En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat: üç bulma yöntemi

Bir kesir ödevi 6 ile 8'in en küçük ortak katını soruyor, bir alt satır da 12 ile 18'in en büyük ortak bölenini. İki terim birbirine benzer ve çocuklar onları karıştırır. İkisi de sayıların asal çarpanlarına dayanır ve üç kısa yöntem onları bulur.

En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat nedir?

İki sayının en büyük ortak böleni (EBOB), ikisini de kalansız bölen en büyük sayıdır; en küçük ortak katı (EKOK) ise ikisinin de tam böldüğü en küçük sayıdır. 12 ve 18 için EBOB 6, EKOK 36'dır.

12'nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12; 18'in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9 ve 18'dir. Ortak bölenler 1, 2, 3 ve 6'dır, dolayısıyla en büyüğü 6'dır.

12'nin katları 12, 24, 36, 48; 18'in katları 18, 36, 54'tür. İki listede de bulunan ilk sayı 36'dır, dolayısıyla en küçük ortak kat 36'dır.

Bölen ve kat: ayırt edilmesi gereken iki sözcük

Bir sayının böleni (çarpanı) onu kalansız böler; bu yüzden bir sayının bölenleri asla sayının kendisinden büyük olmaz. Kat ise sayının 1, 2, 3 ile çarpılmasıyla elde edilir; bu yüzden katlar asla sayıdan küçük olmaz ve liste hiç bitmez.

Türkiye'de bu sözcük dağarcığı 6. sınıfta kurulur: MEB'in Matematik Dersi Öğretim Programı "çarpan, kat, bölen, asal sayı, ortak bölen, ortak kat" terimlerini 6. sınıf çarpanlar ve katlar ünitesine koyar. ABD'de Common Core 4.OA.B.4 standardı aynı işi 4. sınıfta yapar ve 1–100 aralığındaki bir sayının bütün çarpan çiftlerini istemektedir. 18'in çarpan çiftleri 1 × 18, 2 × 9 ve 3 × 6'dır ve bu çiftlerdeki her sayı 18'in bir bölenidir.

"Bölen" ile "kat"ı birbirinden ayıran çocuk, EBOB ve EKOK sorusunun büyük kısmını çözmüştür. Çarpan çiftleri oyunu birinci sözcüğü, katlar oyunu ikincisini çalıştırır.

EBOB ve EKOK okulda neden önemli?

En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat Türkiye'de iki aşamada öğretilir. MEB programı 6. sınıfta öğrencinin iki doğal sayının ortak bölenlerini ve ortak katlarını belirlemesini ister (M.6.1.2.5) ama EBOB ve EKOK problemlerine bu sınıfta girilmeyeceğini açıkça yazar; EBOB ile EKOK'u hesaplamak ve ilgili problemleri çözmek 8. sınıfın ilk konusudur (M.8.1.1.2) ve LGS'de sık sorulur. ABD'de Common Core 6.NS.B.4 standardı ikisini de 6. sınıfta ister: 100'den küçük veya eşit iki sayının en büyük ortak bölenini ve 12'den küçük veya eşit iki sayının en küçük ortak katını.

Aynı standart EBOB'u dağılma özelliğine bağlar ve 36 + 8'i 4 (9 + 2) olarak yazmayı örnek verir; MEB'in 6. sınıftaki ortak çarpan parantezine alma kazanımı (M.6.1.1.3) da aynı fikirdir. 36 ile 8'in EBOB'u 4'tür, dolayısıyla 36 + 8 = 4 × 9 + 4 × 2 = 4 × (9 + 2) = 44.

İngiltere beceriyi birkaç yıla yayar. İngiltere ulusal matematik programı 6. yılda ortak bölenleri, ortak katları ve asal sayıları belirlemeyi ister, en büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat adlarını ise 3. anahtar evrede kullanır.

EBOB ne zaman, EKOK ne zaman kullanılır

EBOB "kaç tane eşit grup yapabilirim" sorusunu, EKOK ise "iki sayma ne zaman çakışır" sorusunu cevaplar. Bir problemin hangisini istediğini soran çocuk, iki soruyu da probleme uygulayarak sınayabilir.

• Eşit gruplar (EBOB): 18 elma ve 24 portakal, hiç artmadan özdeş torbalara konacak. 18 ile 24'ün EBOB'u 6'dır; yani her birinde 3 elma ve 4 portakal olan 6 torba elde edilir.
• Kesir sadeleştirme (EBOB): 18/24'ün payını ve paydasını EBOB'ları olan 6'ya bölmek tek adımda 3/4 verir. Veliler için kesirler rehberi denk kesirleri daha ayrıntılı anlatır.
• Yeniden buluşma (EKOK): Bir otobüs 6 dakikada bir, diğeri 8 dakikada bir kalkıyor ve ikisi de 9.00'da yola çıkıyor. 6 ile 8'in EKOK'u 24'tür, dolayısıyla bir sonraki kez 9.24'te birlikte kalkarlar.
• Ortak payda (EKOK): 5/6 + 3/8 işleminde payda olarak 6 ile 8'in EKOK'unu kullanın: 5/6 = 20/24 ve 3/8 = 9/24, dolayısıyla toplam 29/24'tür.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınKatlar Yarışı3–5. sınıf

EKOK ve EBOB adım adım nasıl bulunur?

