Vergelijkingen oplossen met de balansmethode: in één stap, in twee stappen en met x aan beide kanten

Drie concertkaartjes plus € 5 servicekosten kwamen samen op € 41, en je wilt weten wat één kaartje kostte. Die zin is de vergelijking 3x + 5 = 41, en wie weet hoe je vergelijkingen oplost, maakt er een berekening van twee regels van: haal de servicekosten eraf en verdeel de rest in drieën, dus één kaartje kostte € 12. Dezelfde stappen lossen elke lineaire vergelijking op die een brugklasser of een leerling in klas 2 mee naar huis neemt, van vergelijkingen in één of twee stappen tot vergelijkingen met x aan beide kanten.

Wat betekent "een vergelijking oplossen"?

Een vergelijking oplossen betekent het getal vinden waarvoor beide kanten van de vergelijking gelijk zijn. In x + 7 = 15 is het antwoord 8, want 8 + 7 is 15 en geen ander getal geeft 15. OpenStax Prealgebra definieert een oplossing als "een waarde van een variabele die een ware bewering oplevert als je die in de vergelijking invult."

Een balans is het duidelijkste plaatje van een vergelijking. De linkerschaal draagt 3x + 2, de rechterschaal draagt 14, en de balans is in evenwicht omdat beide kanten even zwaar zijn. Elk doosje met een x verstopt hetzelfde onbekende aantal blokjes.

Haal van elke schaal 2 blokjes af en de balans blijft in evenwicht: drie doosjes wegen evenveel als 12 blokjes. Verdeel beide schalen in drie gelijke groepen en één doosje weegt evenveel als 4 blokjes, dus x = 4. Controleer: 3 × 4 + 2 = 14.

De twee taken: ongedaan maken en in evenwicht houden

Een vergelijking oplossen komt neer op twee taken. De eerste taak is ongedaan maken wat er met x gebeurd is, in omgekeerde volgorde. In 3x + 5 is x eerst met 3 vermenigvuldigd en daarna is er 5 bij opgeteld, dus haal je eerst de 5 weg en daarna de 3; dat is de rekenvolgorde achterstevoren.

De tweede taak is het evenwicht bewaren. OpenStax noemt dat de aftrekeigenschap van gelijkheid: "voor alle getallen a, b en c geldt: als a = b, dan a − c = b − c." Hetzelfde geldt voor optellen, vermenigvuldigen en delen door een getal dat niet nul is, dus wat je aan de ene kant doet, doe je ook aan de andere.

Vergelijkingen oplossen, stap voor stap

Vijf stappen lossen elke lineaire vergelijking met één onbekende op. Bij korte vergelijkingen sla je er een paar over, maar de volgorde verandert nooit.

1. Vereenvoudig elke kant. Werk haakjes weg en neem gelijksoortige termen samen, op elke kant apart, dus 2(x − 4) wordt 2x − 8.
2. Breng de x-termen naar één kant. Tel aan beide kanten een x-term op of trek er een af, tot x nog maar aan één kant staat. OpenStax raadt aan x te houden aan de kant met de grootste coëfficiënt, omdat het rekenwerk dan meestal makkelijker is.
3. Maak optellen en aftrekken ongedaan. Trek aan beide kanten het getal af dat bij de x-term is opgeteld, of tel het getal op dat ervan is afgetrokken.
4. Maak vermenigvuldigen en delen ongedaan. Deel beide kanten door het getal voor de x, of vermenigvuldig beide kanten als x ergens door gedeeld wordt.
5. Controleer door in te vullen. Zet je antwoord terug in de oorspronkelijke vergelijking en reken elke kant uit. Komen ze overeen, dan ben je klaar.

Zo ziet het kaartjesprobleem eruit met de stappen erbij:

• 3x + 5 = 41 (niets te vereenvoudigen, en x staat al aan één kant)
• 3x = 36 (stap 3: trek aan beide kanten 5 af)
• x = 12 (stap 4: deel beide kanten door 3)
• Controle: 3 × 12 + 5 = 36 + 5 = 41

Een vergelijking met haakjes gebruikt stap 1. Bij 2(x − 4) = 10 werk je de haakjes weg tot 2x − 8 = 10, tel je aan beide kanten 8 op voor 2x = 18 en deel je door 2 voor x = 9. Controle: 2 × (9 − 4) = 2 × 5 = 10.

Je kunt ook eerst beide kanten door 2 delen; dan krijg je x − 4 = 5 en dezelfde x = 9. De IES-praktijkgids voor algebradocenten raadt aan leerlingen te leren "bewust te kiezen uit verschillende algebraïsche strategieën", en deze twee routes vergelijken is daar een klein voorbeeld van.

