Równania z jedną niewiadomą: jednokrokowe, dwukrokowe i z x po obu stronach

Trzy bilety na basen plus 5 zł opłaty za rezerwację kosztowały 41 zł, a ty chcesz wiedzieć, ile kosztował jeden bilet. To zdanie to równanie 3x + 5 = 41, a gdy wiesz, jak rozwiązywać równania, zamieniasz je w dwie linijki rachunków: odejmij opłatę, a resztę podziel na trzy, więc jeden bilet kosztował 12 zł. Te same ruchy rozwiązują każde równanie pierwszego stopnia, które przynosi uczeń klas 6–8, od równań jednokrokowych i dwukrokowych po równania z niewiadomą po obu stronach.

Co znaczy „rozwiązać równanie”?

Rozwiązać równanie to znaleźć liczbę, dla której obie strony równania są równe. W x + 7 = 15 odpowiedzią jest 8, bo 8 + 7 to 15 i żadna inna liczba nie daje 15. OpenStax Prealgebra definiuje rozwiązanie jako wartość zmiennej, która po podstawieniu do równania daje zdanie prawdziwe.

Waga szalkowa to najjaśniejszy obraz równania. Lewa szalka trzyma 3x + 2, prawa trzyma 14, a waga jest w równowadze, bo obie strony ważą tyle samo. Każde pudełko oznaczone x kryje tę samą nieznaną liczbę klocków.

Zdejmij po 2 klocki z każdej szalki, a waga zostanie w równowadze: trzy pudełka równoważą 12 klocków. Podziel obie szalki na trzy równe grupy, a jedno pudełko równoważy 4 klocki, więc x = 4. Sprawdź: 3 × 4 + 2 = 14.

Dwa zadania: cofnij i zachowaj równowagę

Rozwiązywanie równania to dwa zadania. Pierwsze to cofnięcie tego, co zrobiono z x, w odwrotnej kolejności. W 3x + 5 x pomnożono przez 3, a potem dodano 5, więc najpierw usuwasz 5, a potem 3, czyli kolejność wykonywania działań puszczona od końca.

Drugie zadanie to zachowanie równowagi. OpenStax zapisuje to jako własność odejmowania w równaniach: dla dowolnych liczb a, b i c, jeśli a = b, to a − c = b − c. To samo działa dla dodawania, mnożenia i dzielenia przez liczbę różną od zera, więc cokolwiek robisz z jedną stroną, robisz też z drugą.

Jak rozwiązywać równania krok po kroku

Pięć kroków rozwiązuje każde równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Krótkie równania pomijają niektóre z nich, ale kolejność nigdy się nie zmienia.

1. Uprość każdą stronę. Opuść nawiasy i zredukuj wyrazy podobne po każdej stronie osobno, więc 2(x − 4) staje się 2x − 8.
2. Zbierz wyrazy z x po jednej stronie. Dodaj albo odejmij wyraz z x po obu stronach, aż x zostanie tylko po jednej stronie. OpenStax radzi zostawiać x po stronie z większym współczynnikiem, co zwykle ułatwia rachunki.
3. Cofnij dodawanie i odejmowanie. Odejmij liczbę dodaną do wyrazu z x albo dodaj liczbę odjętą, po obu stronach.
4. Cofnij mnożenie i dzielenie. Podziel obie strony przez liczbę stojącą przy x albo pomnóż obie strony, jeśli x jest przez coś podzielone.
5. Sprawdź przez podstawienie. Wstaw wynik do równania wyjściowego i oblicz każdą stronę. Jeśli się zgadzają, gotowe.

Oto zadanie z biletami z zaznaczonymi krokami:

• 3x + 5 = 41 (nie ma czego upraszczać, a x już jest po jednej stronie)
• 3x = 36 (krok 3: odejmij 5 od obu stron)
• x = 12 (krok 4: podziel obie strony przez 3)
• Sprawdzenie: 3 × 12 + 5 = 36 + 5 = 41

Równanie z nawiasem używa kroku 1. Dla 2(x − 4) = 10 opuść nawias: 2x − 8 = 10, dodaj 8 do obu stron, żeby dostać 2x = 18, i podziel przez 2: x = 9. Sprawdzenie: 2 × (9 − 4) = 2 × 5 = 10.

Możesz też najpierw podzielić obie strony przez 2, co daje x − 4 = 5 i to samo x = 9. Poradnik IES dla nauczycieli algebry zaleca uczyć uczniów świadomego wybierania spośród różnych strategii algebraicznych, a porównanie tych dwóch dróg to mały przykład takiego wyboru.