Asal çarpanlara ayırma, en küçük ortak katı ve en büyük ortak böleni tek seferde bulur ve her sayı çifti için işler. Aşağıdaki adımlar 24 ile 36'yı kullanır.

1. Her sayıyı asal çarpanlarına ayırın. Bir çarpan ağacı kurun ya da uyan en küçük asala bölün: 24 = 2 × 2 × 2 × 3 ve 36 = 2 × 2 × 3 × 3. Asal sayılar rehberi çarpan ağaçlarını adım adım gösterir.
2. Çarpanları üslü yazın. Tekrarları gruplayın: 24 = 2³ × 3 ve 36 = 2² × 3². Üsler, sonraki iki adımı küçük sayıları karşılaştırmaya indirger.
3. EBOB'u ortak asallardan bulun. Yalnızca iki sayıda da bulunan asalları, her birini küçük üssüyle alın: 2² × 3 = 4 × 3 = 12.
4. EKOK'u bütün asallardan bulun. Sayılardan herhangi birinde görünen her asalı, büyük üssüyle alın: 2³ × 3² = 8 × 9 = 72.
5. İki cevabı da kontrol edin. EBOB iki sayıyı da bölmelidir (24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3), iki sayı da EKOK'u bölmelidir (72 ÷ 24 = 3, 72 ÷ 36 = 2).

OpenStax Prealgebra'nın asal çarpanlara ayırma ve en küçük ortak kat bölümü aynı yöntemi, ortak asalları bir kez sayarak anlatır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınÇarpan Çiftleri3–5. sınıf

Herkesin yanlış yaptığı yer: küçük üs mü, büyük üs mü

Üslerle ilgili kural, çocukların en sık yer değiştirdiği adımdır. EBOB her ortak asalın küçük üssünü alır, çünkü bir ortak bölen, daha az 2'si olan sayıdakinden fazla 2 kullanamaz.

EKOK her asalın büyük üssünü alır, çünkü bir ortak kat, en çok 2'si olan sayının bütün 2'lerini içermek zorundadır. 24 ve 36 için 24'te üç tane 2 vardır, dolayısıyla 24'ün her katı 2³ ister; 36'da iki tane 3 vardır, dolayısıyla 36'nın her katı 3² ister.

Listeleme, asal çarpanlara ayırma ve bölme tablosu

Listeleme, asal çarpanlara ayırma ve bölme tablosu (merdiven yöntemi) aynı EBOB ve EKOK'u verir; aralarındaki fark hızdır.

Bölme tablosu, çözümlü

Bölme tablosu iki sayıyı ortak bir asala böler, bölümleri altına yazar ve alttaki çiftin 1'den başka ortak böleni kalmayana kadar tekrarlar. 24 ve 36 için 2'ye bölün, 12 ve 18 elde edin; yine 2'ye bölün, 6 ve 9 elde edin; 3'e bölün, 2 ve 3 elde edin.

Sol taraftaki bölenlerin çarpımı EBOB'dur: 2 × 2 × 3 = 12. EKOK, EBOB ile alt satırda kalan sayıların çarpımıdır: 12 × 2 × 3 = 72. Türk ders kitaplarındaki tablo bir adım daha sürer: iki sayı da 1 olana kadar bölmeye devam edilir, bütün bölenlerin çarpımı EKOK'u, iki sayıyı birden bölenlerin çarpımı EBOB'u verir; sonuç aynıdır.

EBOB × EKOK kısa yolu

İki sayının en büyük ortak böleni ile en küçük ortak katının çarpımı her zaman iki sayının çarpımına eşittir. 12 ve 18 için EBOB 6, EKOK 36'dır ve 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

Kısa yol bir cevabı diğerine çevirir. EBOB'u bildiğinizde EKOK, a × b ÷ EBOB'dur: 6 ve 8 için EBOB 2'dir, dolayısıyla EKOK 48 ÷ 2 = 24'tür.

Küçük sayılarda büyük sayının katlarını, küçük sayı onu bölene kadar sayın: 8, 16, 24 ve 6, 24'ü böler. Çarpım tablosu hızlı nasıl öğrenilir rehberi bunun gerektirdiği hatırlamayı kurar.

Kısa yol neden işe yarar

Kısa yol işe yarar, çünkü EBOB ile EKOK iki sayının asal çarpanlarını kendi aralarında paylaşır. 12 = 2 × 2 × 3 ve 18 = 2 × 3 × 3 için EBOB ortak 2 ile 3'ü alır; EKOK ortak 2 ile 3'ü bir kez daha alır, artı fazladan 2 ile 3'ü.

6 × 36'nın asalları 2, 3 ve 2, 2, 3, 3'tür; 12 × 18'deki altı asalın aynısı.

Kural yalnızca iki sayı için geçerlidir. 4, 6 ve 8 gibi üç sayı için EBOB 2, EKOK 24'tür ve 2 × 24 = 48, 4 × 6 × 8 = 192'den çok uzaktır.

EBOB ve EKOK'ta sık yapılan hatalar

Bir EBOB ve EKOK çalışma kâğıdındaki yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin tek satırlık bir düzeltmesi vardır.

• İkisini karıştırmak: EBOB küçük sayıdan asla büyük olamaz, EKOK büyük sayıdan asla küçük olamaz. 12 ile 18'in EBOB'u için verilen 36 cevabı bu kontrolde hemen düşer.
• EKOK'un her zaman a × b olduğunu sanmak: Çarpmak bir ortak kat verir, ama en küçüğünü yalnızca EBOB 1 olduğunda verir; 4 ile 9'da olduğu gibi (EKOK 36). 6 ile 8 için 6 × 8 = 48'dir, EKOK ise 24'tür.
• Listeyi erken bırakmak: 9, 18, 27 ile 12, 24'ü listelemek eşleşme göstermez ve bu, çocuğu 9 × 12 = 108 cevabına iter. Her listede bir adım daha atmak EKOK olan 36'ya ulaşır.
• 1'i asal saymak: 1 asal değildir, bu yüzden bir çarpan ağacında hiç görünmez. 12 = 1 × 12 yazmak ağacı ilerletmez, 12 = 2 × 6 ise başlatır.

Sınavlarda iki sınır durum sık çıkar. Sayılardan biri diğerini bölüyorsa, 4 ile 12'de olduğu gibi, EBOB küçük sayı (4), EKOK büyük sayıdır (12). İki sayının ortak asalı yoksa, yani aralarında asalsa (MEB bunu 8. sınıfta M.8.1.1.3 ile işler), 8 ile 15'te olduğu gibi EBOB 1, EKOK 8 × 15 = 120'dir.

Çocuğunuzun kavradığını nasıl anlarsınız

Beş kısa soru EBOB ve EKOK'un yerine oturup oturmadığını gösterir ve her biri bir dakikadan kısa sürer.

• Tanımlar: Örnek vermeden iki sayının EBOB'unun ve EKOK'unun ne olduğunu sorun. İki cevapta da "ikisini de" sözü olmalıdır.
• Ünlü ikili: 6 ile 8'in EKOK'unu sorun. Cevap 24'tür; 48 cevabı a × b alışkanlığını gösterir.
• Ayrıştırılmış bir problem: "18 elma ve 24 portakal özdeş torbalara" probleminin EBOB mu EKOK mu istediğini sorun. Cevap EBOB'dur, 6 torba.
• Asal çarpanlara ayırma: 24 ile 36'nın EBOB ve EKOK'unu çarpan ağacıyla ya da bölme tablosuyla isteyin. Cevaplar 12 ve 72'dir.
• Kontrol: Çocuğunuzdan cevapları bölerek kanıtlamasını isteyin: 12, 24'ü ve 36'yı böler; 24 ve 36 da 72'yi böler.

Eksik çarpan oyunu, bu kontrollerin her birinin arkasındaki bölme hatırlamasını kurar.

EBOB ve EKOK kontrol listeniz

• Tanımları söyleyin: EBOB iki sayıyı da böler, iki sayı da EKOK'u böler.
• Cevabın büyüklüğünü kontrol edin: EBOB en fazla küçük sayı kadardır, EKOK en az büyük sayı kadardır.
• Yöntemi büyüklüğe göre seçin: 20'nin altında listeleme, üstünde asal çarpanlara ayırma ya da bölme tablosu.
• Kısa yolu kullanın: iki sayı için EKOK = a × b ÷ EBOB.
• Problemi eşleştirin: eşit gruplar ve sadeleştirme EBOB'u, buluşma zamanları ve ortak paydalar EKOK'u kullanır.

Aynı beceriler, bölen ve kat oyunlarını sınıfa göre listeleyen 4. sınıflar için matematik oyunları ve 6. sınıflar için matematik oyunları sayfalarında da yer alır.

MathIt'in ücretsiz iOS ve Android uygulamasında uyarlanabilir zorluklu yaklaşık 90 oyun türü vardır; bölen ve kat alıştırmaları ancak kolay çiftler doğru çıktıktan sonra zorlaşır ve oyunlardan 22'si tarayıcıda üyeliksiz ve ücretsiz oynanır.