かけ算の計算のきまり：交換法則・結合法則・分配法則の使い方

お子さんは7 × 5 = 35はすぐに言えるのに、7 × 8で止まってしまう。宿題には「分配法則を使って計算しましょう」と書いてあります。かけ算の計算のきまりは、知っている式から知らない式を導くための5つのきまりで、交換法則、結合法則、分配法則、1をかけるきまり、0をかけるきまりがあります。7 × 8が7 × 5と7 × 3の和だと分かれば、九九はばらばらに覚える81個の式ではなくなります。

かけ算の計算のきまりとは？

かけ算の計算のきまりは、数の大きさに関係なく、どんな数でも成り立つきまりです。交換法則は順番を入れかえてよい、結合法則は組み方を変えてよい、分配法則は一方の数を分けてよいというきまりで、残りの2つは1と0をかけたときにどうなるかを決めています。

日本では、小2で九九を学ぶときにかけ算の交換法則に出会います。小学校学習指導要領は第2学年で「乗数が１ずつ増えるときの積の増え方や交換法則を取り扱う」とし、第3学年では「交換法則，結合法則，分配法則を取り扱う」、さらに「乗数又は被乗数が０の場合の計算」も扱うとしています。アメリカの州共通基礎スタンダード 3.OA.B.5も3年生に同じ考え方を求め、「8 × 7は8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56と求められる」という例をあげています。

交換法則で九九が45個に減る理由

交換法則を使うと、九九の81個の式のうち、ちがう組み合わせは45個だけになります。九九の表は9 × 9 = 81マスで、そのうち7 × 7のような同じ数どうしの式が9個あります。残りの72マスは3 × 8と8 × 3のように順番を入れかえた2つ1組になっていて36組なので、36 + 9 = 45です。

ドットの図を見ると、順番が関係ない理由が分かります。5個ずつ3列のドットと、3個ずつ5列のドットは、向きを90度回しただけの同じ15個です。

分配法則の使い方を順番に

分配法則は、ある数に和をかけた答えが、和のそれぞれの数にかけてたした答えと等しいというきまりです。OpenStaxの初等代数の分配法則の章は「a、b、cが実数ならば、a(b + c) = ab + ac」と書いています。実際の計算では、むずかしい1つの式をやさしい2つの式に変えるきまりです。

1. 分ける数を決める。 7 × 8なら8を分けます。7 × 8より、7 × 5と7 × 3のほうがやさしいからです。
2. 計算しやすい数に分ける。 お子さんがもう知っている数を選び、8 = 5 + 3や14 = 10 + 4のように分けます。5と10がよく使う目じるしです。
3. 分けたそれぞれに、もう一方の数をかける。 7 × 5 = 35と7 × 3 = 21を出します。たす前に、2つの積を両方書いておきます。
4. 部分の積をたす。 35 + 21 = 56なので、7 × 8 = 56です。大きな数でも同じで、6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4 = 60 + 24 = 84です。
5. 別の分け方で確かめる。 7 × 8 = 7 × 4 + 7 × 4 = 28 + 28 = 56のように分け方を変えます。2つの道すじで同じ答えになると、式が記憶に残ります。

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つまずきやすいところ：最初の数にだけかける

分配法則でいちばん多い間違いは、分けた最初の数にだけかけて、2つ目を忘れることです。6 × (10 + 4) = 60 + 24 = 84のはずが、60 + 4 = 64と書いてしまいます。6からかっこの中のすべての数に矢印をかき、積の数を数えると防げます。2つに分けたら、かけ算も2回です。

同じ分け方が、筆算のかけ算のもとになっています。23 × 4の部分の積は20 × 4 = 80と3 × 4 = 12で、合わせて92です。筆算のかけ算の教え方では、この一歩から筆算全体を組み立てています。

かけ算の5つの計算のきまりをくらべる

かけ算の5つの計算のきまりは、1つの表にまとめられます。どのきまりにも、文字を使った式、数の例、九九での役目があります。文字の式は、アメリカのスタンダードの用語集の表3と、「どんな数に0をかけても0になる」と書くOpenStaxの単位元・逆元・0の章にそろえています。

どの計算のきまりから教えるか

最初に教えるのは交換法則で、すぐに効果が出るからです。日本でも交換法則は九九と同じ小2で扱います。イングランドの算数・数学の学習プログラムも2年目に「2つの数のかけ算はどちらの順でもできる（交換法則）が、わり算はできないことを示す」ことを求めています。

次は1と0のきまりで、表の2つの列がまるごと片づきます。イングランドでは4年目に「0と1をかける」ことと「分配法則を使って2けた×1けたのかけ算をする」ことが並んでいて、39 × 7 = 30 × 7 + 9 × 7 = 210 + 63 = 273の例があります。九九を早く覚える方法も同じ順番で進めています。

計算のきまりを使った暗算

かけ算の計算のきまりは、暗算の工夫のほとんどを支えています。交換法則と結合法則を組み合わせると、いくつかの数のかけ算の順番も組み方も自由に変えられるので、10や100を探せます。