Zagraj za darmo w przeglądarceRozwiąż równanieKlasa 6+

Gdzie pojawia się błąd

Większość złych wyników bierze się z wykonania kroku tylko po jednej stronie. Jeśli odejmiesz 5 od lewej strony 3x + 5 = 41, a 41 zostawisz bez zmian, dostaniesz 3x = 41 i x = 41 : 3, a ten wynik nie przejdzie sprawdzenia. Zapisuj działanie pod obiema stronami za każdym razem, aż nawyk się utrwali.

Drugą pułapką są znaki. W 5x − 2 = 3x + 10 liczba −2 należy do lewej strony, więc dodajesz 2 do obu stron; odjęcie jej daje 2x = 8 i x = 4, a sprawdzenie pokazuje 18 po lewej i 22 po prawej.

Równania jednokrokowe, dwukrokowe i z niewiadomą po obu stronach

Równania pierwszego stopnia mają trzy częste kształty, a kształt podpowiada pierwszy ruch. Wynik w każdym wierszu tabeli sprawdzono przez podstawienie.

Wiersz z niewiadomą po obu stronach w całości: 5x − 2 = 3x + 10 staje się 2x − 2 = 10, potem 2x = 12, potem x = 6. Sprawdzenie daje 5 × 6 − 2 = 28 i 3 × 6 + 10 = 28.

Który rodzaj w której klasie

W Polsce proste równania pojawiają się w klasach 4–6, a metoda równań równoważnych w klasach 7–8. Podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej mówi, że w klasach 4–6 uczeń „rozwiązuje równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą występującą po jednej stronie równania”, przez odgadnięcie, uzupełnienie albo działanie odwrotne, z przykładem (x − 2)/3 = 4, którego rozwiązaniem jest x = 14.

W klasach 7–8 uczeń „rozwiązuje równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą metodą równań równoważnych”, a to tam pojawia się niewiadoma po obu stronach. W USA równania jednokrokowe są w klasie 6 (standard 6.EE.B.7, Common Core), dwukrokowe w klasie 7 (7.EE.B.4a), a równania wymagające opuszczania nawiasów i redukcji wyrazów podobnych w klasie 8 (8.EE.C.7).

Praktyczne wskazówki do rozwiązywania równań

Zapisywanie każdego kroku w osobnej linijce to najbardziej przydatny nawyk. Trzymaj znaki równości jeden pod drugim i zapisuj działanie, które wykonujesz, obok obu stron, a błąd będzie widać w linijce, w której się pojawił.

• Pary działań odwrotnych: dodawanie cofa odejmowanie, mnożenie cofa dzielenie, a każda para działa w obie strony.
• Ujemne współczynniki: w 7 − 2x = 13 odejmij 7, żeby dostać −2x = 6, potem podziel przez −2: x = −3. Sprawdzenie: 7 − 2 × (−3) = 7 + 6 = 13. Zasady dzielenia przez liczbę ujemną są w poradniku o liczbach ujemnych.
• Jeden wynik: równanie z jednym wyrazem z x po jednej stronie ma dokładnie jedno rozwiązanie, więc drugi „wynik” znaczy, że gdzieś jest pomyłka.

Ułamki i zadania z życia

Równanie, w którym x jest podzielone przez liczbę, rozwiązuje się mnożeniem. Jeśli czworo przyjaciół dzieli rachunek za lody i każde płaci 9 zł, rachunek to x/4 = 9, a pomnożenie obu stron przez 4 daje x = 36 zł. Takie równania są blisko proporcji, które omawia poradnik o stosunkach.

Dorośli spotykają równania dwukrokowe na co dzień częściej, niż zauważają. Taksówka bierze 8 zł za start i 3 zł za kilometr, a kurs kosztował 32 zł: 3k + 8 = 32, więc 3k = 24 i k = 8 km.

Abonament telefoniczny kosztuje 25 zł miesięcznie plus 40 zł za aktywację, a zapłaciłeś łącznie 190 zł: 25m + 40 = 190, więc 25m = 150 i m = 6 miesięcy. Zamiana zdania na równanie to osobna umiejętność, a poradnik o zadaniach tekstowych pokazuje, jak to robić.

Jak sprawdzić postępy z równaniami

Postępy z równaniami widać w pięciu sygnałach, które sprawdzisz w kilka minut, czy jesteś rodzicem przy zadaniu domowym, czy dorosłym, który wraca do algebry.

