Como achar o x: equações de um passo, de dois passos e com x nos dois lados

Três ingressos de show mais uma taxa de conveniência de R$ 5 deram R$ 41, e você quer saber quanto custou cada ingresso. Essa frase é a equação 3x + 5 = 41, e saber resolver uma equação do 1º grau transforma a pergunta numa conta de duas linhas: tire a taxa e divida o que sobra por três, então cada ingresso custou R$ 12. Os mesmos movimentos resolvem toda equação do 1º grau que um aluno do 6º ou do 7º ano leva para casa, das equações de um e de dois passos às equações com x nos dois lados.

O que quer dizer "achar o x"?

Achar o x quer dizer encontrar o número que deixa os dois lados de uma equação iguais. Em x + 7 = 15, a resposta é 8, porque 8 + 7 dá 15 e nenhum outro número dá 15. O OpenStax Prealgebra define solução como um valor da variável que torna a equação verdadeira quando substituído nela.

A balança de pratos é a imagem mais clara de uma equação. O prato esquerdo tem 3x + 2, o prato direito tem 14, e a balança está equilibrada porque os dois lados pesam o mesmo. Cada caixa marcada com x esconde o mesmo número desconhecido de blocos.

Tire 2 blocos de cada prato e a balança continua equilibrada: três caixas equilibram 12 blocos. Divida os dois pratos em três grupos iguais e uma caixa equilibra 4 blocos, então x = 4. Confira: 3 × 4 + 2 = 14.

As duas tarefas: desfazer e manter o equilíbrio

Resolver uma equação se resume a duas tarefas. A primeira é desfazer o que foi feito com o x, na ordem inversa. Em 3x + 5, o x foi multiplicado por 3 e depois somado a 5, então você tira o 5 primeiro e o 3 depois, que é a ordem das operações nas expressões numéricas feita de trás para frente.

A segunda tarefa é manter o equilíbrio. O OpenStax chama isso de propriedade da subtração da igualdade: para quaisquer números a, b e c, se a = b, então a − c = b − c. O mesmo vale para somar, multiplicar e dividir por um número diferente de zero, então o que você faz de um lado, faz do outro. No Brasil, a BNCC pede no 6º ano "reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número" (EF06MA14). O famoso "passa para o outro lado trocando o sinal" é um atalho para essa mesma regra.

Como resolver equação do 1º grau, passo a passo

Cinco passos resolvem qualquer equação do 1º grau com uma incógnita. As equações curtas pulam alguns, mas a ordem nunca muda.

1. Simplifique cada lado. Aplique a propriedade distributiva e junte os termos semelhantes de cada lado separadamente, então 2(x − 4) vira 2x − 8.
2. Junte os termos com x de um lado. Some ou subtraia um termo com x dos dois lados até o x aparecer de um lado só. O OpenStax sugere deixar o x do lado com o maior coeficiente, o que em geral facilita as contas.
3. Desfaça a adição e a subtração. Subtraia dos dois lados o número somado ao termo com x, ou some o número subtraído.
4. Desfaça a multiplicação e a divisão. Divida os dois lados pelo número que multiplica o x, ou multiplique os dois lados se o x estiver dividido.
5. Confira substituindo. Ponha a resposta de volta na equação original e calcule cada lado. Se der igual, acabou.

Este é o problema dos ingressos com os passos marcados:

• 3x + 5 = 41 (nada a simplificar, e o x já está de um lado só)
• 3x = 36 (passo 3: subtraia 5 dos dois lados)
• x = 12 (passo 4: divida os dois lados por 3)
• Prova real: 3 × 12 + 5 = 36 + 5 = 41

Uma equação com parênteses usa o passo 1. Em 2(x − 4) = 10, desenvolva para 2x − 8 = 10, some 8 dos dois lados para obter 2x = 18 e divida por 2 para obter x = 9. Confira: 2 × (9 − 4) = 2 × 5 = 10.

