Ekvationer: så löser du ut x i ett eller två steg och med x på båda sidor

Tre pinnglassar och en påse för 5 kr kostade 41 kr, och du vill veta vad en glass kostade. Den meningen är ekvationen 3x + 5 = 41, och när du kan lösa ekvationer blir den en uträkning på två rader: ta bort påsen och dela det som är kvar på tre, så en glass kostade 12 kr. Samma drag löser varje linjär ekvation som ett barn i årskurs 6 till 9 tar med sig hem, från ekvationer i ett och två steg till ekvationer med x på båda sidor.

Vad betyder det att lösa ut x?

Att lösa ut x betyder att hitta det tal som gör ekvationens båda sidor lika. I x + 7 = 15 är svaret 8, eftersom 8 + 7 är 15 och inget annat tal ger 15. OpenStax Prealgebra definierar en lösning som ett värde på en variabel som ger ett sant påstående när det sätts in i ekvationen.

En balansvåg är den tydligaste bilden av en ekvation. Den vänstra vågskålen har 3x + 2, den högra har 14, och vågen är i jämvikt eftersom de två sidorna väger lika mycket. Varje ask märkt x döljer samma okända antal klossar.

Ta bort 2 klossar från varje vågskål så är vågen fortfarande i jämvikt: tre askar väger lika mycket som 12 klossar. Dela båda vågskålarna i tre lika grupper så väger en ask lika mycket som 4 klossar, alltså x = 4. Pröva: 3 × 4 + 2 = 14.

De två uppgifterna: ta bort och håll balansen

Att lösa en ekvation handlar om två uppgifter. Den första är att ta bort det som har gjorts med x, i omvänd ordning. I 3x + 5 multiplicerades x med 3 och sedan adderades 5, så du tar bort 5:an först och 3:an sedan, vilket är prioriteringsreglerna körda baklänges.

Den andra uppgiften är att hålla balansen. OpenStax formulerar det som en egenskap hos likheter: för alla tal a, b och c gäller att om a = b så är a − c = b − c. Detsamma gäller för att addera, multiplicera och dividera med ett tal som inte är noll, så det du gör med ena sidan gör du med den andra.

Så löser du ekvationer, steg för steg

Fem steg löser varje linjär ekvation med en obekant. Korta ekvationer hoppar över några av dem, men ordningen ändras aldrig.

1. Förenkla varje sida. Multiplicera in i parenteser och slå ihop termer av samma sort på varje sida för sig, så att 2(x − 4) blir 2x − 8.
2. Samla x-termerna på ena sidan. Addera eller subtrahera en x-term på båda sidor tills x bara finns på en sida. OpenStax föreslår att du behåller x på sidan med den större koefficienten, vilket oftast gör räkningen enklare.
3. Ta bort addition och subtraktion. Subtrahera ett tal som har adderats till x-termen, eller addera ett tal som har subtraherats, på båda sidor.
4. Ta bort multiplikation och division. Dividera båda sidor med talet framför x, eller multiplicera båda sidor om x är delat med något.
5. Pröva genom att sätta in svaret. Sätt in svaret i den ursprungliga ekvationen och räkna ut varje sida. Om de stämmer är du klar.

Så här ser glassproblemet ut med stegen markerade:

• 3x + 5 = 41 (inget att förenkla, och x finns redan på en sida)
• 3x = 36 (steg 3: subtrahera 5 från båda sidor)
• x = 12 (steg 4: dividera båda sidor med 3)
• Prövning: 3 × 12 + 5 = 36 + 5 = 41

En ekvation med parentes använder steg 1. För 2(x − 4) = 10 multiplicerar du in och får 2x − 8 = 10, adderar 8 till båda sidor och får 2x = 18 och dividerar med 2 och får x = 9. Prövning: 2 × (9 − 4) = 2 × 5 = 10.

Du kan också dividera båda sidor med 2 först, vilket ger x − 4 = 5 och samma x = 9. IES vägledning för lärare i algebra rekommenderar att eleverna lär sig att medvetet välja mellan olika algebraiska strategier, och att jämföra de här två vägarna är ett litet exempel på det valet.

