 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56». En fotnote legger til at elevene ikke trenger å bruke de formelle navnene, så en tredjeklassing kan bruke ideen lenge før ordet «distributiv».

Hvorfor den kommutative loven krymper gangetabellen til 55 fakta

Den kommutative loven betyr at en gangetabell fra 1 × 1 til 10 × 10 har 55 ulike fakta, ikke 100. Rutenettet har 100 ruter, og 10 av dem er kvadrattall som 7 × 7. De andre 90 rutene kommer i snupar som 3 × 8 og 8 × 3, som gir 45 par, og 45 + 10 = 55.

Et prikkbilde viser hvorfor rekkefølgen ikke spiller noen rolle. Tre rader med 5 prikker og fem rader med 3 prikker er de samme 15 prikkene, bare snudd en kvart omdreining.

Slik bruker du den distributive loven, steg for steg

Den distributive loven sier at å gange et tall med en sum er det samme som å gange tallet med hver del og legge sammen resultatene. Avsnittet om den distributive loven i OpenStax Prealgebra skriver den som «Hvis a, b, c er reelle tall, er a(b + c) = ab + ac». I praksis gjør den ett vanskelig gangestykke om til to lette.

1. Velg den vanskeligste faktoren. I 7 × 8 er det 8 som skal deles, fordi 7 ganger 5 og 3 er lettere enn 7 × 8.
2. Del den i vennlige deler. Velg deler barnet allerede kan: 8 = 5 + 3, eller 14 = 10 + 4. Femmere og tiere er de vanlige ankrene.
3. Gang hver del med den andre faktoren. Regn ut 7 × 5 = 35 og 7 × 3 = 21. Skriv ned begge produktene før du legger sammen.
4. Legg sammen delproduktene. 35 + 21 = 56, så 7 × 8 = 56. For et større tall er 6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4 = 60 + 24 = 84.
5. Kontroller med en annen oppdeling. Del den andre veien: 7 × 8 = 7 × 4 + 7 × 4 = 28 + 28 = 56. To veier som gir samme svar, får faktumet til å sitte.

Spill gratis i nettleserenGangetabeller3. trinn+

Delen mange gjør feil: bare det første leddet blir ganget

Den vanligste feilen med den distributive loven er å gange den første delen av summen og glemme den andre. Et barn skriver 6 × (10 + 4) = 60 + 4 = 64 i stedet for 60 + 24 = 84. Løsningen er å tegne en pil fra 6 til hvert tall i parentesen og telle produktene: to deler betyr to gangestykker.

Den samme oppdelingen er metoden bak skriftlig multiplikasjon. Delproduktene i 23 × 4 er 20 × 4 = 80 og 3 × 4 = 12, som blir 92, og guiden om hvordan du lærer bort skriftlig multiplikasjon bygger hele oppstillingen på det steget.

De fem regnereglene for multiplikasjon side om side

De fem regnereglene for multiplikasjon får plass i én tabell: hver har en regel med bokstaver, et talleksempel og en jobb den gjør i gangetabellen. Bokstavreglene følger tabell 3 i ordlisten til Common Core og OpenStax-avsnittet om identitet, inverser og null, som sier at «produktet av et hvilket som helst tall og 0 er 0».

Hvilken regneregel du bør lære bort først

Den kommutative loven er den du bør lære bort først, fordi den lønner seg med en gang. Den nasjonale læreplanen i England ber elevene i Year 2 «vise at multiplikasjon av 2 tall kan gjøres i hvilken som helst rekkefølge (kommutativ), og at divisjon av ett tall med et annet ikke kan det» (den engelske læreplanen i matematikk).

Reglene for 1 og 0 kommer så, siden de rydder to hele kolonner i tabellen. Den samme læreplanen nevner «å gange med 0 og 1» og «å bruke den distributive loven til å gange tosifrede tall med ensifrede» i Year 4, med eksemplet 39 × 7 = 30 × 7 + 9 × 7, som er 210 + 63 = 273. Stegene i hvordan du lærer gangetabellen raskt følger den samme rekkefølgen.

Hoderegning med regnereglene for multiplikasjon

Regnereglene for multiplikasjon er motoren bak de fleste triksene i hoderegning. Den assosiative og den kommutative loven sammen lar deg bytte om og gruppere en hvilken som helst rekke av faktorer, så du kan lete etter en tier eller en hundrer.

Ta 4 × 7 × 25. Bytt om og grupper til 7 × (4 × 25) = 7 × 100 = 700. På samme måte er 5 × 18 = 5 × (2 × 9) = (5 × 2) × 9 = 10 × 9 = 90.

Eksemplet i Common Core viser begge rekkefølgene: «3 × 5 × 2 kan finnes ved 3 × 5 = 15, så 15 × 2 = 30, eller ved 5 × 2 = 10, så 3 × 10 = 30».