Você também pode dividir os dois lados por 2 primeiro, o que dá x − 4 = 5 e o mesmo x = 9. O guia de práticas do IES para professores de álgebra recomenda ensinar o aluno a escolher de propósito entre estratégias algébricas alternativas, e comparar esses dois caminhos é um pequeno exemplo dessa escolha.

Jogue grátis no navegadorEncontrar o x6.º ano e +

O erro mais comum

A maioria das respostas erradas vem de fazer um passo de um lado só. Se você subtrai 5 do lado esquerdo de 3x + 5 = 41 e deixa o 41 como está, obtém 3x = 41 e x = 41 ÷ 3, uma resposta que não passa na prova real. Escreva a operação embaixo dos dois lados todas as vezes até o hábito pegar.

Os erros de sinal são a segunda armadilha. Em 5x − 2 = 3x + 10, o −2 pertence ao lado esquerdo, então você soma 2 dos dois lados; subtrair dá 2x = 8 e x = 4, e a prova real mostra 18 à esquerda contra 22 à direita.

Equações de um passo, de dois passos e com x nos dois lados

As equações do 1º grau aparecem em três formatos comuns, e o formato diz qual é o primeiro movimento. A resposta de cada linha da tabela foi conferida por substituição.

A linha do x nos dois lados por inteiro: 5x − 2 = 3x + 10 vira 2x − 2 = 10, depois 2x = 12, depois x = 6. A prova real dá 5 × 6 − 2 = 28 e 3 × 6 + 10 = 28.

Qual tipo entra em cada ano

No Brasil, a ideia de número desconhecido começa cedo: a BNCC pede no 4º ano "determinar o número desconhecido que torna verdadeira uma igualdade" (EF04MA15), e no 6º ano usar as propriedades da igualdade para "determinar valores desconhecidos" (EF06MA14). A equação do 1º grau propriamente dita é do 7º ano: "resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1º grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade" (EF07MA18). Os três formatos da tabela cabem nessa habilidade.

Nos Estados Unidos, as equações de um passo vêm no 6º ano, as de dois passos no 7º e as com x nos dois lados no 8º. O padrão 6.EE.B.7 pede equações da forma x + p = q e px = q (Common Core State Standards for Mathematics), o 7.EE.B.4a passa para px + q = r e p(x + q) = r, e o 8.EE.C.7 inclui as equações que pedem a propriedade distributiva e a junção de termos semelhantes.

Dicas práticas para resolver equações

Escrever cada passo numa linha própria é o hábito mais útil. Mantenha os sinais de igual alinhados e escreva a operação aplicada ao lado dos dois membros, para que um erro fique visível na linha em que aconteceu.

• Pares inversos: a adição desfaz a subtração, a multiplicação desfaz a divisão, e cada par funciona nos dois sentidos.
• Coeficientes negativos: em 7 − 2x = 13, subtraia 7 para obter −2x = 6 e divida por −2 para obter x = −3. Confira: 7 − 2 × (−3) = 7 + 6 = 13. As regras da divisão por um negativo estão no guia de números negativos.
• Uma resposta: uma equação com um único termo com x de um lado tem exatamente uma resposta, então uma segunda "resposta" quer dizer um deslize em algum lugar.

Frações e problemas do dia a dia

Uma equação com x dividido por um número se resolve multiplicando. Se quatro amigos dividem a conta e cada um paga R$ 9, a conta é x/4 = 9, e multiplicar os dois lados por 4 dá x = R$ 36. Equações assim ficam perto das proporções, explicadas no guia de razões.

Os adultos encontram equações de dois passos no dia a dia mais do que percebem. Um táxi cobra R$ 3 de bandeirada mais R$ 2 por quilômetro e a corrida deu R$ 19: 2k + 3 = 19, então 2k = 16 e k = 8 quilômetros.

Um plano de celular custa R$ 25 por mês mais uma taxa de adesão de R$ 40, e você já pagou R$ 190 no total: 25m + 40 = 190, então 25m = 150 e m = 6 meses. Transformar uma frase em equação é uma habilidade à parte, e o guia de como resolver problemas de matemática mostra como.

