Karekök nedir ve karekök nasıl bulunur?

Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren değerdir; √49 = 7'dir, çünkü 7 × 7 = 49'dur. Karekök bulmak için sayı tam kareyse kökü hatırlayın. Değilse sayıyı iki tam kare sayının arasına yerleştirin, tahmin edin ve tahmininizin karesini alarak kontrol edin. Asal çarpanlara ayırma ve hesap makinesi de işe yarar.

64'ün karekökü kaçtır?

64'ün karekökü 8'dir, çünkü 8 × 8 = 64'tür. 64 bir tam kare sayıdır, sekizinci tam karedir. −8'in karesi de 64'tür, ama √ işareti pozitif kökü gösterir; bu yüzden √64 = 8'dir.

2'nin karekökü kaçtır?

2'nin karekökü yaklaşık 1,414'tür, çünkü 1,414 × 1,414 = 1,999396'dır. 2'nin karekökü irrasyonel bir sayıdır: ondalık açılımı hiç bitmez ve hiç tekrar etmez, bu yüzden yazılan her değer bir yaklaşık değerdir. MEB programı tam kare olmayan sayıların kareköklerinin iki tam sayının oranı olarak yazılamadığını 8. sınıfta işler.

16'nın karekökü kaçtır?

16'nın karekökü 4'tür, çünkü 4 × 4 = 16'dır. Sık yapılan bir yanlış, 16'nın yarısı olan 8'i söylemektir. İkiye bölmek ile karekök almak yalnızca 0 ve 4 için aynı sonucu verir: 4 ÷ 2 = 2 ve √4 = 2.

Karekök negatif olabilir mi?

Bir sayının pozitif kökünün yanında negatif bir kökü de vardır: 7 × 7 = 49 ve (−7) × (−7) = 49. √ işareti yalnızca pozitif kökü gösterir; bu yüzden √49 = 7'dir ve negatif kök −√49 = −7 diye yazılır. −4 gibi negatif bir sayının gerçek sayılarda karekökü yoktur.

Karekök Nedir, Karekök Nasıl Bulunur?

sınıftaki çocuğunuz √50'de takılmış ve hesap makinesinin verdiği 7,0710678 sanki hiçbir yerden gelmemiş gibi duruyor. Karekök yeni bir işlem gibi görünse de aslında geriye doğru işletilen kare almadır ve çarpım tablosundaki tam kare sayılar neredeyse her cevabı taşır. Bu bağlantı netleşince bir karekökü elle bulabilir ve saniyeler içinde kontrol edebilirsiniz.

Karekök nedir?

Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren değerdir. √49 = 7'dir, çünkü 7 × 7 = 49'dur; √100 = 10'dur, çünkü 10 × 10 = 100'dür. √ işaretine kök işareti denir ve √49 "kök 49" ya da "49'un karekökü" diye okunur.

OpenStax Prealgebra ders kitabı tanımı tek satırda verir: karesi m olan sayıya m'nin karekökü denir. Kare almak ve karekök almak, çarpma ile bölme gibi birbirini geri alır. Üslü ifadeler rehberi işin kare alma yarısını anlatır.

Bir resim bu bağlantıyı somutlaştırır. 49 karodan oluşan bir karenin her kenarında 7 karo vardır; yani bir alanın karekökü kenarın uzunluğudur. MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı da M.8.1.3.1 kazanımında sayı ile karekökü arasındaki ilişkinin kare modelleriyle, alan ile kenar arasındaki ilişkiden yararlanılarak ele alınabileceğini söyler.

1, 4, 9, 16 ve 25 karodan oluşan beş kare; her biri 1 × 1 = 1'den 5 × 5 = 25'e kadar çarpımıyla ve √1 = 1'den √25 = 5'e kadar kareköküyle etiketlenmiş.

