Comment résoudre une équation et trouver x : une étape, deux étapes et x des deux côtés

Trois places de concert plus 5 € de frais de réservation ont coûté 41 €, et vous voulez savoir le prix d'une place. Cette phrase, c'est l'équation 3x + 5 = 41, et savoir résoudre une équation la transforme en calcul de deux lignes : on retire les frais, puis on partage le reste en trois, donc une place coûtait 12 €. Les mêmes gestes résolvent toutes les équations du premier degré qu'un élève de 5e ou de 4e rapporte à la maison, des équations à une ou deux étapes jusqu'aux équations avec x des deux côtés.

Que veut dire « trouver x » ?

Trouver x, c'est trouver le nombre qui rend les deux membres d'une équation égaux. Dans x + 7 = 15, la solution est 8, car 8 + 7 fait 15 et aucun autre nombre ne donne 15. OpenStax Prealgebra définit une solution comme une valeur de la variable qui rend l'égalité vraie quand on la remplace dans l'équation.

Une balance est l'image la plus claire d'une équation. Le plateau de gauche porte 3x + 2, celui de droite porte 14, et la balance est en équilibre parce que les deux côtés pèsent autant. Chaque boîte marquée x cache le même nombre inconnu de cubes.

Retirez 2 cubes de chaque plateau et la balance reste en équilibre : trois boîtes équilibrent 12 cubes. Partagez les deux plateaux en trois groupes égaux et une boîte équilibre 4 cubes, donc x = 4. Vérifiez : 3 × 4 + 2 = 14.

Les deux tâches : défaire et garder l'équilibre

Résoudre une équation revient à deux tâches. La première consiste à défaire ce qu'on a fait à x, dans l'ordre inverse. Dans 3x + 5, x a été multiplié par 3, puis on a ajouté 5, donc on retire d'abord le 5, puis le 3 : ce sont les priorités opératoires prises à l'envers.

La seconde tâche consiste à garder l'équilibre. OpenStax l'énonce comme la propriété de soustraction de l'égalité : pour tous nombres a, b et c, si a = b, alors a − c = b − c. C'est vrai aussi pour l'addition, la multiplication et la division par un nombre non nul, donc tout ce que vous faites d'un côté, vous le faites de l'autre. La formule d'école « on fait passer de l'autre côté en changeant de signe » est un raccourci de cette règle.

Comment résoudre une équation, étape par étape

Cinq étapes résolvent n'importe quelle équation du premier degré à une inconnue. Les équations courtes en sautent certaines, mais l'ordre ne change jamais.

1. Simplifiez chaque membre. Développez les parenthèses et réduisez les termes semblables de chaque côté séparément, donc 2(x − 4) devient 2x − 8.
2. Regroupez les termes en x d'un même côté. Ajoutez ou soustrayez un terme en x des deux côtés jusqu'à ce que x n'apparaisse plus que d'un côté. OpenStax conseille de garder x du côté où il a le plus grand coefficient, ce qui simplifie en général les calculs.
3. Défaites l'addition et la soustraction. Soustrayez des deux côtés le nombre ajouté au terme en x, ou ajoutez le nombre soustrait.
4. Défaites la multiplication et la division. Divisez les deux côtés par le nombre devant x, ou multipliez les deux côtés si x est divisé par un nombre.
5. Vérifiez en remplaçant. Remettez la solution dans l'équation de départ et calculez chaque membre. S'ils sont égaux, c'est terminé.

Voici le problème des places de concert, étapes indiquées :

• 3x + 5 = 41 (rien à simplifier, et x n'est que d'un côté)
• 3x = 36 (étape 3 : soustraire 5 des deux côtés)
• x = 12 (étape 4 : diviser les deux côtés par 3)
• Vérification : 3 × 12 + 5 = 36 + 5 = 41

Une équation avec parenthèses utilise l'étape 1. Pour 2(x − 4) = 10, on développe en 2x − 8 = 10, on ajoute 8 des deux côtés pour obtenir 2x = 18, et on divise par 2 pour obtenir x = 9. Vérification : 2 × (9 − 4) = 2 × 5 = 10.

