Slik finner du x: likninger med ett steg, to steg og x på begge sider

Tre tegneseriehefter på loppemarkedet pluss en pose til 5 kr kostet 41 kr, og du vil vite hva ett hefte kostet. Den setningen er likningen 3x + 5 = 41, og når du kan løse likninger, blir den en utregning på to linjer: trekk fra posen, og del resten på tre, så ett hefte kostet 12 kr. De samme grepene løser hver lineære likning en elev på mellomtrinnet eller ungdomsskolen tar med hjem, fra likninger med ett og to steg til likninger med x på begge sider.

Hva betyr det å «finne x»?

Å finne x betyr å finne tallet som gjør begge sidene av en likning like store. I x + 7 = 15 er svaret 8, fordi 8 + 7 er 15, og ingen andre tall gir 15. OpenStax Prealgebra definerer en løsning som «en verdi av en variabel som gir et sant utsagn når den settes inn i likningen».

En skålvekt er det tydeligste bildet av en likning. Den venstre skålen har 3x + 2, den høyre har 14, og vekten er i balanse fordi de to sidene veier like mye. Hver eske merket x skjuler det samme ukjente antallet klosser.

Ta 2 klosser ut av hver skål, og vekten holder seg i balanse: tre esker veier like mye som 12 klosser. Del begge skålene i tre like grupper, og én eske veier like mye som 4 klosser, så x = 4. Sett prøve: 3 × 4 + 2 = 14.

De to jobbene: oppheve og holde balansen

Å løse en likning handler om to jobber. Den første jobben er å oppheve det som er gjort med x, i motsatt rekkefølge. I 3x + 5 ble x ganget med 3, og så ble 5 lagt til, så du fjerner 5 først og 3 etterpå, som er regnerekkefølgen kjørt baklengs.

Den andre jobben er å holde balansen. OpenStax skriver det som likhetens subtraksjonsregel: «For alle tall a, b og c gjelder at hvis a = b, er a − c = b − c.» Det samme gjelder for å legge til, gange og dele med et tall som ikke er null, så det du gjør på den ene siden, gjør du på den andre.

Slik løser du likninger, steg for steg

Fem steg løser enhver lineær likning med én ukjent. Korte likninger hopper over noen av dem, men rekkefølgen endrer seg aldri.

1. Forenkle hver side. Løs opp parenteser og trekk sammen like ledd på hver side for seg, så 2(x − 4) blir 2x − 8.
2. Samle x-leddene på én side. Legg til eller trekk fra et x-ledd på begge sider til x står på bare én side. OpenStax foreslår å beholde x på siden med den største koeffisienten, som oftest gjør regningen lettere.
3. Opphev addisjon og subtraksjon. Trekk fra et tall som er lagt til x-leddet, eller legg til et tall som er trukket fra, på begge sider.
4. Opphev multiplikasjon og divisjon. Del begge sider på tallet foran x, eller gang begge sider hvis x er delt på noe.
5. Sett prøve. Sett svaret inn i den opprinnelige likningen og regn ut hver side. Stemmer de, er du ferdig.

Her er loppemarkedsoppgaven med stegene merket:

• 3x + 5 = 41 (ingenting å forenkle, og x står allerede på én side)
• 3x = 36 (steg 3: trekk fra 5 på begge sider)
• x = 12 (steg 4: del begge sider på 3)
• Prøve: 3 × 12 + 5 = 36 + 5 = 41

En likning med parentes bruker steg 1. For 2(x − 4) = 10 løser du opp til 2x − 8 = 10, legger til 8 på begge sider og får 2x = 18, og deler på 2 og får x = 9. Prøve: 2 × (9 − 4) = 2 × 5 = 10.

Du kan også dele begge sider på 2 først, som gir x − 4 = 5 og den samme x = 9. IES-veilederen for algebralærere anbefaler å lære elevene å «bevisst velge mellom ulike algebraiske strategier», og å sammenligne disse to veiene er et lite eksempel på det valget.

Spill gratis i nettleserenLøs for x6. trinn+

Delen mange gjør feil

De fleste gale svarene kommer av å gjøre et steg på bare én side. Trekker du 5 fra venstre side av 3x + 5 = 41 og lar 41 stå, får du 3x = 41 og x = 41 : 3, et svar som ikke består prøven. Skriv regneoperasjonen under begge sidene hver gang til vanen sitter.

Fortegnsfeil er den andre fella. I 5x − 2 = 3x + 10 hører −2 til venstre side, så du legger til 2 på begge sider; trekker du fra i stedet, får du 2x = 8 og x = 4, og prøven viser 18 på venstre side mot 22 på høyre.

Likninger med ett steg, to steg og x på begge sider

Lineære likninger kommer i tre vanlige former, og formen forteller deg det første grepet. Svaret i hver rad i tabellen er kontrollert med prøve.

Raden med x på begge sider i sin helhet: 5x − 2 = 3x + 10 blir 2x − 2 = 10, så 2x = 12, så x = 6. Prøven gir 5 × 6 − 2 = 28 og 3 × 6 + 10 = 28.

Hvilken type som kommer på hvilket trinn

I Norge skal eleven etter 5. trinn kunne «bruke tall, tekst, tegning og konkreter til å løse ligninger og teste og forklare løsninger», ifølge kompetansemålene etter 5. trinn i LK20. Etter 7. trinn skal eleven «bruke ulike strategier for å løse ligninger og vurdere om løsninger er gyldige», og etter 8. trinn «lage og løse ligninger knyttet til praktiske situasjoner og kritisk vurdere løsninger». Læreplanen skriver «ligning», og «likning» er den andre godkjente skrivemåten.

I USA kommer likninger med ett steg i sjette skoleår, likninger med to steg i sjuende og x på begge sider i åttende, etter Common Core. Standard 6.EE.B.7 ber elevene løse oppgaver «ved å skrive og løse likninger av formen x + p = q og px = q» (Common Core State Standards for Mathematics).

Standard 7.EE.B.4a går videre til likninger med to steg av formen «px + q = r og p(x + q) = r». Standard 8.EE.C.7 dekker lineære likninger med én ukjent, også de som krever å «løse opp uttrykk med den distributive loven og trekke sammen like ledd», og det er der x på begge sider dukker opp.

Praktiske tips for å løse likninger

Å skrive hvert steg på sin egen linje er den nyttigste vanen. Hold likhetstegnene under hverandre og skriv regneoperasjonen du bruker ved siden av begge sidene, så en feil blir synlig på linjen der den skjedde.

• Motsatte par: addisjon opphever subtraksjon, multiplikasjon opphever divisjon, og hvert par virker begge veier.
• Negative koeffisienter: i 7 − 2x = 13 trekker du fra 7 og får −2x = 6, og deler på −2 og får x = −3. Prøve: 7 − 2 × (−3) = 7 + 6 = 13. Reglene for å dele med et negativt tall står i guiden om negative tall.
• Ett svar: en likning med ett x-ledd på én side har nøyaktig ett svar, så et andre «svar» betyr en glipp et sted.

Brøker og hverdagsoppgaver

En likning der x er delt på et tall, løser du ved å gange. Deler fire venner en regning og hver betaler 90 kr, er regningen x/4 = 90, og ganger du begge sider med 4, får du x = 360 kr. Likninger som denne ligger nær proporsjoner, som guiden om forhold dekker.

Voksne møter likninger med to steg i hverdagen oftere enn de legger merke til. En drosje koster 50 kr i startpris pluss 20 kr per kilometer, og turen kostet 210 kr: 20k + 50 = 210, så 20k = 160 og k = 8 km.

Et mobilabonnement koster 250 kr i måneden pluss 400 kr i etableringsgebyr, og du har betalt 1 900 kr til sammen: 250m + 400 = 1 900, så 250m = 1 500 og m = 6 måneder. Å gjøre en setning om til en likning er en egen ferdighet, og guiden om tekstoppgaver i matte viser hvordan.

Slik sjekker du framgangen med likninger

Framgang med likninger viser seg i fem tegn du kan teste på noen minutter, enten du er en forelder som ser over lekser eller en voksen som lærer algebra på nytt.