Tam kare sayılar: ilk 15 tam kare

Tam kare sayılar, bir doğal sayının kendisiyle çarpılmasından çıkan sonuçlardır. Karekökleri doğal sayılardır, bu yüzden her tam kare sayı aynı zamanda bir karekök bilgisidir.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225

MEB programı 5. sınıfta M.5.1.2.10 ile bir doğal sayının karesini ve küpünü üslü ifade olarak göstermeyi ve değerini hesaplamayı ister. İngiltere'nin ulusal matematik programı da 5. yılda kare ve küp sayıları ve ² ile ³ gösterimlerini ister. İlk on satır doğrudan çarpım tablosundan gelir; çarpım tablosu hızlı nasıl öğrenilir yazısı burada da işe yarar.

Karekök adım adım nasıl bulunur?

Karekök dört adımda bulunur: tam kare olup olmadığına bakın, sayıyı iki tam karenin arasına yerleştirin, tahmin edin ve kare alarak kontrol edin. Çözümlü örnek olarak √50'yi alın.

Sayının tam kare olup olmadığını sorun. Sayı tam kareler arasında varsa kökü hatırlayın: √144 = 12. 50 listede yok, bu yüzden devam edin.
Etrafındaki iki tam kareyi bulun. 50, 49 = 7² ile 64 = 8² arasındadır; dolayısıyla √50, 7 ile 8 arasındadır.
Uzaklıklardan tahmin edin. 50, 49'dan 1 fazla ve 64'ten 14 eksiktir; yani √50, 7'ye çok daha yakındır. 49 ile 64 arası 15 olduğundan iyi bir ilk tahmin 7 + 1/15, yani yaklaşık 7,07'dir.
Kare alarak kontrol edin. 7,07 × 7,07 = 49,9849'dur ve bu 50'ye yakındır. Hesap makinesi √50 ≈ 7,0711 verir, dolayısıyla tahmin virgülden sonra iki basamağa kadar doğrudur.

Aynı dört adım her doğal sayı için işler. √30 için komşular 25 ve 36'dır, kök 5 ile 6 arasında, ortanın biraz altındadır ve 5,5 × 5,5 = 30,25 bunu doğrular. MEB programı da M.8.1.3.2'de aynı beceriyi ister: 31'in karekökünün 5 ile 6 arasında ve 6'ya daha yakın olduğunu belirlemek.

36'dan 64'e bir sayı doğrusu: tam karelerin üzerinde √36 = 6, √49 = 7 ve √64 = 8; 50, 49'dan bir adım ileride ve 64'e on dört adım uzakta işaretlenmiş; bir kutuda 7 < √50 < 8.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınKare Sayılar4–6. sınıf

En sık yapılan yanlış: toplamların kökü

Bir toplamın karekökü, kareköklerin toplamı değildir. √(9 + 16) = √25 = 5 iken √9 + √16 = 3 + 4 = 7'dir. Önce kök işaretinin altındaki her şeyi hesaplayın, sonra kökü alın.

OpenStax aynı noktayı çözümlü bir çiftle gösterir: ilk örnekte önce her karekök alınıp sonra toplanır, ikincisinde önce kök işaretinin altında toplanıp sonra karekök bulunur. Çarpma ise ayrılır: √(4 × 9) = √36 = 6 ve √4 × √9 = 2 × 3 = 6.

Karekök bulmanın dört yolu yan yana

Karekök bulmanın dört yolu hatırlama, tahmin edip kontrol etme, asal çarpanlara ayırma ve hesap makinesidir. Her biri farklı bir sayıya ve okulda farklı bir ana uyar.

Yöntem	Nasıl işler	En uygun olduğu yer	Sınırları
Hatırlama	Sayıyı bilinen bir kareyle eşleştirmek: √81 = 9	225'e ya da 400'e kadar tam kareler	Karelerin ezberlenmiş olmasını ister
Tahmin edip kontrol etme	İki kare arasına yerleştirmek, tahmin etmek, tahminin karesini almak	√50 ≈ 7,07, hızlı kontroller, hesap makinesiz sınavlar	Yaklaşık bir değer verir, genellikle virgülden sonra 1–2 basamak
Asal çarpanlara ayırma	Asal çarpanlara ayırıp her üssü yarıya indirmek: √144 = √(2⁴ × 3²) = 2² × 3 = 12	324 ya da 576 gibi büyük tam kareler	Büyük sayılarda yavaş; tam kare olmayanlarda doğal sayı cevap yok
Hesap makinesi	√ tuşuna basmak ya da bir tabloya =KAREKÖK(50) yazmak	Her sayı, her hassasiyet	Cevabın mantıklı olup olmadığını gizler