On peut aussi diviser d'abord les deux côtés par 2, ce qui donne x − 4 = 5 et le même x = 9. Le guide de pratiques de l'IES pour les professeurs d'algèbre recommande d'apprendre aux élèves à choisir délibérément entre plusieurs stratégies algébriques, et comparer ces deux chemins en est un petit exemple.

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L'erreur la plus fréquente

La plupart des mauvaises réponses viennent d'une étape faite d'un seul côté. Si vous soustrayez 5 à gauche dans 3x + 5 = 41 sans toucher au 41, vous obtenez 3x = 41 et x = 41 : 3, une réponse qui échoue à la vérification. Écrivez l'opération sous les deux membres à chaque fois, jusqu'à ce que l'habitude s'installe.

Les erreurs de signe sont le deuxième piège. Dans 5x − 2 = 3x + 10, le −2 appartient au membre de gauche, donc on ajoute 2 des deux côtés ; le soustraire donne 2x = 8 et x = 4, et la vérification montre 18 à gauche contre 22 à droite.

Équations à une étape, à deux étapes et avec x des deux côtés

Les équations du premier degré prennent trois formes courantes, et la forme indique le premier geste. La solution de chaque ligne du tableau a été vérifiée en remplaçant.

La ligne « x des deux côtés » en entier : 5x − 2 = 3x + 10 devient 2x − 2 = 10, puis 2x = 12, puis x = 6. La vérification donne 5 × 6 − 2 = 28 et 3 × 6 + 10 = 28.

Quel type à quelle classe

En France, les équations à une étape arrivent en 5e, celles à deux étapes et avec x des deux côtés en 4e. Le programme de mathématiques du cycle 4 demande en 5e de « donner à la lettre le statut d'inconnue » et de « résoudre des équations du type ax = c ou x + b = c par des méthodes arithmétiques s'appuyant sur les opérations inverses ». En 4e, il demande de « résoudre une équation du premier degré du type ax + b = c » et de mettre en équation un problème du type « ax + b = cx + d ».

Le travail commence bien avant la lettre : dès le CM1, le programme du cycle 3 fait chercher le nombre manquant dans une égalité à trous comme « 178 – … = 6 × 8 », ce qui fait « poindre la notion d'équation ». Aux États-Unis, les standards Common Core suivent le même ordre, du grade 6 (6.EE.B.7, l'équivalent de la 6e) au grade 8 (8.EE.C.7, l'équivalent de la 4e).

Conseils pratiques pour résoudre une équation

Écrire chaque étape sur sa propre ligne est l'habitude la plus utile. Alignez les signes égal et écrivez l'opération appliquée à côté des deux membres, pour qu'une erreur se voie à la ligne où elle s'est produite.

• Paires inverses : l'addition défait la soustraction, la multiplication défait la division, et chaque paire marche dans les deux sens.
• Coefficients négatifs : dans 7 − 2x = 13, soustrayez 7 pour obtenir −2x = 6, puis divisez par −2 pour obtenir x = −3. Vérification : 7 − 2 × (−3) = 7 + 6 = 13. Les règles de division par un nombre négatif sont dans le guide sur les nombres négatifs.
• Une seule solution : une équation avec un seul terme en x d'un seul côté a exactement une solution, donc une deuxième « solution » signale une erreur quelque part.

Fractions et problèmes de la vie courante

Une équation où x est divisé par un nombre se résout en multipliant. Si quatre amis partagent l'addition et que chacun paie 9 €, l'addition vérifie x/4 = 9, et multiplier les deux côtés par 4 donne x = 36 €. Ce type d'équation est proche de la proportionnalité, traitée dans le guide sur les ratios.

Les adultes rencontrent des équations à deux étapes plus souvent qu'ils ne le pensent. Un taxi facture 3 € de prise en charge plus 2 € par kilomètre, et la course a coûté 19 € : 2k + 3 = 19, donc 2k = 16 et k = 8 kilomètres.

Un forfait téléphonique coûte 25 € par mois plus 40 € de frais d'ouverture, et vous avez payé 190 € au total : 25m + 40 = 190, donc 25m = 150 et m = 6 mois. Traduire une phrase en équation est une compétence à part, et le guide pour résoudre un problème de maths montre comment faire.

