Denklem nasıl çözülür: bir adımlı, iki adımlı ve iki tarafında x olan denklemler

Üç simit ile 5 TL'lik bir çay 41 TL tuttu ve bir simidin kaç lira olduğunu bilmek istiyorsunuz. Bu cümle 3x + 5 = 41 denklemidir ve denklem çözmeyi öğrenmek onu iki satırlık bir hesaba çevirir: çayın parasını çıkarın, kalanı üçe bölün; bir simit 12 TL'dir. Aynı hamleler, 7. ya da 8. sınıftaki bir çocuğun eve getirdiği birinci dereceden her denklemi çözer: bir adımlı ve iki adımlı denklemlerden iki tarafında da x olan denklemlere kadar.

"x'i bulmak" ne demektir?

x'i bulmak, bir denklemin iki tarafını eşit yapan sayıyı bulmak demektir. x + 7 = 15'te cevap 8'dir, çünkü 8 + 7 = 15'tir ve başka hiçbir sayı 15 vermez. OpenStax Prealgebra çözümü "denklemde yerine konduğunda doğru bir ifade oluşturan değişken değeri" diye tanımlar.

Eşit kollu bir terazi, bir denklemin en açık resmidir. Sol kefede 3x + 2, sağ kefede 14 vardır ve iki taraf aynı ağırlıkta olduğu için terazi dengededir. x yazan her kutu, aynı bilinmeyen sayıda bloğu saklar.

Her kefeden 2 blok alın; terazi dengede kalır: üç kutu 12 bloğu dengeler. İki kefeyi de üç eş gruba ayırın; bir kutu 4 bloğu dengeler, yani x = 4'tür. Kontrol edin: 3 × 4 + 2 = 14.

İki iş: geri almak ve dengeyi korumak

Bir denklemi çözmek iki işe dayanır. Birinci iş, x'e yapılanları ters sırayla geri almaktır. 3x + 5'te x önce 3 ile çarpılmış, sonra 5 eklenmiştir; bu yüzden önce 5'i, sonra 3'ü kaldırırsınız. Bu, tersten işletilen işlem önceliğidir.

İkinci iş dengeyi korumaktır. OpenStax bunu eşitliğin çıkarma özelliği olarak verir: her a, b ve c sayısı için a = b ise a − c = b − c'dir. Aynısı toplama, çarpma ve sıfırdan farklı bir sayıya bölme için de geçerlidir; yani bir tarafa ne yaparsanız öbür tarafa da onu yaparsınız. MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı bu fikre "eşitliğin korunumu ilkesi" der (M.7.2.2.1) ve terazi gibi denge modellerinin kullanılmasını ister.

Denklem adım adım nasıl çözülür?

Beş adım, bir bilinmeyenli birinci dereceden her denklemi çözer. Kısa denklemler bazı adımları atlar, ama sıra hiç değişmez.

1. Her tarafı sadeleştirin. Her tarafta parantezleri açın ve benzer terimleri ayrı ayrı birleştirin; 2(x − 4), 2x − 8 olur.
2. x'li terimleri bir tarafta toplayın. x yalnızca bir tarafta kalana kadar iki tarafa aynı x'li terimi ekleyin ya da çıkarın. OpenStax x'i katsayısı büyük olan tarafta tutmayı önerir; bu genellikle hesabı kolaylaştırır.
3. Toplamayı ve çıkarmayı geri alın. x'li terime eklenen her sayıyı iki taraftan çıkarın, çıkarılan her sayıyı iki tarafa ekleyin.
4. Çarpmayı ve bölmeyi geri alın. İki tarafı x'in önündeki sayıya bölün; x bir sayıya bölünmüşse iki tarafı o sayıyla çarpın.
5. Yerine koyarak kontrol edin. Cevabınızı ilk denklemde yerine koyun ve her tarafı hesaplayın. Eşleşiyorlarsa iş bitmiştir.

Simit problemi, adımları işaretlenmiş hâliyle:

• 3x + 5 = 41 (sadeleştirilecek bir şey yok ve x zaten tek tarafta)
• 3x = 36 (3. adım: iki taraftan 5 çıkarın)
• x = 12 (4. adım: iki tarafı 3'e bölün)
• Kontrol: 3 × 12 + 5 = 36 + 5 = 41

Parantezli bir denklem 1. adımı kullanır. 2(x − 4) = 10 için parantezi açıp 2x − 8 = 10 yazın, iki tarafa 8 ekleyip 2x = 18 bulun ve 2'ye bölüp x = 9 bulun. Kontrol: 2 × (9 − 4) = 2 × 5 = 10.