Asal çarpanlara ayırma işe yarar, çünkü bir tam karede her asal çarpan çift sayıda bulunur. 324 = 2² × 3⁴'tür, dolayısıyla √324 = 2 × 3² = 18'dir ve 18 × 18 = 324 bunu doğrular. Asal sayılar yazısı çarpan ağacının nasıl kurulacağını gösterir; oradaki bölünebilme denemesi de aynı nedenle sayının kareköküne gelince durur.

Hangi sınıfta hangi yöntem?

Hangi karekök yönteminin önce geleceğini sınıf belirler. Hatırlama önce gelir, çünkü tam kare sayılar 5. ve 6. sınıfta çarpım bilgileri ve ² gösterimiyle birlikte gelir.

Türkiye'de karekök 8. sınıfta gelir. MEB programı M.8.1.3.1'de tam kare pozitif tam sayılarla karekökleri arasındaki ilişkiyi, M.8.1.3.2'de tam kare olmayan bir sayının karekökünün hangi iki doğal sayı arasında olduğunu, M.8.1.3.7'de ondalık ifadelerin kareköklerini, M.8.1.3.8'de de gerçek ve irrasyonel sayıları işler. ABD'de de karekök 8. sınıftadır: Common Core 8.EE.A.2 standardı küçük tam karelerin kareköklerini hesaplamayı ve √2'nin irrasyonel olduğunu bilmeyi ister.

8.NS.A.2 standardı tahmini ekler: √2'nin ondalık açılımını keserek önce 1 ile 2, sonra 1,4 ile 1,5 arasında olduğunu göstermek. Asal çarpanlara ayırma 7. ve 8. sınıflara uyar; hesap makinesi en son, bir tahminin kontrolü olarak gelir.

Kareköklerin kalıcı olması için pratik ipuçları

Karekökler, tam kare sayılar otomatikleşince kalıcı olur; bu yüzden onları 15²'ye kadar, çocuğunuz cebire hazırlanıyorsa 20²'ye kadar öğrenin. Tam kare sayılar oyununda günde beş dakika, 13² = 169 ve 14² = 196 gibi bilgilerin işlem yapmadan gelmesini sağlar.

Son basamağı bir süzgeç olarak kullanın. Bir tam kare yalnızca 0, 1, 4, 5, 6 ya da 9 ile biter; dolayısıyla 2, 3, 7 ve 8 ile biten hiçbir sayı tam kare değildir.

Son basamak kuralı 47'yi, 83'ü ve 572'yi bir bakışta eler. Kural yalnızca süzer: 26, 6 ile biter ama yine de tam kare değildir.

Kökleri zihinden işlemle bağlayın. √2.500 = 50'dir, çünkü 50 × 50 = 2.500'dür; aynı nedenle √1.600 = 40'tır. İşe yarayan zihinden işlem yöntemleri rehberinde bu türden başka kısayollar vardır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınÇarpım Tablosu3. sınıf+

Bir alıştırma kuralı: cevabın her zaman karesini alın

Cevabın karesini almak, her yanlış karekökü yakalayan tek alışkanlıktır. √196 için 13 bulunduysa 13 × 13 = 169 hatayı, 14 × 14 = 196 da düzeltmeyi gösterir. Çocuğunuz kendiliğinden yapana kadar her ödev sorusunda bu kontrolü isteyin.

Kareköklerde ilerleme nasıl kontrol edilir?

Beş işaret kareköklerin anlaşılıp anlaşılmadığını gösterir ve her biri bir dakikadan kısa sürer.