Como acompanhar o progresso com equações

O progresso com equações aparece em cinco sinais que você testa em poucos minutos, seja um pai ou uma mãe conferindo a lição, seja um adulto reaprendendo álgebra.

• Substituição: A pessoa confere toda resposta sem que ninguém peça? O padrão 6.EE.B.5 do Common Core pede usar a substituição para decidir se um número torna uma equação ou inequação verdadeira.
• Primeiro movimento: Diante de 6x + 4 = 40, ela diz "subtrair 4" antes de escrever qualquer coisa? A resposta é x = 6.
• Dois lados: Toda linha mostra a mesma operação aplicada dos dois lados?
• Parênteses: Ela resolve 3(x + 2) = 21 de dois jeitos? Dividir primeiro dá x + 2 = 7, desenvolver dá 3x + 6 = 21, e os dois terminam em x = 5.
• Da frase à equação: Ela escreve e resolve "5 cadernos e uma caneta de R$ 4 custam R$ 29"? A equação é 5c + 4 = 29, então c = R$ 5.

Um teste de cinco minutos

Um teste de cinco minutos com uma equação de cada linha da tabela mostra qual tipo praticar. Quem resolve as linhas de um passo mas erra 5x − 2 = 3x + 10 precisa do passo 2, juntar o x de um lado. Quem trava em 4x = 28 precisa da tabuada da divisão, e o jogo do fator que falta treina isso rápido.

Jogue grátis no navegadorFator que falta3.º–4.º ano

Erros comuns e casos especiais

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas quando você procura o x, e cada um tem uma correção rápida.

• Distribuir só no primeiro termo: 2(x − 4) é 2x − 8, não 2x − 4. Desenhe uma seta do 2 até cada termo dentro dos parênteses.
• Dividir antes de subtrair: em 3x + 5 = 41, dividir primeiro quer dizer dividir todos os termos, inclusive o 5, o que gera frações. Desfaça a adição e a subtração primeiro.
• Descartar uma resposta negativa: 4x + 20 = 8 dá 4x = −12 e x = −3. Uma resposta negativa não tem problema, e a prova real 4 × (−3) + 20 = 8 confirma.
• Inverter um sinal ao dividir: −3x = 15 dá x = −5, porque 15 ÷ (−3) = −5. A inversão de sinal de que você talvez se lembre é das inequações, não das equações.

Quando o x some: sem solução ou infinitas soluções

Algumas equações perdem o x por completo, e a linha que sobra dá a resposta. O padrão 8.EE.C.7a do Common Core pede mostrar qual caso acontece transformando a equação em formas mais simples até chegar a uma equação equivalente do tipo x = a, a = a ou a = b.

Em 2x + 1 = 2x + 3, subtrair 2x dos dois lados deixa 1 = 3, que é falso, então a equação não tem solução. Em 2(x + 1) = 2x + 2, desenvolver dá 2x + 2 = 2x + 2, e subtrair 2x deixa 2 = 2, que é sempre verdadeiro, então qualquer número é solução.

Sua lista de verificação para achar o x e próximos passos

• Simplifique: desenvolva os parênteses e junte os termos semelhantes de cada lado.
• Junte: leve todos os termos com x para um lado, de preferência o do maior coeficiente.
• Desfaça + e −: some ou subtraia o mesmo número dos dois lados.
• Desfaça × e ÷: divida ou multiplique os dois lados pelo número ligado ao x.
• Confira: substitua na equação original e compare os dois lados.
• Casos especiais: uma linha falsa como 1 = 3 quer dizer sem solução, e uma linha verdadeira como 2 = 2 quer dizer infinitas soluções.

O jogo de achar o x é gratuito e traz equações de um passo como x + 7 = 15 no navegador, sem cadastro, e você digita o valor de x. Adultos que estão reconstruindo a matemática podem seguir o plano de como melhorar em matemática depois de adulto ou experimentar o jogo de matemática para adultos.

O MathIt é um app gratuito para iOS e Android com cerca de 90 tipos de jogos, dificuldade adaptativa, prática diária e batalhas em tempo real de 2 a 5 jogadores, em 33 idiomas.