4 × 7 × 25なら、入れかえて組み直し、7 × (4 × 25) = 7 × 100 = 700です。同じように、5 × 18 = 5 × (2 × 9) = (5 × 2) × 9 = 10 × 9 = 90になります。

アメリカのスタンダードの例は、両方の順番を示しています。「3 × 5 × 2は、3 × 5 = 15、15 × 2 = 30と求めても、5 × 2 = 10、3 × 10 = 30と求めてもよい」。

分配法則は、お金の計算にも使えます。1枚1,250円のチケットを3枚買うなら、3 × (1,000 + 250) = 3,000 + 750 = 3,750円です。この種類の工夫は本当に使える暗算のこつにまとめています。

練習のきまり：面積図をかく

面積図をかくと分配法則が目に見えるので、分けた部分を見失いがちな子どもに役立ちます。たて7マス、横8マスの長方形をかき、5列目のあとで区切って、それぞれのマスを数えます。7 × 5 = 35マスと7 × 3 = 21マスです。アメリカのスタンダード3.MD.C.7cも「面積のモデルを使って分配法則を表す」ことを求めています。

数をかけ算に分ける力は、最大公約数を見つける力と同じです。最大公約数と最小公倍数の解説では、36 + 8が4 × (9 + 2) = 44になる例を紹介しています。

計算のきまりが身についたかを確かめるには

5つの短い問いで、子どもや大人が計算のきまりを使っているのか、九九を唱えているだけなのかが分かります。

• 入れかえ： 「6 × 9 = 54なら、9 × 6は？」と聞きます。計算せずにすぐ「54」と答えれば、交換法則が身についています。
• 分ける： 8 × 5を使って8 × 7を求めてもらいます。聞きたい答えは40 + 16 = 56です。
• 組み直す： 2 × 13 × 5を出します。10 × 13 = 130に気づけば、結合法則を使えています。
• 0と1： 0 × 12と1 × 12を聞きます。答えは0と12で、取りちがえはよくあります。
• 説明する： 4 × 6 = 4 × 3 + 4 × 3になるのはなぜかを聞きます。「6は3 + 3だから」と言えれば十分です。

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週に1回、2分の確認

途中の考えを声に出してもらいながら週に1回2分確認するほうが、計算ドリル1ページより多くのことが分かります。種類ごとに1問ずつ混ぜて、お子さんがどのきまりを使うかを見ます。どの答えも数えたしで出している子どもは、数とびの数え方のパターンで差をうめられます。

よくある間違いとまぎらわしい場合

計算のきまりの誤答のほとんどは5つの間違いから来ていて、どれも短く直せます。

• ひき算やわり算の順番を入れかえる： OpenStaxが示すとおり、12 ÷ 4 = 3ですが4 ÷ 12 = 1/3、7 − 3 = 4ですが3 − 7 = −4です。交換法則が成り立つのはたし算とかけ算だけです。
• わり算の組み方を変える： (24 ÷ 4) ÷ 2 = 3ですが、24 ÷ (4 ÷ 2) = 12です。わり算とひき算では結合法則が成り立たないので、かっこは動かしません。
• 0と1を取りちがえる： 8 × 0 = 0、8 × 1 = 8です。8 × 0 = 8と書く子どもは、たし算の8 + 0 = 8のきまりを使っています。
• かけ算の中に分配する： 2 × (3 × 4)は24ですが、2 × 3 × 2 × 4は48です。分配法則が使えるのは和や差に対してだけで、積に対しては使えません。
• かけ算より先にたす： 7 × 5 + 7 × 3は、先に2つの積を出すという意味です。計算の順序の解説のとおり、左から(7 × 5 + 7) × 3と計算すると、56ではなく126になってしまいます。

まぎらわしい場合：ひき算にも使える分配法則

分配法則はひき算にも使えます。a × (b − c) = a × b − a × cで、OpenStaxがあげる「ほかの形」の1つです。9の段がかんたんになり、8 × 9 = 8 × 10 − 8 × 1 = 80 − 8 = 72、6 × 99 = 600 − 6 = 594です。

わり算で分配できるのは、和をわるときだけです。(20 + 8) ÷ 4 = 5 + 2 = 7は正しいですが、24 ÷ (4 + 2)は24 ÷ 6 = 4で、24 ÷ 4 + 24 ÷ 2 = 6 + 12 = 18とはちがいます。

計算のきまりのチェックリストと次の一歩

• 交換法則： 1つの式を覚えれば、入れかえた式はただで手に入る。
• 1と0のきまり： 1をかける式と0をかける式はまるごと分かる。
• 分配法則： むずかしい数を5や10に分け、両方にかける。
• 結合法則： 3つの数の組み方を変えて、先に10や100を作る。
• 確かめ： ひき算とわり算は、順番もかっこもそのまま。

小2〜小4の練習は九九のゲームのページにあり、計算のきまりで分かった式をすばやく思い出せるようになります。

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