Den distributive loven tar seg også av priser og desimaltall. Tre kinobilletter til 92,50 kr koster 3 × (90 + 2,50) = 270 + 7,50 = 277,50 kr. Flere snarveier av denne typen finner du i hoderegningstriks som virker.

En øvingsregel: tegn en arealmodell

En arealmodell gjør den distributive loven synlig, og det hjelper barn som mister oversikten over delene. Tegn et rektangel som er 7 ruter høyt og 8 ruter bredt, del det etter den femte kolonnen og tell hver del: 7 × 5 = 35 ruter og 7 × 3 = 21 ruter. Common Core-standarden 3.MD.C.7c ber elevene «bruke arealmodeller til å vise den distributive loven i matematisk resonnering».

Å dele et tall i faktorer er den samme ferdigheten som å finne største felles faktor, og guiden om største felles faktor og minste felles multiplum viser hvordan 36 + 8 blir 4 × (9 + 2) = 44.

Slik sjekker du framgangen med regnereglene for multiplikasjon

Fem korte spørsmål viser om et barn eller en voksen bruker regnereglene for multiplikasjon eller bare ramser opp fakta.

• Snu: Spør «Hvis 6 × 9 = 54, hva er 9 × 6?» Et raskt «54» uten utregning betyr at den kommutative loven sitter.
• Del opp: Be om 8 × 7 ved hjelp av 8 × 5. Svaret du lytter etter, er 40 + 16 = 56.
• Grupper på nytt: Gi 2 × 13 × 5. Et barn som ser 10 × 13 = 130, bruker den assosiative loven.
• Null og én: Spør etter 0 × 12 og 1 × 12. Svarene er 0 og 12, og det er vanlig å blande dem.
• Forklar: Spør hvorfor 4 × 6 = 4 × 3 + 4 × 3. «Fordi 6 er 3 + 3» er nok.

Spill gratis i nettleserenManglende faktor3.–4. trinn

En ukentlig test på to minutter

En sjekk på to minutter én gang i uka, der barnet sier utregningen høyt, viser mer enn en side med drill. Bland ett spørsmål av hver type og legg merke til hvilken regel barnet griper etter. Barn som teller seg fram til hvert svar, kan tette hullet med mønstrene i telling med hopp, forklart.

Vanlige feil og spesialtilfeller

Fem feil står bak de fleste gale svarene med regnereglene for multiplikasjon, og hver av dem har en kort løsning.

• Å snu subtraksjon eller divisjon: OpenStax viser at 12 : 4 = 3, mens 4 : 12 = 1/3, og at 7 − 3 = 4, mens 3 − 7 = −4. Bare addisjon og multiplikasjon er kommutative.
• Å gruppere divisjon på nytt: (24 : 4) : 2 = 3, men 24 : (4 : 2) = 12. Divisjon og subtraksjon er ikke assosiative, så la parentesene stå der de står.
• Å blande 0 og 1: 8 × 0 = 0 og 8 × 1 = 8. Et barn som skriver 8 × 0 = 8, bruker addisjonsregelen 8 + 0 = 8.
• Å fordele over et produkt: 2 × (3 × 4) er 24, mens 2 × 3 × 2 × 4 er 48. Den distributive loven virker over en sum eller en differanse, aldri over et produkt.
• Å legge sammen før du ganger: 7 × 5 + 7 × 3 betyr at de to produktene regnes ut først. Guiden om regnerekkefølge forklarer hvorfor: regner du fra venstre mot høyre som (7 × 5 + 7) × 3, får du 126 i stedet for 56.

Spesialtilfelle: den distributive loven over subtraksjon

Den distributive loven virker over subtraksjon også: a × (b − c) = a × b − a × c, en av de «andre formene» OpenStax lister opp. Den gjør 9-gangen lett: 8 × 9 = 8 × 10 − 8 × 1 = 80 − 8 = 72, og 6 × 99 = 600 − 6 = 594.

Divisjon fordeler seg bare når det er summen som deles. (20 + 8) : 4 = 5 + 2 = 7 er riktig, men 24 : (4 + 2) er 24 : 6 = 4, mens 24 : 4 + 24 : 2 = 6 + 12 = 18.

Sjekklisten din for regnereglene for multiplikasjon, og neste steg

• Kommutativ lov: lær ett gangestykke og få det snudde gratis.
• Reglene for 1 og 0: 1-gangen og 0-gangen er ferdige.
• Distributiv lov: del den vanskelige faktoren i femmere eller tiere og gang begge delene.
• Assosiativ lov: grupper tre faktorer slik at du får 10 eller 100 først.
• Kontroller: subtraksjon og divisjon beholder rekkefølgen og parentesene sine.

Øving for 3. og 4. trinn finner du på siden med spill for gangetabellen, der faktaene regnereglene låser opp, blir til raske svar.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad og daglig øving, på 33 språk. Familier kan konkurrere mot hverandre i sanntidsdueller for 2–5 spillere, 22 av spillene kan spilles gratis i nettleseren uten innlogging, og 30 utskrivbare oppgaveark kommer med fasit.