Spela gratis i webbläsarenLös ut xÅk 6+

Det många gör fel

De flesta felsvar kommer av att ett steg görs på bara en sida. Om du subtraherar 5 från vänster sida i 3x + 5 = 41 och låter 41 vara, får du 3x = 41 och x = 41 : 3, ett svar som inte klarar prövningen. Skriv räkneoperationen under båda sidor varje gång tills vanan sitter.

Teckenfel är den andra fällan. I 5x − 2 = 3x + 10 hör −2 till vänster sida, så du adderar 2 till båda sidor; att subtrahera i stället ger 2x = 8 och x = 4, och prövningen visar 18 till vänster mot 22 till höger.

Ekvationer i ett steg, i två steg och med x på båda sidor

Linjära ekvationer har tre vanliga former, och formen säger vilket drag som kommer först. Svaret på varje rad i jämförelsen är prövat genom insättning.

Raden med x på båda sidor i sin helhet: 5x − 2 = 3x + 10 blir 2x − 2 = 10, sedan 2x = 12 och sedan x = 6. Prövningen ger 5 × 6 − 2 = 28 och 3 × 6 + 10 = 28.

Vilken typ som kommer i vilken årskurs

I Sverige börjar det redan i lågstadiet. Kursplanen i matematik i Lgr22 tar upp obekanta tal och hur de kan betecknas med en symbol i årskurs 1–3, metoder, däribland algebraiska, för att lösa enkla ekvationer i årskurs 4–6 och metoder för att lösa linjära ekvationer och enkla andragradsekvationer i årskurs 7–9.

I USA kommer ekvationer i ett steg i årskurs 6, ekvationer i två steg i årskurs 7 och x på båda sidor i årskurs 8 enligt Common Core. Standarden 6.EE.B.7 för årskurs 6 ber eleverna lösa problem genom att ställa upp och lösa ekvationer av formen x + p = q och px = q (Common Core State Standards for Mathematics).

Standarden 7.EE.B.4a för årskurs 7 går vidare till ekvationer i två steg av formen px + q = r och p(x + q) = r. Standarden 8.EE.C.7 för årskurs 8 tar upp linjära ekvationer med en obekant, även sådana där man måste multiplicera in med distributiva lagen och slå ihop termer av samma sort, och det är där x på båda sidor dyker upp.

Praktiska tips för att lösa ekvationer

Att skriva varje steg på en egen rad är den nyttigaste vanan. Håll likhetstecknen under varandra och skriv räkneoperationen du använder bredvid båda sidor, så att ett fel syns på den rad där det uppstod.

• Motsatta par: addition tar bort subtraktion, multiplikation tar bort division, och varje par fungerar åt båda hållen.
• Negativa koefficienter: i 7 − 2x = 13 subtraherar du 7 och får −2x = 6, och dividerar sedan med −2 och får x = −3. Prövning: 7 − 2 × (−3) = 7 + 6 = 13. Reglerna för division med ett negativt tal finns i guiden om negativa tal.
• Ett svar: en ekvation med en x-term på ena sidan har exakt ett svar, så ett andra ”svar” betyder ett fel någonstans.

Bråk och vardagsproblem

En ekvation där x delas med ett tal löser du genom att multiplicera. Om fyra vänner delar på en notan och var och en betalar 90 kr är notan x/4 = 90, och när båda sidor multipliceras med 4 blir x = 360 kr. Sådana ekvationer ligger nära proportioner, som guiden om förhållanden tar upp.

Vuxna möter ekvationer i två steg i vardagen oftare än de märker. En taxi tar 45 kr i startavgift plus 15 kr per kilometer och resan kostade 240 kr: 15k + 45 = 240, så 15k = 195 och k = 13 kilometer.

Ett mobilabonnemang kostar 250 kr i månaden plus 400 kr i startavgift och du har betalat 1 900 kr totalt: 250m + 400 = 1 900, så 250m = 1 500 och m = 6 månader. Att göra om en mening till en ekvation är en egen färdighet, och guiden om textuppgifter i matte visar hur.