• Prøve: Setter eleven prøve på hvert svar uten å bli bedt om det? Common Core-standarden 6.EE.B.5 ber elevene «bruke innsetting til å avgjøre om et gitt tall i en bestemt mengde gjør en likning eller ulikhet sann».
• Første grep: Gitt 6x + 4 = 40, kan eleven si «trekk fra 4» før noe er skrevet? Svaret er x = 6.
• Begge sider: Viser hver linje den samme regneoperasjonen på begge sider?
• Parenteser: Kan eleven løse 3(x + 2) = 21 på to måter? Å dele først gir x + 2 = 7, å løse opp gir 3x + 6 = 21, og begge ender i x = 5.
• Fra ord til likning: Kan eleven skrive og løse «5 skrivebøker og en penn til 40 kr kostet 290 kr»? Likningen er 5n + 40 = 290, så 5n = 250 og n = 50 kr.

En test på fem minutter

En test på fem minutter med én likning fra hver rad i tabellen forteller deg hvilken type som trenger øving. En elev som løser radene med ett steg, men bommer på 5x − 2 = 3x + 10, trenger steg 2, å samle x på én side. En elev som står fast på 4x = 28, trenger divisjonsfaktaene, og spillet med den manglende faktoren driller dem raskt.

Spill gratis i nettleserenManglende faktor3.–4. trinn

Vanlige feil og spesialtilfeller

Fire feil står bak de fleste gale svarene når du løser likninger, og hver av dem har en rask løsning.

• Å gange bare det første leddet: 2(x − 4) er 2x − 8, ikke 2x − 4. Tegn en pil fra 2 til hvert ledd inni parentesen.
• Å dele før du trekker fra: i 3x + 5 = 41 betyr det å dele først at du må dele hvert ledd, også 5, og det gir brøker. Opphev addisjon og subtraksjon først.
• Å forkaste et negativt svar: 4x + 20 = 8 gir 4x = −12 og x = −3. Et negativt svar er helt i orden, og prøven 4 × (−3) + 20 = 8 bekrefter det.
• Å snu et tegn når du deler: −3x = 15 gir x = −5, fordi 15 : (−3) = −5. Tegnet du kanskje husker at skal snus, hører til ulikheter, ikke likninger.

Når x forsvinner: ingen løsning eller uendelig mange

Noen likninger mister x helt, og linjen som står igjen, gir deg svaret. Common Core-standarden 8.EE.C.7a ber elevene vise hvilket tilfelle som gjelder, «ved å gjøre om den gitte likningen trinn for trinn til enklere former, til det står igjen en likeverdig likning av formen x = a, a = a eller a = b».

I 2x + 1 = 2x + 3 gir det å trekke fra 2x på begge sider 1 = 3, som er usant, så likningen har ingen løsning. I 2(x + 1) = 2x + 2 gir oppløsningen 2x + 2 = 2x + 2, og trekker du fra 2x, står 2 = 2 igjen, som alltid er sant, så hvert tall er en løsning.

Sjekklisten din for likninger, og neste steg

• Forenkle: løs opp parenteser og trekk sammen like ledd på hver side.
• Samle: flytt hvert x-ledd til én side, helst siden med den største koeffisienten.
• Opphev + og −: legg til eller trekk fra det samme tallet på begge sider.
• Opphev × og : del eller gang begge sider med tallet som hører til x.
• Prøve: sett inn i den opprinnelige likningen og sammenlign begge sidene.
• Spesialtilfeller: en usann linje som 1 = 3 betyr ingen løsning, og en sann linje som 2 = 2 betyr uendelig mange.

Det gratis spillet der du finner x gir likninger med ett steg som x + 7 = 15 i nettleseren uten innlogging, og du skriver inn verdien av x. Voksne som bygger opp matten igjen, kan følge planen i hvordan du blir bedre i matte som voksen eller prøve mattespill for voksne.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad, daglig øving og sanntidsdueller for 2–5 spillere, på 33 språk.