Gratis spelen in je browserx berekenenGroep 8+

Waar het misgaat

De meeste foute antwoorden komen van een stap aan maar één kant. Trek je van de linkerkant van 3x + 5 = 41 de 5 af en laat je 41 staan, dan krijg je 3x = 41 en x = 41 : 3, een antwoord dat de controle niet doorstaat. Schrijf de bewerking onder beide kanten, elke keer, tot het een gewoonte is.

Tekenfouten zijn de tweede valkuil. In 5x − 2 = 3x + 10 hoort de −2 bij de linkerkant, dus tel je aan beide kanten 2 op; trek je hem af, dan krijg je 2x = 8 en x = 4, en de controle geeft links 18 tegen rechts 22.

Vergelijkingen in één stap, in twee stappen en met x aan beide kanten

Lineaire vergelijkingen komen in drie gangbare vormen, en de vorm vertelt je de eerste zet. Elk antwoord in de tabel is gecontroleerd door in te vullen.

De rij met x aan beide kanten helemaal uitgeschreven: 5x − 2 = 3x + 10 wordt 2x − 2 = 10, dan 2x = 12, dan x = 6. De controle geeft 5 × 6 − 2 = 28 en 3 × 6 + 10 = 28.

Welke soort in welk leerjaar komt

In Nederland horen vergelijkingen bij de onderbouw van het voortgezet onderwijs. De SLO-leerdoelenkaart Rekenen & Wiskunde 10-14 zegt: "Ik los eerstegraads vergelijkingen op met: de bordjesmethode, de balansmethode". Bij de bordjesmethode dek je een deel af en vraag je wat er onder het bordje moet staan; de balansmethode is de aanpak van deze gids. In de VS komen vergelijkingen in één stap in grade 6, in twee stappen in grade 7 en met x aan beide kanten in grade 8. Standaard 6.EE.B.7 vraagt leerlingen problemen op te lossen "door vergelijkingen van de vorm x + p = q en px = q op te stellen en op te lossen" (Common Core State Standards for Mathematics).

Standaard 7.EE.B.4a gaat verder met vergelijkingen in twee stappen van de vorm "px + q = r en p(x + q) = r". Standaard 8.EE.C.7 behandelt lineaire vergelijkingen met één onbekende, ook als je "uitdrukkingen moet uitwerken met de distributieve eigenschap en gelijksoortige termen moet samennemen", en daar verschijnt x aan beide kanten.

Praktische tips bij vergelijkingen oplossen

Elke stap op een eigen regel schrijven is de nuttigste gewoonte. Zet de isgelijktekens onder elkaar en schrijf de bewerking die je uitvoert naast beide kanten, zodat een fout zichtbaar is op de regel waar hij gebeurde.

• Omgekeerde paren: optellen maakt aftrekken ongedaan, vermenigvuldigen maakt delen ongedaan, en elk paar werkt in beide richtingen.
• Negatieve coëfficiënten: in 7 − 2x = 13 trek je 7 af voor −2x = 6, en deel je door −2 voor x = −3. Controle: 7 − 2 × (−3) = 7 + 6 = 13. De regels voor delen door een negatief getal staan in de gids over negatieve getallen.
• Eén antwoord: een vergelijking met één x-term aan één kant heeft precies één antwoord, dus een tweede "antwoord" betekent ergens een vergissing.

Breuken en alledaagse problemen

Een vergelijking waarin x door een getal gedeeld wordt, los je op door te vermenigvuldigen. Delen vier vrienden een rekening en betaalt ieder € 9, dan is de rekening x/4 = 9, en beide kanten met 4 vermenigvuldigen geeft x = € 36. Zulke vergelijkingen liggen dicht bij verhoudingen, die de gids over verhoudingen behandelt.

Volwassenen komen vergelijkingen in twee stappen vaker tegen dan ze merken. Een taxi rekent € 3 instaptarief plus € 2 per kilometer en de rit kostte € 19: 2k + 3 = 19, dus 2k = 16 en k = 8 kilometer.

Een telefoonabonnement kost € 25 per maand plus € 40 aansluitkosten en je hebt in totaal € 190 betaald: 25m + 40 = 190, dus 25m = 150 en m = 6 maanden. Een zin omzetten in een vergelijking is een vaardigheid op zich, en de gids over redactiesommen laat zien hoe.