Hatırlama: √121, √169 ve √225'i sorun. 11, 13 ve 15 cevaplarının her biri üç saniyeden kısa sürede gelmelidir.
Yerleştirme: √90'ın hangi iki doğal sayı arasında olduğunu sorun. Cevap 9 ve 10'dur, çünkü 81 < 90 < 100'dür.
Tahmin: √65'i virgülden sonra bir basamağa kadar isteyin. Yaklaşık 8,1 doğrudur, çünkü 65, 64'ten 1 fazladır.
İşaretin altındaki toplamlar: √(36 + 64) verin. Cevap 10'dur; 14 cevabı köklerin önce alındığını gösterir.
Gerekçe: √0,25'in neden 0,5 olduğunu sorun. "Çünkü 0,5 × 0,5 = 0,25" fikri gösterir; "çünkü yarısını alıyoruz" göstermez.

Beş dakikalık bir test

Beş dakikalık bir test her türden birer soru karıştırır ve haftada iki kez yeni sayılarla tekrarlanır. Cevabın yanında kontrolü de puanlayın: √50 ≈ 7,07 yazıp karesini alarak 49,98 bulan öğrenci kökleri anlamıştır. 6. sınıflar için matematik oyunu sayfası, karelerin ve üslü ifadelerin buluştuğu sınıfın alıştırmalarını bir araya getirir.

Karekökte sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Yanlış kareköklerin çoğunu beş hata doğurur ve her birinin tek satırlık bir düzeltmesi vardır.

√16 = 8: Sayı ikiye bölünmüştür. Cevabın karesini alın: 8 × 8 = 64, dolayısıyla kök 4'tür.
√(9 + 16) = 7: Kökler toplamadan önce alınmıştır. Önce toplayın: √25 = 5.
√50 = 25: Daha büyük bir sayıda aynı yarıya bölme hatası. Bunun yerine 50'yi 49 ile 64 arasına yerleştirin.
√2 tam olarak 1,414'tür: √2 irrasyoneldir, bu yüzden √2 ≈ 1,414 yazın; 1,414 × 1,414 = 1,999396'dır.
√49 = ±7: Kök işareti tek bir cevap verir. √49 = 7 yazın, negatif kök için −√49 = −7 yazın.

Negatif sayılar dikkat ister. Hem 7 × 7 hem (−7) × (−7) 49'a eşittir; dolayısıyla 49'un iki karekökü vardır ve √ işareti pozitif olanı seçer. OpenStax bunu açıkça söyler: kök işareti √, pozitif karekökü gösterir.

Negatif sayıların karekökü

Negatif bir sayının gerçek sayılarda karekökü yoktur, çünkü her gerçek sayının kendisiyle çarpımı sıfır ya da pozitiftir. OpenStax karesi −169 olan bir gerçek sayı bulunmadığını söyler; bu yüzden √−4'ün gerçek bir cevabı yoktur. Negatif sayılar yazısı, iki negatifin çarpımının neden pozitif olduğunu, yani bu kuralın arkasındaki nedeni anlatır.

Karekök kontrol listeniz ve sonraki adımlar

Kareleri bilin: 1²'den 15²'ye kadar ezbere, son olarak 225.
Sayıyı yerleştirin: altındaki ve üstündeki tam kareleri bulun.
Uzaklıkla tahmin edin: alttaki kareye daha yakınsa kök de alttaki köke daha yakındır.
Önce işaretin altını hesaplayın: √(a + b) hiçbir zaman √a + √b diye ayrılmaz.
Cevabın karesini alın: kontrol on saniye sürer ve her hatayı yakalar.

MEB programı 8. sınıfta tam kare olmayan sayıların kareköklerinin iki tam sayının oranı olarak yazılamadığına dikkat çeker (M.8.1.3.8). √2 ile 1,414 arasındaki çizgi budur ve yukarıdaki beş alışkanlık buna hazırlar.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır; tam kare sayılar ancak kolay olanlar doğru çıktıktan sonra zorlaşır. Oyunlarından 22'si, tam kare sayılar da dâhil, tarayıcıda üyeliksiz ve ücretsiz oynanır.