Så kontrollerar du framstegen med ekvationer

Framstegen med ekvationer syns i fem signaler som du kan testa på några minuter, oavsett om du är förälder som tittar på läxan eller vuxen som lär dig algebra igen.

• Insättning: Prövar eleven varje svar utan att bli tillsagd? Common Core-standarden 6.EE.B.5 ber eleverna använda insättning för att avgöra om ett givet tal gör en ekvation eller olikhet sann.
• Första draget: Kan eleven säga ”subtrahera 4” för 6x + 4 = 40 innan något skrivs? Svaret är x = 6.
• Båda sidor: Visar varje rad samma räkneoperation på båda sidor?
• Parenteser: Kan eleven lösa 3(x + 2) = 21 på två sätt? Att dividera först ger x + 2 = 7, att multiplicera in ger 3x + 6 = 21, och båda slutar med x = 5.
• Från ord till ekvation: Kan eleven ställa upp och lösa ”5 anteckningsböcker och en penna för 15 kr kostar 115 kr”? Ekvationen är 5n + 15 = 115, så n = 20 kr.

Ett test på fem minuter

Ett test på fem minuter med en ekvation från varje rad i jämförelsen visar vilken typ som behöver övas. Den som löser raderna med ett steg men missar 5x − 2 = 3x + 10 behöver steg 2, att samla x på ena sidan. Den som fastnar på 4x = 28 behöver divisionsfakta, och spelet med den saknade faktorn drillar dem snabbt.

Spela gratis i webbläsarenSaknad faktorÅk 3–4

Vanliga fel och gränsfall

Fyra fel orsakar de flesta felsvaren när du löser ut x, och vart och ett har en snabb fix.

• Att bara multiplicera in i första termen: 2(x − 4) är 2x − 8, inte 2x − 4. Rita en pil från 2:an till varje term inom parentesen.
• Att dividera före subtraktionen: i 3x + 5 = 41 betyder division först att varje term måste divideras, 5:an också, vilket ger bråk. Ta bort addition och subtraktion först.
• Att tappa ett negativt svar: 4x + 20 = 8 ger 4x = −12 och x = −3. Ett negativt svar är helt i sin ordning, och prövningen 4 × (−3) + 20 = 8 bekräftar det.
• Att byta tecken vid division: −3x = 15 ger x = −5, eftersom 15 : (−3) = −5. Teckenbytet du kanske minns hör till olikheter, inte ekvationer.

När x försvinner: ingen lösning eller oändligt många

Vissa ekvationer tappar sitt x helt, och raden som blir kvar ger svaret. Common Core-standarden 8.EE.C.7a ber eleverna visa vilket fall som gäller genom att steg för steg skriva om ekvationen i enklare former tills en likvärdig ekvation av formen x = a, a = a eller a = b återstår.

I 2x + 1 = 2x + 3 lämnar subtraktion av 2x från båda sidor 1 = 3, vilket är falskt, så ekvationen saknar lösning. I 2(x + 1) = 2x + 2 ger inmultiplicering 2x + 2 = 2x + 2, och subtraktion av 2x lämnar 2 = 2, vilket alltid är sant, så varje tal är en lösning.

Din checklista för ekvationer och nästa steg

• Förenkla: multiplicera in i parenteser och slå ihop termer av samma sort på varje sida.
• Samla: flytta varje x-term till samma sida, helst sidan med den större koefficienten.
• Ta bort + och −: addera eller subtrahera samma tal på båda sidor.
• Ta bort × och : dividera eller multiplicera båda sidor med talet som hör till x.
• Pröva: sätt in svaret i den ursprungliga ekvationen och jämför sidorna.
• Gränsfall: en falsk rad som 1 = 3 betyder ingen lösning, och en sann rad som 2 = 2 betyder oändligt många.

Det kostnadsfria spelet där du löser ut x ger ekvationer i ett steg som x + 7 = 15 i webbläsaren utan konto, och du skriver in värdet på x. Vuxna som bygger upp sin matte igen kan följa planen i så blir du bättre på matte som vuxen eller pröva mattespel för vuxna.

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad, daglig övning och realtidsdueller för 2–5 spelare, på 33 språk.