Zo controleer je de vooruitgang met vergelijkingen

Vooruitgang met vergelijkingen zie je aan vijf signalen die je in een paar minuten test, of je nu als ouder huiswerk nakijkt of als volwassene algebra opnieuw leert.

• Invullen: Controleert de leerling elk antwoord zonder dat iemand het zegt? Common Core-standaard 6.EE.B.5 vraagt leerlingen "door invullen na te gaan of een gegeven getal een vergelijking of ongelijkheid waar maakt."
• Eerste zet: Kan de leerling bij 6x + 4 = 40 "4 aftrekken" zeggen voordat er iets op papier staat? Het antwoord is x = 6.
• Beide kanten: Staat op elke regel dezelfde bewerking aan beide kanten?
• Haakjes: Kan de leerling 3(x + 2) = 21 op twee manieren oplossen? Eerst delen geeft x + 2 = 7, eerst haakjes wegwerken geeft 3x + 6 = 21, en beide eindigen bij x = 5.
• Van woorden naar vergelijking: Kan de leerling "5 schriften en een pen van € 4 kosten € 29" opschrijven en oplossen? De vergelijking is 5s + 4 = 29, dus s = € 5.

Een toets van vijf minuten

Een toets van vijf minuten met één vergelijking uit elke rij van de tabel laat zien welke soort oefening nodig heeft. Een leerling die de rijen met één stap oplost maar 5x − 2 = 3x + 10 mist, heeft stap 2 nodig: x naar één kant brengen. Een leerling die vastloopt op 4x = 28, heeft deeltafels nodig, en het spel met de ontbrekende factor oefent die snel.

Gratis spelen in je browserOntbrekende factorGroep 5–6

Veelgemaakte fouten en randgevallen

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden bij vergelijkingen oplossen, en elke fout heeft een snelle oplossing.

• Alleen de eerste term vermenigvuldigen: 2(x − 4) is 2x − 8, niet 2x − 4. Teken een pijl van de 2 naar elke term tussen de haakjes; de SLO-leerdoelenkaart noemt dat de papegaaienbek-methode.
• Delen voor aftrekken: in 3x + 5 = 41 betekent eerst delen dat je elke term deelt, de 5 ook, en dan krijg je breuken. Maak eerst optellen en aftrekken ongedaan.
• Een negatief antwoord wegstrepen: 4x + 20 = 8 geeft 4x = −12 en x = −3. Een negatief antwoord is prima, en de controle 4 × (−3) + 20 = 8 bevestigt het.
• Het teken omdraaien bij delen: −3x = 15 geeft x = −5, want 15 : (−3) = −5. Het omdraaien dat je misschien kent, hoort bij ongelijkheden, niet bij vergelijkingen.

Als x verdwijnt: geen oplossing of oneindig veel

Sommige vergelijkingen raken hun x helemaal kwijt, en de regel die overblijft geeft het antwoord. Common Core-standaard 8.EE.C.7a vraagt leerlingen te laten zien welk geval het is "door de vergelijking stap voor stap te herleiden tot een gelijkwaardige vergelijking van de vorm x = a, a = a of a = b."

In 2x + 1 = 2x + 3 blijft na het aftrekken van 2x aan beide kanten 1 = 3 over, en dat is onwaar, dus de vergelijking heeft geen oplossing. In 2(x + 1) = 2x + 2 geeft haakjes wegwerken 2x + 2 = 2x + 2, en na het aftrekken van 2x blijft 2 = 2 over, wat altijd waar is, dus elk getal is een oplossing.

Je checklist voor vergelijkingen en de volgende stappen

• Vereenvoudigen: werk haakjes weg en neem gelijksoortige termen samen op elke kant.
• Verzamelen: breng elke x-term naar één kant, het liefst de kant met de grootste coëfficiënt.
• + en − ongedaan maken: tel aan beide kanten hetzelfde getal op of trek het af.
• × en : ongedaan maken: deel of vermenigvuldig beide kanten met het getal bij x.
• Controleren: vul in in de oorspronkelijke vergelijking en vergelijk beide kanten.
• Randgevallen: een onware regel zoals 1 = 3 betekent geen oplossing, een ware regel zoals 2 = 2 oneindig veel.

Het gratis spel vergelijkingen oplossen geeft in de browser, zonder account, vergelijkingen in één stap zoals x + 7 = 15, en jij typt de waarde van x. Volwassenen die hun rekenwerk opbouwen, kunnen het plan volgen in beter worden in rekenen als volwassene of het rekenspel voor volwassenen proberen.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast aan elke speler, dagelijkse oefening en live wedstrijden met 2 tot 5 spelers, in 33 talen.