• Podstawienie: Czy uczący się sprawdza każdy wynik bez przypominania? Standard Common Core 6.EE.B.5 prosi uczniów, żeby przez podstawienie sprawdzali, czy dana liczba spełnia równanie albo nierówność.
• Pierwszy ruch: Przy 6x + 4 = 40, czy powie „odejmij 4”, zanim cokolwiek zapisze? Wynik to x = 6.
• Obie strony: Czy w każdej linijce to samo działanie stoi po obu stronach?
• Nawiasy: Czy rozwiąże 3(x + 2) = 21 na dwa sposoby? Dzielenie najpierw daje x + 2 = 7, opuszczenie nawiasu daje 3x + 6 = 21, a oba kończą się na x = 5.
• Ze słów do równania: Czy zapisze i rozwiąże „5 zeszytów i długopis za 4 zł kosztują 29 zł”? Równanie to 5n + 4 = 29, więc n = 5 zł.

Pięciominutowy test

Pięciominutowy test z jednym równaniem z każdego wiersza tabeli pokazuje, który rodzaj trzeba ćwiczyć. Ktoś, kto rozwiązuje równania jednokrokowe, ale myli się w 5x − 2 = 3x + 10, potrzebuje kroku 2, czyli zbierania x po jednej stronie. Ktoś, kto zatrzymuje się na 4x = 28, potrzebuje tabliczki dzielenia, a gra z brakującym czynnikiem szybko ją ćwiczy.

Zagraj za darmo w przeglądarceBrakujący czynnikKlasa 3–4

Typowe błędy i przypadki szczególne

Cztery błędy odpowiadają za większość złych wyników przy rozwiązywaniu równań, a każdy ma szybkie lekarstwo.

• Mnożenie tylko pierwszego wyrazu w nawiasie: 2(x − 4) to 2x − 8, a nie 2x − 4. Narysuj strzałkę od 2 do każdego wyrazu w nawiasie.
• Dzielenie przed odejmowaniem: w 3x + 5 = 41 dzielenie na początku znaczy dzielenie każdego wyrazu, także 5, co daje ułamki. Najpierw cofnij dodawanie i odejmowanie.
• Odrzucanie ujemnego wyniku: 4x + 20 = 8 daje 4x = −12 i x = −3. Ujemny wynik jest w porządku, a sprawdzenie 4 × (−3) + 20 = 8 to potwierdza.
• Zmiana znaku przy dzieleniu: −3x = 15 daje x = −5, bo 15 : (−3) = −5. Zmiana kierunku znaku, którą być może pamiętasz, dotyczy nierówności, a nie równań.

Gdy x znika: brak rozwiązań albo nieskończenie wiele

Niektóre równania tracą x całkowicie, a linijka, która zostaje, mówi, jaki jest wynik. Standard Common Core 8.EE.C.7a prosi uczniów, żeby przekształcali równanie w coraz prostsze postacie, aż dojdą do x = a, a = a albo a = b.

W 2x + 1 = 2x + 3 odjęcie 2x od obu stron zostawia 1 = 3, co jest fałszem, więc równanie nie ma rozwiązań. W 2(x + 1) = 2x + 2 opuszczenie nawiasu daje 2x + 2 = 2x + 2, a odjęcie 2x zostawia 2 = 2, co jest zawsze prawdą, więc rozwiązaniem jest każda liczba.

Twoja lista kontrolna równań i następne kroki

• Uprość: opuść nawiasy i zredukuj wyrazy podobne po każdej stronie.
• Zbierz: przenieś każdy wyraz z x na jedną stronę, najlepiej tę z większym współczynnikiem.
• Cofnij + i −: dodaj albo odejmij tę samą liczbę po obu stronach.
• Cofnij × i : podziel albo pomnóż obie strony przez liczbę stojącą przy x.
• Sprawdź: podstaw do równania wyjściowego i porównaj obie strony.
• Przypadki szczególne: fałszywa linijka, taka jak 1 = 3, znaczy brak rozwiązań, a prawdziwa, taka jak 2 = 2, znaczy nieskończenie wiele.

Darmowa gra w rozwiązywanie równań podaje w przeglądarce równania jednokrokowe, takie jak x + 7 = 15, bez rejestracji, a ty wpisujesz wartość x. Dorośli, którzy odbudowują matematykę, mogą iść za planem z poradnika jak poprawić matematykę jako dorosły albo spróbować gry matematycznej dla dorosłych.

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier, adaptacyjnym poziomem trudności, codziennymi ćwiczeniami i pojedynkami na żywo dla 2–5 graczy, w 33 językach.