İki tarafı önce 2'ye de bölebilirsiniz; bu x − 4 = 5 ve aynı x = 9 sonucunu verir. ABD Eğitim Bilimleri Enstitüsü'nün (IES) cebir öğretmenleri için uygulama kılavuzu, öğrencilere alternatif cebirsel stratejiler arasından bilerek seçim yapmayı öğretmeyi önerir; bu iki yolu karşılaştırmak da o seçimin küçük bir örneğidir.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınX'i Bul6. sınıf+

En sık yapılan yanlış

Yanlış cevapların çoğu, bir adımı yalnızca bir tarafa uygulamaktan gelir. 3x + 5 = 41'in solundan 5 çıkarıp 41'i olduğu gibi bırakırsanız 3x = 41 ve x = 41 ÷ 3 bulursunuz; bu cevap kontrolden geçmez. Alışkanlık oturana kadar uyguladığınız işlemi her seferinde iki tarafın altına yazın.

İşaret hataları ikinci tuzaktır. 5x − 2 = 3x + 10'da −2 sol tarafa aittir, bu yüzden iki tarafa 2 eklersiniz; onun yerine 2 çıkarmak 2x = 8 ve x = 4 verir ve kontrolde solda 18, sağda 22 çıkar.

Bir adımlı, iki adımlı ve iki tarafında x olan denklemler

Birinci dereceden denklemlerin üç yaygın biçimi vardır ve biçim size ilk hamleyi söyler. Karşılaştırma tablosunun her satırındaki cevap yerine koyarak kontrol edilmiştir.

İki tarafında x olan satırın tamamı: 5x − 2 = 3x + 10, önce 2x − 2 = 10, sonra 2x = 12, sonra x = 6 olur. Kontrol 5 × 6 − 2 = 28 ve 3 × 6 + 10 = 28 verir.

Hangi tür hangi sınıfta gelir?

Türkiye'de denklemin temeli erken atılır: 1. sınıfta M.1.1.2.4 ile toplamları 20'yi geçmeyen toplamalarda verilmeyen toplanan bulunur, 6. sınıfta M.6.2.1 ile cebirsel ifadeler gelir. Asıl denklem çözme 7. sınıftadır: MEB programı M.7.2.2.3 ile katsayıları tam sayılardan seçilen birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözdürür. 8. sınıfta M.8.2.2.1 ile katsayılar rasyonel sayılara genişler.

ABD'de Common Core sırası farklıdır: bir adımlı denklemler 6. sınıfta (6.EE.B.7, x + p = q ve px = q biçimi), iki adımlı denklemler 7. sınıfta (7.EE.B.4a, px + q = r ve p(x + q) = r biçimi) gelir. 8.EE.C.7 ise dağılma özelliğiyle parantez açmayı ve benzer terimleri toplamayı gerektiren denklemleri kapsar; iki tarafında x olan denklemler burada ortaya çıkar.

Denklem çözmek için pratik ipuçları

Her adımı ayrı bir satıra yazmak en yararlı alışkanlıktır. Eşittir işaretlerini alt alta hizalayın ve uyguladığınız işlemi iki tarafın yanına yazın; böylece bir hata, olduğu satırda görünür.

• Ters işlem çiftleri: toplama çıkarmayı, çarpma bölmeyi geri alır ve her çift iki yönde de işler.
• Negatif katsayılar: 7 − 2x = 13'te 7 çıkarıp −2x = 6 bulun, sonra −2'ye bölüp x = −3 bulun. Kontrol: 7 − 2 × (−3) = 7 + 6 = 13. Negatif bir sayıya bölmenin kuralları negatif sayılar rehberindedir.
• Tek cevap: bir tarafında tek bir x'li terim olan bir denklemin tam olarak bir cevabı vardır; ikinci bir "cevap" bir yerde hata olduğunu gösterir.

Kesirler ve günlük hayattan problemler

x'in bir sayıya bölündüğü bir denklem çarpmayla çözülür. Dört arkadaş hesabı bölüşür ve her biri 90 TL öderse hesap x/4 = 90'dır; iki tarafı 4 ile çarpmak x = 360 TL verir. Bu tür denklemler orantıya çok yakındır; orantıyı oranlar rehberi anlatır.

Yetişkinler iki adımlı denklemlerle günlük hayatta fark ettiklerinden daha sık karşılaşır. Bir taksi 30 TL açılış ücreti artı kilometre başına 20 TL alıyor ve yolculuk 190 TL tuttu: 20k + 30 = 190, dolayısıyla 20k = 160 ve k = 8 km.

Bir telefon tarifesi aylık 250 TL artı 400 TL bağlantı ücreti tutuyor ve toplam 1.900 TL ödediniz: 250a + 400 = 1.900, dolayısıyla 250a = 1.500 ve a = 6 ay. Bir cümleyi denkleme çevirmek ayrı bir beceridir; matematik problemleri rehberi bunun yolunu gösterir.

Denklemlerde ilerleme nasıl kontrol edilir?

