Vad är distributiva lagen och de andra räknelagarna för multiplikation?

Räknelagarna för multiplikation är fem regler som gäller för alla tal: kommutativa, associativa och distributiva lagen samt reglerna för 1 och 0. Ordning och gruppering ändrar aldrig produkten, så 3 × 5 = 5 × 3. Distributiva lagen delar upp en faktor, så 7 × 8 = 7 × 5 + 7 × 3 = 56. Gånger 1 behåller talet och gånger 0 ger 0.

Vad är kommutativa lagen?

Kommutativa lagen säger att ordningen mellan två tal inte ändrar svaret: a × b = b × a vid multiplikation och a + b = b + a vid addition. Till exempel är 6 × 4 = 4 × 6 = 24. Lagen gäller inte för subtraktion eller division, eftersom 7 − 3 = 4 medan 3 − 7 = −4.

Vad är associativa lagen?

Associativa lagen säger att grupperingen av tre tal inte ändrar svaret när alla multipliceras eller alla adderas: (a × b) × c = a × (b × c). Till exempel är (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24 och 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24. Du kan flytta parenteserna så att du får ett tiotal eller ett hundratal först.

Hur använder man distributiva lagen?

Distributiva lagen används genom att du delar upp en faktor i två enklare delar, multiplicerar varje del med den andra faktorn och adderar de två produkterna. För 6 × 14 delar du upp 14 i 10 + 4, räknar 6 × 10 = 60 och 6 × 4 = 24 och adderar till 84. Båda delarna måste multipliceras.

Vad betyder distributiva lagen?

Distributiva lagen betyder att ett tal gånger en summa ger samma svar som talet gånger varje del av summan, med resultaten adderade: a × (b + c) = a × b + a × c. Multiplikationen fördelas, distribueras, över varje term inom parentesen, så 3 × (2 + 5) = 6 + 15 = 21.

Vad är kommutativa lagen för addition?

Kommutativa lagen för addition säger att du kan addera två tal i vilken ordning som helst och få samma summa: a + b = b + a. Till exempel är 3 + 9 = 9 + 3 = 12, så ett barn kan börja räkna uppåt från det större talet. Subtraktion är inte kommutativ, eftersom 9 − 3 = 6 medan 3 − 9 = −6.

Distributiva lagen och räknelagarna, med exempel

Ditt barn kan 7 × 5 = 35 utantill men fastnar på 7 × 8, och läxbladet säger ”använd distributiva lagen”. Räknelagarna för multiplikation är de fem regler som låter ett känt faktum låsa upp ett okänt: kommutativa, associativa och distributiva lagen samt reglerna för 1 och 0. När ett barn ser att 7 × 8 är 7 × 5 plus 7 × 3 slutar gångertabellen vara 100 lösa fakta att plugga in.

Vad är räknelagarna för multiplikation?

Räknelagarna för multiplikation är regler som gäller för alla tal, hur stora de än är. Kommutativa lagen låter dig byta ordning, associativa lagen låter dig gruppera om, distributiva lagen låter dig dela upp en faktor, och reglerna för 1 och 0 säger vad ettan och nollan gör.

I Sverige börjar arbetet tidigt. Kursplanen i matematik i Lgr22 tar upp ”de fyra räknesättens egenskaper och samband” i årskurs 1–3 och ”de fyra räknesätten och regler för deras användning vid beräkningar med naturliga tal” i årskurs 4–6. I USA ber Common Core-standarden 3.OA.B.5 elever i årskurs 3 att använda räknelagarna som strategier, med exempel som dem i den här guiden: om 6 × 4 = 24 är känt är också 4 × 6 = 24 känt, och 8 × 7 kan räknas som 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56. En fotnot tillägger att eleverna inte behöver de formella namnen, så ett barn kan använda idén långt innan ordet ”distributiv” dyker upp.

Varför kommutativa lagen krymper gångertabellen till 55 fakta

Kommutativa lagen betyder att en gångertabell på 10 × 10 innehåller 55 olika fakta i stället för 100. Rutnätet har 100 rutor, och 10 av dem är kvadrater som 7 × 7. De övriga 90 rutorna kommer i vändpar som 3 × 8 och 8 × 3, vilket ger 45 par, och 45 + 10 = 55.

En prickbild visar varför ordningen inte spelar någon roll. Tre rader med 5 prickar och fem rader med 3 prickar är samma 15 prickar, vridna ett kvarts varv.

Två prickbilder bredvid varandra: 3 rader med 5 blå prickar och 5 rader med 3 orange prickar, var och en märkt med sin produkt, som visar att 3 × 5 = 5 × 3 = 15.

Så använder du distributiva lagen, steg för steg

Distributiva lagen säger att ett tal gånger en summa är lika med talet gånger varje del, med resultaten adderade. Avsnittet om distributiva lagen i OpenStax Prealgebra skriver den som a(b + c) = ab + ac för alla reella tal a, b och c. I praktiken gör den om ett svårt faktum till två lätta.

Välj den svårare faktorn. I 7 × 8 är det 8:an som ska delas upp, eftersom 7 gånger 5 och 3 är lättare än 7 × 8.
Dela upp den i vänliga delar. Välj delar som barnet redan kan: 8 = 5 + 3, eller 14 = 10 + 4. Femmor och tior är de vanliga ankarna.
Multiplicera varje del med den andra faktorn. Räkna 7 × 5 = 35 och 7 × 3 = 21. Skriv ner båda produkterna innan du adderar.
Addera delprodukterna. 35 + 21 = 56, så 7 × 8 = 56. För ett större tal är 6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4 = 60 + 24 = 84.
Kontrollera med en annan uppdelning. Dela upp åt andra hållet: 7 × 8 = 7 × 4 + 7 × 4 = 28 + 28 = 56. Två vägar som ger samma svar får faktumet att fastna.

Spela gratis i webbläsarenMultiplikationstabellerÅk 3+

Det många gör fel: bara första termen multipliceras

Det vanligaste felet med distributiva lagen är att multiplicera den första delen av summan och glömma den andra. Ett barn skriver 6 × (10 + 4) = 60 + 4 = 64 i stället för 60 + 24 = 84. Lösningen är att rita en pil från 6:an till varje tal inom parentesen och räkna produkterna: två delar betyder två multiplikationer.

Samma uppdelning är metoden bakom uppställd multiplikation. Delprodukterna i 23 × 4 är 20 × 4 = 80 och 3 × 4 = 12, som blir 92, och guiden om hur du lär ut uppställd multiplikation bygger hela algoritmen från det steget.

De fem räknelagarna för multiplikation sida vid sida

De fem räknelagarna för multiplikation får plats i en tabell: var och en har en regel med bokstäver, ett talexempel och en uppgift i gångertabellen. Bokstavsreglerna följer tabell 3 i Common Cores ordlista och OpenStax avsnitt om identitet, invers och noll, som slår fast att produkten av ett tal och 0 är 0.

Lag	Regel	Talexempel	Där den hjälper
Kommutativa lagen	a × b = b × a	3 × 5 = 5 × 3 = 15	Krymper fakta att lära från 100 till 55
Associativa lagen	(a × b) × c = a × (b × c)	(2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24	Gruppera om för att få 10 eller 100 först
Distributiva lagen	a × (b + c) = a × b + a × c	7 × 8 = 7 × 5 + 7 × 3 = 56	Bygga svåra fakta av lätta; uppställd multiplikation
Gånger 1	a × 1 = 1 × a = a	9 × 1 = 9	Hela 1:ans kolumn, och likvärdiga bråk
Gånger 0	a × 0 = 0 × a = 0	0 × 8 = 0	Hela 0:ans kolumn, och att se en nollfaktor

Vilken räknelag du ska lära ut först

Kommutativa lagen är den som ska komma först, eftersom den lönar sig direkt. Den engelska läroplanen ber elever i Year 2, sjuåringar, att visa att multiplikation av två tal kan göras i vilken ordning som helst men att division inte kan det (mathematics programmes of study).

Reglerna för 1 och 0 kommer sedan, eftersom de tömmer två hela kolumner i tabellen. Samma läroplan tar upp multiplikation med 0 och 1 och distributiva lagen för tvåsiffriga tal gånger ensiffriga i Year 4, med exemplet 39 × 7 = 30 × 7 + 9 × 7, alltså 210 + 63 = 273. Stegen i så lär sig barnet gångertabellen snabbt följer samma ordning.

Huvudräkning med räknelagarna

Räknelagarna för multiplikation är motorn bakom de flesta knep i huvudräkning. Associativa och kommutativa lagen tillsammans låter dig ordna om och gruppera om vilken rad faktorer som helst, så att du kan leta efter en tia eller en hundra.

Ta 4 × 7 × 25. Byt ordning och gruppera om till 7 × (4 × 25) = 7 × 100 = 700. På samma sätt blir 5 × 18 = 5 × (2 × 9) = (5 × 2) × 9 = 10 × 9 = 90.

Common Cores exempel visar båda ordningarna: 3 × 5 × 2 kan räknas som 3 × 5 = 15 och sedan 15 × 2 = 30, eller som 5 × 2 = 10 och sedan 3 × 10 = 30.

Distributiva lagen klarar priser och decimaltal också. OpenStax räknar ut tre biljetter med samma metod, och i kronor blir tre biljetter à 19,50 kr 3 × (19 + 0,50) = 57 + 1,50 = 58,50 kr. Fler knep av det slaget finns i huvudräkningsknep som fungerar.

En regel för övningen: rita areamodellen

En areamodell gör distributiva lagen synlig, vilket hjälper barn som tappar bort delarna. Rita en rektangel som är 7 rutor hög och 8 rutor bred, dela den efter femte kolumnen och räkna varje del: 7 × 5 = 35 rutor och 7 × 3 = 21 rutor. Common Core-standarden 3.MD.C.7c ber eleverna använda areamodeller för att visa distributiva lagen i sina resonemang.

En areamodell för 7 × 8: ett rutnät som är 7 rutor högt och 8 brett, delat av en streckad linje i en blå del på 7 gånger 5 märkt 35 och en orange del på 7 gånger 3 märkt 21, med 7 × 8 = 7 × 5 + 7 × 3 = 35 + 21 = 56.

Att dela upp ett tal i faktorer är samma färdighet som att hitta största gemensamma delare, och guiden om SGD och MGM visar hur 36 + 8 blir 4 × (9 + 2) = 44.

Så kontrollerar du framstegen med räknelagarna

Fem korta frågor visar om ett barn eller en vuxen använder räknelagarna eller bara rabblar fakta.

Vändning: Fråga ”Om 6 × 9 = 54, vad är 9 × 6?” Ett snabbt ”54” utan uträkning betyder att kommutativa lagen har landat.
Uppdelning: Be om 8 × 7 med hjälp av 8 × 5. Svaret att lyssna efter är 40 + 16 = 56.
Omgruppering: Ge 2 × 13 × 5. Ett barn som ser 10 × 13 = 130 använder associativa lagen.
Noll och ett: Fråga efter 0 × 12 och 1 × 12. Svaren är 0 och 12; att blanda ihop dem är vanligt.
Förklaring: Fråga varför 4 × 6 = 4 × 3 + 4 × 3. ”För att 6 är 3 + 3” räcker.

Spela gratis i webbläsarenSaknad faktorÅk 3–4

Ett test på två minuter varje vecka

En kontroll på två minuter en gång i veckan, med uträkningen sagd högt, visar mer än en sida med drill. Blanda en fråga av varje sort och notera vilken lag barnet tar till. Barn som räknar sig fram till varje svar med hopp kan överbrygga gapet med mönstren i hoppräkning förklarat.

Vanliga fel och gränsfall

Fem fel orsakar de flesta felsvaren med räknelagarna, och vart och ett har en kort fix.

Att vända på subtraktion eller division: OpenStax visar att 12 : 4 = 3 medan 4 : 12 = 1/3, och att 7 − 3 = 4 medan 3 − 7 = −4. Bara addition och multiplikation är kommutativa.
Att gruppera om division: (24 : 4) : 2 = 3, men 24 : (4 : 2) = 12. Division och subtraktion är inte associativa, så låt parenteserna stå kvar där de är.
Att blanda ihop 0 och 1: 8 × 0 = 0 och 8 × 1 = 8. Ett barn som skriver 8 × 0 = 8 använder additionsregeln 8 + 0 = 8.
Att distribuera över multiplikation: 2 × (3 × 4) är 24, medan 2 × 3 × 2 × 4 är 48. Distributiva lagen gäller över en summa eller en differens, aldrig över en produkt.
Att addera före multiplikation: 7 × 5 + 7 × 3 betyder att de två produkterna räknas först. Guiden om prioriteringsregler förklarar varför: att räkna från vänster till höger som (7 × 5 + 7) × 3 ger 126 i stället för 56.

Gränsfall: distributiva lagen över subtraktion

Distributiva lagen gäller över subtraktion också: a × (b − c) = a × b − a × c, en av de andra formerna som OpenStax listar. Den gör niorna lätta: 8 × 9 = 8 × 10 − 8 × 1 = 80 − 8 = 72, och 6 × 99 = 600 − 6 = 594.

Division fördelas bara när det är summan som delas. (20 + 8) : 4 = 5 + 2 = 7 stämmer, men 24 : (4 + 2) är 24 : 6 = 4, medan 24 : 4 + 24 : 2 = 6 + 12 = 18.

Din checklista för räknelagarna och nästa steg

Kommutativa lagen: lär dig ett faktum och få vändningen gratis.
Gånger 1 och gånger 0: 1:ans och 0:ans kolumner är klara.
Distributiva lagen: dela upp den svåra faktorn i femmor eller tior och multiplicera båda delarna.
Associativa lagen: gruppera om tre faktorer för att få 10 eller 100 först.
Kontroll: subtraktion och division behåller sin ordning och sina parenteser.

Övning för lågstadiet och början av mellanstadiet finns på sidan med spel för multiplikationstabellen, där de fakta som räknelagarna låser upp blir snabba att plocka fram.

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad och daglig övning, på 33 språk. Familjer kan tävla mot varandra i realtidsdueller för 2–5 spelare, 22 av spelen går att spela gratis i webbläsaren utan konto, och 30 utskrivbara arbetsblad kommer med facit.