Comment vérifier vos progrès sur les équations

Les progrès sur les équations se voient à cinq signaux que vous pouvez tester en quelques minutes, que vous soyez un parent qui vérifie les devoirs ou un adulte qui réapprend l'algèbre.

• Remplacement : l'élève vérifie-t-il chaque solution sans qu'on le lui demande ? Le programme de 4e cite parmi les automatismes « tester si un nombre vérifie une égalité ».
• Premier geste : devant 6x + 4 = 40, peut-il dire « soustraire 4 » avant d'écrire quoi que ce soit ? La solution est x = 6.
• Les deux côtés : chaque ligne montre-t-elle la même opération appliquée des deux côtés ?
• Parenthèses : peut-il résoudre 3(x + 2) = 21 de deux façons ? Diviser d'abord donne x + 2 = 7, développer donne 3x + 6 = 21, et les deux mènent à x = 5.
• Des mots à l'équation : peut-il écrire et résoudre « 5 cahiers et un stylo à 4 € coûtent 29 € » ? L'équation est 5n + 4 = 29, donc n = 5 €.

Un test de cinq minutes

Un test de cinq minutes avec une équation de chaque ligne du tableau vous dit quel type travailler. Un élève qui réussit les lignes à une étape mais rate 5x − 2 = 3x + 10 a besoin de l'étape 2, regrouper les x d'un côté. Un élève bloqué sur 4x = 28 a besoin de ses résultats de division, et le jeu du facteur manquant les entraîne rapidement.

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Erreurs fréquentes et cas particuliers

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses quand on cherche x, et chacune a un remède rapide.

• Ne distribuer qu'au premier terme : 2(x − 4) vaut 2x − 8, pas 2x − 4. Tracez une flèche du 2 vers chaque terme entre parenthèses.
• Diviser avant de soustraire : dans 3x + 5 = 41, diviser d'abord oblige à diviser chaque terme, le 5 compris, ce qui crée des fractions. Défaites d'abord l'addition et la soustraction.
• Rejeter une solution négative : 4x + 20 = 8 donne 4x = −12 et x = −3. Une solution négative est tout à fait possible, et la vérification 4 × (−3) + 20 = 8 la confirme.
• Changer un signe en divisant : −3x = 15 donne x = −5, car 15 : (−3) = −5. Le changement de sens dont vous vous souvenez peut-être concerne les inéquations, pas les équations.

Quand x disparaît : aucune solution ou une infinité

Certaines équations perdent complètement leur x, et la ligne qui reste donne la réponse. Le standard Common Core 8.EE.C.7a demande de montrer quel cas se présente en transformant l'équation en formes plus simples, jusqu'à obtenir une équation équivalente de la forme x = a, a = a ou a = b.

Dans 2x + 1 = 2x + 3, soustraire 2x des deux côtés laisse 1 = 3, ce qui est faux, donc l'équation n'a aucune solution. Dans 2(x + 1) = 2x + 2, développer donne 2x + 2 = 2x + 2, et soustraire 2x laisse 2 = 2, ce qui est toujours vrai, donc tout nombre est solution.

Votre liste de contrôle pour résoudre une équation et la suite

• Simplifier : développez les parenthèses et réduisez les termes semblables de chaque côté.
• Regrouper : placez tous les termes en x d'un même côté, de préférence celui du plus grand coefficient.
• Défaire + et − : ajoutez ou soustrayez le même nombre des deux côtés.
• Défaire × et : : divisez ou multipliez les deux côtés par le nombre lié à x.
• Vérifier : remplacez dans l'équation de départ et comparez les deux membres.
• Cas particuliers : une ligne fausse comme 1 = 3 veut dire aucune solution, une ligne vraie comme 2 = 2 une infinité.

Le jeu « trouve x », gratuit, propose dans le navigateur et sans inscription des équations à une étape comme x + 7 = 15, et vous tapez la valeur de x. Les adultes qui reprennent les maths peuvent suivre le plan de comment progresser en maths à l'âge adulte ou essayer le jeu de maths pour adultes.

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