Denklemlerdeki ilerleme, ister ödev kontrol eden bir veli ister cebiri yeniden öğrenen bir yetişkin olun, birkaç dakikada sınayabileceğiniz beş işarette görünür.

• Yerine koyma: Öğrenen kişi her cevabı kendisine söylenmeden kontrol ediyor mu? Common Core 6.EE.B.5 standardı öğrencilerin, verilen bir sayının bir denklemi ya da eşitsizliği doğru yapıp yapmadığını yerine koyarak belirlemesini ister.
• İlk hamle: 6x + 4 = 40 verildiğinde hiçbir şey yazmadan "4 çıkar" diyebiliyor mu? Cevap x = 6'dır.
• İki taraf: Her satırda aynı işlem iki tarafa da uygulanmış mı?
• Parantez: 3(x + 2) = 21'i iki yolla çözebiliyor mu? Önce bölmek x + 2 = 7, önce parantezi açmak 3x + 6 = 21 verir ve ikisi de x = 5'te biter.
• Sözden denkleme: "5 defter ve 40 TL'lik bir kalem 290 TL tuttu" cümlesini yazıp çözebiliyor mu? Denklem 5d + 40 = 290'dır, dolayısıyla d = 50 TL'dir.

Beş dakikalık bir test

Karşılaştırma tablosunun her satırından birer denklemle yapılan beş dakikalık bir test, hangi türün çalışılması gerektiğini söyler. Bir adımlı satırları çözüp 5x − 2 = 3x + 10'u kaçıran kişinin 2. adıma, yani x'i bir tarafta toplamaya ihtiyacı vardır. 4x = 28'de takılan kişinin bölme bilgilerine ihtiyacı vardır ve eksik çarpan oyunu bunları hızla çalıştırır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınEksik Çarpan3–4. sınıf

Sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

x'i bulurken yapılan yanlışların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin hızlı bir düzeltmesi vardır.

• Yalnızca ilk terime dağıtmak: 2(x − 4), 2x − 4 değil, 2x − 8'dir. 2'den parantezin içindeki her terime bir ok çizin.
• Çıkarmadan önce bölmek: 3x + 5 = 41'de önce bölmek, 5 de dâhil her terimi bölmek demektir ve kesirler çıkarır. Önce toplamayı ve çıkarmayı geri alın.
• Negatif bir cevabı atmak: 4x + 20 = 8, 4x = −12 ve x = −3 verir. Negatif bir cevap sorun değildir ve 4 × (−3) + 20 = 8 kontrolü onu doğrular.
• Bölerken işareti çevirmek: −3x = 15, x = −5 verir, çünkü 15 ÷ (−3) = −5'tir. Hatırlayabileceğiniz yön değiştirme kuralı denklemlere değil, eşitsizliklere aittir.

x kaybolduğunda: çözüm yok ya da sonsuz çözüm

Bazı denklemler x'i tamamen kaybeder ve geriye kalan satır cevabı söyler. Common Core 8.EE.C.7a standardı, öğrencilerin denklemi x = a, a = a ya da a = b biçiminde denk bir denklem çıkana kadar art arda daha basit biçimlere dönüştürerek hangi durumun geçerli olduğunu göstermesini ister.

2x + 1 = 2x + 3'te iki taraftan 2x çıkarmak 1 = 3 bırakır; bu yanlıştır, dolayısıyla denklemin çözümü yoktur. 2(x + 1) = 2x + 2'de parantezi açmak 2x + 2 = 2x + 2 verir ve 2x çıkarmak 2 = 2 bırakır; bu her zaman doğrudur, dolayısıyla her sayı bir çözümdür.

x'i bulma kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Sadeleştirin: her tarafta parantezleri açın ve benzer terimleri birleştirin.
• Toplayın: bütün x'li terimleri bir tarafa, tercihen katsayısı büyük olan tarafa taşıyın.
• + ve −'yi geri alın: iki tarafa aynı sayıyı ekleyin ya da iki taraftan aynı sayıyı çıkarın.
• × ve ÷'yi geri alın: iki tarafı x'in yanındaki sayıya bölün ya da onunla çarpın.
• Kontrol edin: ilk denklemde yerine koyun ve iki tarafı karşılaştırın.
• Sınır durumlar: 1 = 3 gibi yanlış bir satır çözüm olmadığını, 2 = 2 gibi doğru bir satır sonsuz çözüm olduğunu gösterir.

Ücretsiz x'i bul oyunu, x + 7 = 15 gibi bir adımlı denklemleri tarayıcıda üyeliksiz sunar ve siz x'in değerini yazarsınız. Matematiğini yeniden kuran yetişkinler yetişkin olarak matematikte nasıl daha iyi olunur yazısındaki planı izleyebilir ya da yetişkinler için matematik oyununu deneyebilir.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk, günlük alıştırma ve 2–5 kişilik gerçek zamanlı düellolar sunan, 33 dilde kullanılabilen ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır.